第17章 因式分解 培优测试卷 2026－2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册因式分解单元培优测试卷（全难题版），覆盖因式分解全章，通过分层设计与情境化问题，提升学生运算能力、推理意识与创新应用，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|因式分解定义、提公因式、完全平方、几何面积公式|结合几何图形考查公式推导，体现几何直观| |填空题|6题/18分|分组分解、配方、整除性、代数式最值|通过整数整除问题培养推理能力| |解答题|6题/52分|方法选择、几何与公式综合、证明整除与合数、十字相乘法|设计图形面积与公式关联题，强化模型意识；证明题发展逻辑推理，综合探究题提升创新意识|

第章 因式分解 培优测试卷 —学年人教版八年级数学上册（含答案） （范围：第章 因式分解（全难题版）　　时长：分钟　　满分：分） 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） ．　　　　　　． ．　　　　　． ．把多项式 提出公因式 后，剩下的多项式为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．若 ，则 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．若 （ 为常数）是完全平方式，则 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．对任意整数 ，式子 一定能被（　　）整除． ．　　　　．　　　　．　　　　． ．一个长为 、宽为 的长方形按图中的实线分割成四块（只标注字母）．根据图中面积之间的关系，可以直接得到的等式是（　　） ． ． ． ． ．将多项式 分解因式，结果为（　　） ．　　　　． ．　　　　． ．已知 ，则代数式 的值为（　　） ．　　　　．　　　　．　　　　． ．给出下列四个结论： 把 分解因式，结果是 ； 分解因式的结果是 ； 若整数 使得 能分解成两个一次整系数因式的积，则这样的 恰好有 个； 对任意整数 一定是奇数． 其中正确结论的个数是（　　） ． 个　　　　． 个　　　　． 个　　　　． 个 ．已知 是三角形的三条边，且满足 ，那么这个三角形是（　　） ．等腰三角形（非等边）　　　　．等边三角形 ．直角三角形　　　　．等腰直角三角形 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．分解因式：． ．分解因式：． ．对任意整数 ，式子 一定能被正整数 整除，那么 的最大值为． ．计算：． ．已知 ，则 的最小值为． ．若关于 的多项式 能分解为 ，其中 均为整数，则满足条件的 的值为（写出所有满足条件的值）． 三、解答题（本大题共小题，共分） ．（分）因式分解与整式乘法互为逆变形（如图），几种常用方法的适用特征如下表． 方法 适用特征 示例 提公因式法 各项都含有公共的因式 公式法（平方差） 能写成 的形式 公式法（完全平方） 首平方，尾平方，积的 倍在中央 分组分解法（拓展） 分组后各组能提公因式或用公式 请选择适当的方法分解因式： ； ． ．（分）如图，图是一个边长为 的正方形被分割成的四块；图是用 块长为 、宽为 （）的长方形拼成的一个边长为 的大正方形，中间恰好空出一个边长为 的小正方形（图中只标注字母）． 由图的面积关系，写出 的展开式； 由图可得恒等式 ．已知 ，求 的值； 在的条件下，求 与 的值． ．（分）利用平方差公式化简：； 计算：…； 直接写出你的猜想：…（用含 的代数式表示， 为正整数），并说明理由． ．（分）求证：对任意整数 一定能被 整除； 求证：当 为大于 的整数时， 一定是合数． ．（分）阅读下列材料： “对于形如 的二次三项式，若能找到两个数 ，使得 且 ，则 ．这种分解因式的方法叫做‘十字相乘法’．例如：因为 ，且 ，所以 （如图）．” 利用材料中的方法，解答下列问题： 分解因式： ； ； 分解因式：； 若关于 的多项式 是完全平方式，求 的值． ．（分）综合与探究： 求代数式 的最小值，并求出此时 的值； 利用乘法公式简便计算：； 当 为任意整数时， 一定是完全平方数吗？请说明理由． 第章 因式分解 培优测试卷 —学年人教版八年级数学上册（参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ．　【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，判断“右边是不是积”． 【详解】 是整式乘法，方向相反； 的右边是 ，是“积＋数”，不是积的形式； 中 ，右边是三个整式的积且分解彻底，是因式分解； 的右边 是两个积相加，不是积的形式（虽然等式成立，但不是因式分解）．故选 ． ．　【分析】用原多项式的每一项除以公因式 ，注意符号的变化． 【详解】；；． 