第25章《一元二次方程》单元测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 新人教版九年级上册《一元二次方程》单元卷，通过基础题型与创新情境结合，全面考查方程定义、解法、应用及新定义问题，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式等|如第4题考查根的判别式，基础巩固| |填空题|6/18|实际应用|如14题结合新冠病毒传染问题，体现时代性| |解答题|10/102|综合应用与新定义|如21题“邻根方程”、24题矩形菜园问题，提升推理与模型意识|

新人教版数学九年级上册第25章《一元二次方程》单元测试题. 班级 姓名 等级 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 2.一元二次方程的常数项是 （ ） A. 6 B. C. 1 D. 3.若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是 （ ） A. B. C. D. 5.实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是 （ ） A. 是方程的一个根 B. C. D. 6. 用配方法解方程，方程变形为，则（ ） A. 25 B. 24 C. 23 D. 22 7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为43，则每个支干长出（ ）支小分支． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 关于x的一元二次方程有实根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 9.关于的一元二次方程下列说法，正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若有两个不相等的实数根，则有两个不相等实数根； ⑤若有两个不相等的实数根，则也有两个不相等的实数根； A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10.一元二次方程；，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是 （ ） A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 二、填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分） 11.已知是关于x的一元二次方程，则_______． 12.已知是关于的方程的一个根，那么的值是___________． 13. 某电商以每件40元的价格购进某款T侐，以每件60元的价格出售，经统计，“十一”的前一周的销量为500件，该电商在“十一黄金周”期间进行降价销售，经调查，发现该T侐在“十一”前一周销售量的基础上，每降价1元，“十一黄金周”销售量就会增加50件．若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，那么当电商获得最大利润时，每件T侐的定价为______元． 14. 德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，在每轮传染中，平均一个人传染的人数为________． 15. 如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是119，则最小数与最大数的和为 ． 16.定义新运算“*”：对于实数x和y，有，例如：，若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共有10个小题，共102分） 17.（本小题满分9分） 解下列方程： （1）； （2）（配方法）； （3）． 18. （本小题满分9分） 甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，，且满足7﹣＝6，求实数m的值． 19. （本小题满分9分） 已知关于x的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别是，，且，求m的值． 20. （本小题满分10分） 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 21. （本小题满分10分） 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 22. （本小题满分10分） 某超市以每只35元的价格购进某款玻璃杯，并以每只58元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256只，9月份的销售量为400只． （1）求该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，10月份的销售量将与9月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该玻璃杯售价每降价1元，月销售量就会增加20只．当该玻璃杯每只售价为多少元时，月销售利润可达到8400元？ 23. （本小题满分10分） 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）用含m的代数式表示n，并直接写出m的取值范围； （2）关于x的方程； ①求证：方程必有两个不相等的实数根； ②若，是方程的一个正根，记，试比较M与2的大小． 24. （本小题满分10分） 用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠墙，墙的长为，另三边用竹栅栏围成，且在与墙平行的一边开两扇门，宽度都是，设与墙垂直的一边长为． （1）当时，矩形菜园面积是，求； （2）当足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？ （3）若矩形菜园的面积是，x的值只能取一个，试写出a的取值范围． 25. （本小题满分12分） 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”：___________________． （2）已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为______________．根据以上结论，猜想方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______________． （3）已知关于x的方程的两根是．请利用（2）中的结论，求关于x的方程的两根． 26 （本小题满分13分） 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 参考答案： 一、选择题 1. D. 2.A. 3.C.4.D. 5. D. 6. C. 7.A. 8.C. 9.D. 10.B. 二、 11. 4 12. 2或 13. 52 14.11 15. 24 16. 三、解答题 17. （1）解：∵，∴，解得． （2）解：∵，∴, ∴, ∴,∴, 解得． （3）解：∵，在这里，∴，， 解得． 18. （1）解：∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为， ∴-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的， 解得a=7，b=-2； （2）解：把a=7，b=-2代入一元二次方程a﹣bx+m＝0得到7+2x+m＝0， ∵一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，， ∴+=即7+7=-2，=即m=7×， ∵7﹣＝6， ∴7＝6+， ∴6++7=-2， 解得= -1，7＝5， ∴m= -5． 19. （1）解：∵方程，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵的两个实数根分别是，， ∴，∵， ∴，∴， ∴，解得． 20. （1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得．∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，，三角形周长为17． 21. （1）解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； （2）解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． （3）证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而，， 故． 22. （1）解：设该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该款玻璃杯7月份到9月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该玻璃杯每只售价为y元，则每只销售利润为元， 月销售量为只． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：当该款玻璃杯每只售价为50元时，月销售利润可达到8400元． 23. （1）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得且， 故 解得， 故且，m的范围是． （2）①证明：∵ ． ∴方程必有两个不相等的实数根； ②解：若，则． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 解方程，得． ∴． ∴． ∵， ∴． 24. （1）解：由与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为． 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 答：x的值为20； （2）解：由矩形菜园的面积可以达到，得， 整理得：， ∵， ∴一元二次方程无实数根， ∴矩形菜园的面积不能达到； （3）解：由矩形菜园的面积为，得：， 整理得：， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时． ∵x的值只能取一个， ∴． 25. （1）解：根据定义，得一元二次方程的“友好方程”为， 故答案为：． （2）解：已知一元二次方程的两根为， 解方程得， 故答案为：； 由方程的两根；，“友好方程”的两根， 则，， 故． 故方程的两根；与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数． 故答案为：互为倒数． （3）解：关于x的方程的两根是． 故方程的两根是， 故方程的两根是， 又， 故， 故是方程的根． 故或， 解得或， 故关于x的方程的两根为或． 26.（1）解：方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． （2）解：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴“美好方程”总有两个实数根． （3）解：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $