第29章 圆 单元检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学圆单元检测卷，含选择（10题20分）、填空（8题16分）、解答（7题64分），覆盖圆的性质、计算、应用，融入团扇、月洞门等文化情境与动态问题，适配单元复习，提升数学眼光与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/20|半径、圆心角、垂径定理、弧长计算|基础巩固，如第1题考查直径与半径关系| |填空题|8/16|圆锥侧面展开、扇形弧长比、尺规作图与圆|结合作图，如第13题尺规作图求弧长| |解答题|7/64|阴影面积、动态问题、新定义（双直四边形）、弧田面积（《九章算术》）|综合应用，如25题动态轨迹与最小值，体现空间观念与创新意识|

第29章圆单元检测卷 一、选择题（共20分） 1．在中，最长的弦是，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 5．已知内接于，于点D，如果，那么的度数为（     ） A． B． C．或 D．或 6．如图，点A，B，C，D顺次分布在半径为2的上，其中是的直径，点C是弧的中点，顺次连接，，，若，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形中，，，，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠到，连接，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 10．如图，以点O为圆心，4为半径作扇形，已知，点E在上，且，垂直平分，动点P在线段上运动（不与点D重合），设的外心为I． 结论Ⅰ：四边形为矩形； 结论Ⅱ：的最小值为2． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 二、填空题（共16分） 11．某同学发现路边的路障可以近似看作一个圆锥，测量得底面半径为，通过计算，这个圆锥的侧面展开图的弧长为______． 12．把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 13．如图，在中，按下列步骤作图：①在边上取一点 ，以 为圆心，长为半径画 ，交 于点 ；②分别以 为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，交 于点 ，若 ，则的长为____________． 14．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 15．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 16．已知，则________． 17．如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 18．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦等于6米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则弧田弧所在的圆的半径为______ 三、解答题（共64分） 19．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，求阴影部分面积． 20．团扇，又称“纨扇”“宫扇”等，是我国传统的工艺品之一，代表着团圆友善、吉祥如意．涵涵制作了一面圆形团扇作为母亲节礼物，如图1，这把团扇的扇面面积为为了美观，涵涵准备用一个体积为，长、宽、高之比为的长方体纸盒进行包装，如图2． (1)该圆形团扇的半径为______； (2)求该长方体盒子的长． 21．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 22．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 23．定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． 在双直四边形中，，过点D作交于点E，， (1)如图1，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，连接，作点D关于直线的对称点F，连接，，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与互余的角． 24．将纸杯展开后侧面形成如图所示扇环（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分），若的长为，，杯壁母线． (1)如图所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线为（制作过程侧面展开图不允许有拼接）．则侧面展开图中所在的圆的半径为　　　　　　． (2)试说明：扇环的面积． (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁出（）中规格要求的纸杯，求这个矩形纸片的长与宽． 25．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 参考答案 1．B 【分析】根据圆中最长的弦是直径解答即可． 【详解】解：∵在中，最长的弦是， ∴的直径为， ∴的半径为． 2．C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 3．D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 4．C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 5．D 【分析】利用三线合一求得圆心角的度数，再分点在优弧、劣弧两种情况，利用圆周角定理和圆内接四边形的性质计算的度数. 【详解】解：连接， ∵，， ∴， 当点在优弧上时，. 当点在劣弧上，如图点的位置时，. 6．B 【分析】连接，．求出的度数，利用弧长公式进行解答即可． 【详解】解：连接，． 点C是弧的中点， ， ． ， ， ， ∴弧的长． 7．B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 8．D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 9．C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据折叠的性质得到，即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N，可知的最小值是，根据三角形内角和定理及等角对等边得到，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠到， ∴， 即无论F如何运动，M点都在以E为圆心、半径为1的圆上． 如图，以E为圆心、1为半径作圆，连接，过E作交延长线于N， 可知的最小值是． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值． 10．A 【分析】Ⅰ：连接，，证明，求出，证明，则四边形是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ：先判断最短时，的位置，过作于H，过作于，利用三角形的中位线的性质与勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，则， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵垂直平分，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形为矩形； 故结论Ⅰ正确； 如图，为直角三角形， ∴的外心是的中点， 当P，C重合时，最短， 过作于H，过作于， 垂直平分 四边形为矩形， ． 即的最小值为2． 故Ⅱ正确． 11． 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长即是圆锥底面圆的周长，根据已知条件，结合圆的周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵底面半径为， ∴底面圆的周长为， 即这个圆锥的侧面展开图的弧长为． 12． 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 【详解】解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 13． 【分析】根据作图步骤①可知，即为等腰三角形；根据作图步骤②可知 是线段 的垂直平分线，利用垂径定理及勾股定理求出 的长，最后根据半径计算的长即可． 【详解】解：由作图步骤①可知，点 、 在上， ， 由作图步骤②可知， 垂直平分线段 ， ，， 在 中，由勾股定理得：， 点在上， ， ． 14．①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 15． 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 16． 【分析】取的中点，根据题意得，由此得出点在以点为圆心，为半径的上，根据圆内接四边形对角互补证得，从而解出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴ ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 延长交于点，连接， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17． 【分析】连接交于点，利用平行和与的比值得到必过的交点，所以为定长，因为 ，得到，定角对定长，点的运动轨迹是以为直径的圆，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∵点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， 设运动时间为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段必过点， ∵， ∴， ∵，所对的边为定长， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆， 点到圆上的最大长度要过圆心， ∴与重合时，取得最大值， ∵， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似与隐圆的综合题，解题的关键是利用已知条件找出动点的运动轨迹，从而解出答案． 18． 【分析】根据弧田的面积公式列出关于“矢”的方程求出“矢”长，设圆的半径为米，利用垂径定理和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设矢长为米， 由题意可得，， 整理得， 解得（不合题意，舍去） ∴矢长为米， 设圆的半径为米， 圆心到弦的距离为米， ∵“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差． ∴,即， 如图，连接过点作， ∵，米， ∴米 在中，， ∴， 解得米， 即弧田弧所在的圆的半径为米． 19． 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 20．(1)8 (2) 【分析】本题考查圆形面积公式，长方体体积公式，用方程解决实际问题是解答本题的关键； （1）设该圆形团扇的半径为r，根据圆形面积公式解答即可； （2）设长方体盒子的长为，则宽为，高为，根据长方体体积公式解答即可． 【详解】（1）解：设该圆形团扇的半径为r． 即 解得或（舍去） 答：该圆形团扇的半径为8． （2）解：设长方体盒子的长为，则宽为，高为， ，即． 解得． ． 故长方体盒子的长为． 21．(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 22．(1)如图， (2)的半径长为 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，以点D为圆心，a为半径画弧交于点C，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画弧； （2）如图，连接，设的半径为，则，，由垂径定理得到，然后在直角中利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ，， 在直角中，， ， 解得． 答：的半径长为． 23．(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)，，， 【分析】（1）证明即可证得； （2）先由，推出，即与互余；再由，在中，运用三角形内角和定理结合已知条件，推出 ，得出与互余以及与互余；由，推出C，B，F，E四点共圆，从而证得与互余． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 即与互余； 由（1）可知，， ∴， 在中， ∵， 即， 由（1）可知，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与互余； 又∵，， ∴与互余； ∵点D关于直线的对称点为F， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴C，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； 综上，与互余的角为：，，，． 24．(1)； (2) 设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为， 则：， ∵，， ∴， ∴， ∴扇环的面积 ； (3)矩形长为，宽为． 【分析】（）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （）设大扇形半径为，小扇形半径为，圆心角为，则，然后由弧长，，得，再代入即可求解； （）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，从而矩形长为，宽通过即可求解． 【详解】（1）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（）知：， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形长：，宽：， 所以矩形长为，宽为． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积，弧长公式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用及添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为． 学科网（北京）股份有限公司 $