剩下的多项式为 ．故选 ． ．　【分析】三项都含有 的幂，提“最低次”的公因式 ． 【详解】， ．故选 ． ．　【分析】完全平方式 中，一次项 ，常数项应为 ． 【详解】 ，此时 ．若误认为 （即 ），则它对应 ，但 的一次项是 ，不合题意．故选 ． ．　【分析】先用平方差公式分解，再利用“两个连续整数之积一定是 的倍数”． 【详解】． 与 是连续整数，其中必有一个偶数， 是 的倍数， 一定是 的倍数．故选 ． ．　【分析】用两种方式表示大长方形的面积：四块小面积之和＝整体面积． 【详解】四块的面积分别为 ，其和为 ；大长方形的长为 ，宽为 ，面积为 ．由面积相等得 ．故选 ． ．　【分析】两个括号中都含有 ，把它看作一个整体（换元）． 【详解】设 ，则原式．把 换回，得原式．故选 ． ．　【分析】由 得 ，把高次项逐次降次，整体代入． 【详解】由 ，得 ． ． ．故选 ． ．　【分析】逐条判断：两次平方差；比较展开式；枚举 的整数因数对；连续整数的奇偶性． 【详解】 ，正确； ，错误； ，连同负因数对共 种：，对应 ，恰好 个，正确； 是两个连续整数之积，一定是偶数， 一定是奇数，正确．正确的共 个．故选 ． ．　【分析】把条件两边乘 ，重新分组配成三个完全平方式之和，利用非负性． 【详解】由 ，得 ，即 ． ，即 该三角形是等边三角形．故选 ． 二、填空题（每小题分，共分） ．　【分析】前三项是完全平方式，后三项提出 后恰含 ，整体处理． 【详解】原式． ．　【分析】把后三项结合配方，凑成平方差的结构． 【详解】原式． ．　【分析】先用平方差化简，再看结果恒含哪个因数． 【详解】． 一定是 的倍数（且 时值为 ，不能被更大的正整数整除）， 的最大值为 ． ．　【分析】逆用完全平方公式 ． 【详解】． ．　【分析】用恒等式 及 ． 【详解】由 ，得 ，当且仅当 时取等号． 最小值为 ． ．　【分析】由 展开比较系数，消去 后把含 的式子分解因式． 【详解】由题意得 ，两边加 得 ，即 ． 为整数， 可取 ，对应 的值为 ． 的所有值为 ． 三、解答题（共分） ．； 【分析】把 看成 ，先用平方差公式，再用完全平方公式；把 看成一个整体，配成完全平方后再继续分解． 【详解】原式． 原式． 【评分标准】识别平方差 分，结果 分；整体配方 分，继续分解到 得 分（共 分）． ．；； 【分析】图四块面积之和等于大正方形面积；图大正方形面积＝ 块长方形面积＋中间小正方形面积；由 求出 ，再用 ． 【详解】由图，四块面积之和为 ，大正方形面积为 ． 由图，大正方形面积为 ，四块长方形面积之和为 ，中间小正方形面积为 ，即 ． ；． 【评分标准】 分；写出恒等式 分，求值 分；求 得 分，求 得 分（共 分）． ．；； 【分析】平方差公式降次；从左到右两两一组，每组都等于一个奇数；类比，用首尾配对的方法求和． 【详解】． 原式…．由得每组结果为“两个底数之和”：，…，，即 …（共 个数）．首尾配对：，…，每对都是 ，共 对， 原式． 猜想：…．理由：两两一组，每组等于 （,,…,）， 原式…．首尾配对：每对之和为 ，共 个数、 对（ 为偶数时； 为奇数时同理可得），求和为 ． 【评分标准】 分；正确分组 分，求和 分；猜想 分，说理 分（共 分）． ．，一定能被 整除；，两因式均大于 ，故为合数 【分析】分解为三个连续整数之积，分别说明含因数 和 ；把 添上 再减去 ，先配完全平方再用平方差（“添项法”）． 【详解】，是三个连续整数的积． 相邻两个整数必一奇一偶， 三个连续整数中至少有一个偶数，积是 的倍数；又三个连续整数中必有一个是 的倍数（若 除以 余 ，则 是 的倍数；若余 ，则 是 的倍数；若整除，则 是），积是 的倍数． 既是 的倍数又是 的倍数，一定能被 整除． ．当 为大于 的整数时，，即 写成了两个大于 的整数的积， 一定是合数． 【评分标准】分解 分，证 的倍数 分，证 的倍数 分，结论 分；添项 分，平方差分解 分，说明两因式均大于 并下结论 分（共 分）． ．；；； 或 【分析】模仿材料：找两个数，使其积等于常数项、和等于一次项系数；设 换元，先分解 ，再把 换回并继续分解；完全平方式有 与 两种情形，需分类讨论，勿漏负值． 【详解】 ； ． 设 ，则原式． 原式．又 原式． 完全平方式只能是 或 ．若为 ，则 ；若为 ，则 ． 的值为 或 ． 【评分标准】每小题 分（共 分）；换元 分，十字相乘 分，换回并继续分解 分（共 分）；每种情形各 分，结论完整 分（共 分）．（本题共 分） ．最小值为 ，此时 ；；是， 【分析】配方成“两个完全平方式＋常数”，利用非负性；，逆用平方差公式；首尾结合：，换元后配完全平方． 【详解】． 当 且 ，即 时，原式取最小值 ． ． 是．．设 ，则原式． 为整数时， 也是整数， 一定是完全平方数． 【评分标准】配方 分，最值及 的值 分（共 分）；拆数与平方差 分，结果 分（共 分）；首尾结合 分，换元配方 分，结论 分（共 分）．（本题共 分） 学科网（北京）股份有限公司 $