2.3.3 y=ax²+k的图像与性质 同步练习 2026-2027学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 同步练，初中数学，y=ax²+k的图像与性质，新授课。分层覆盖基础概念到综合应用，梯度设计助力知识巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、对称轴、开口方向等概念|直接应用定义，强化几何直观| |提升层|函数值比较、取值范围|对比辨析，发展推理意识| |综合层|作图、待定系数法、纠错|情境化问题，培养模型意识与运算能力|

2.3.3 y=ax2+k的图像与性质 同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 一、单选题 1．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．轴 C．轴 D．直线 3．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 4．若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象不经过的象限为（   ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 6．已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 7．已知点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 8．对于抛物线，下列判断正确的是（   ） A．开口向下 B．有最小值 C．与轴无交点 D．顶点坐标为 9．抛物线与x轴交于B，C两点，顶点为A，则的周长为（     ） A． B． C．12 D． 10．嘉嘉绘制抛物线时，将“”看成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．对称轴 C．开口大小 D．与轴的交点 二、填空题 11．已知点在函数的图象上，则_______． 12．二次函数的最小值是_________． 13．二次函数的顶点坐标是________，当时，y随x的增大而________． 14．抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 15．已知二次函数，当时，的取值范围为________． 三、解答题 16．数学课上，老师出了这样一道数学题：取何值时，抛物线的开口向下？嘉琪解答过程如下： 解： ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 即当时，抛物线的开口向下． 嘉琪的解答过程正确吗？如果不正确，请指出嘉琪解答错误的原因，并改正过来． 17．已知二次函数． (1)在下列坐标系中画出它的图象； (2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴． 18．已知抛物线过点和点 (1)求这个函数的关系式； (2)写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 19．求符合下列条件的抛物线的表达式. （1）与的开口大小相同，方向相反； （2）经过点（-3,2）. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2.3.3 y=ax2+k的图像与性质 同步练习2026-2027鲁教版（五四制）九年级数学上册 答案 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：C． 2．C 【分析】把抛物线化成顶点式，进而即可得到答案； 本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键 【详解】解：根据题意，得， ∴ 抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为,即y 轴 故选：C 3．A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 4．D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，根据抛物线不经过三四象限的条件，分析开口方向与顶点位置，即可确定、的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限， ∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断； 根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：∵二次函数，顶点坐标为，在轴上，且开口向上， ∴抛物线不经过第三象限和第四象限， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数值的大小比较．通过将点的横坐标代入抛物线解析式，直接计算纵坐标值，并比较大小即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，， ∴． 故选：A 8．A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质，通过系数判断开口方向和最值，通过解方程判断与轴交点，通过顶点公式求顶点坐标，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，且 ∴ 抛物线开口向下， 故A选项正确； ∵开口向下， ∴函数有最大值，无最小值， 故B选项错误； 令，则， 解得， ∴抛物线与轴有两个交点， 故C选项错误； ∵顶点坐标公式为，且，，， ∴ ，， ∴顶点坐标为， 故D选项错误； 故选：A． 9．B 【分析】先求出，，，再求出，，即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ∵抛物线与轴交于两点，顶点为， ，，， ，， 周长． 10．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 通过比较原函数和错误函数的二次项系数、对称轴、开口大小及与轴交点，判断发生改变的性质． 【详解】解：依题意得：原函数为，错误函数为 A、原函数的开口向下，错误函数为开口向上，开口方向发生改变，故此选项符合题意； B、原函数与错误函数的对称轴均为轴，对称轴不变，故此选项不符合题意； C、原函数与错误函数的对称轴均由决定，开口大小不变，故此选项不符合题意； D、原函数与错误函数与轴的交点均为，与轴的交点不变，故此选项不符合题意． 故选 ：A． 11．49 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴． 12．-12 【分析】本题主要考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标． 根据二次函数开口向上，最小值在顶点处取得． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵抛物线的对称轴为直线，将代入函数解析式，得， ∴二次函数的最小值为． 故答案为：． 13． 减小 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标和增减性． 将函数化为顶点式可直接得到顶点坐标，再根据开口方向判断增减性． 【详解】解：二次函数可化为， 因此顶点坐标为，对称轴为直线， 由于， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， 当时，函数在对称轴左侧，y随x的增大而减小． 故答案为：，减小． 14． 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据题意，得到抛物线开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，顶点在区间内，最小值在顶点处，最大值在端点处． 【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为． 当时，； 当时，； 当时，． 故的取值范围为． 故答案为：． 16． 解：错误，原因是忽略了的指数为． 正确解法：∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 又∵函数为二次函数， ∴， 解得或（舍去）， 故当时，抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质，解一元二次方程．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的定义可知还需要满足，再结合条件可求出的值． 【详解】略 17．(1) 作图如下： ； (2)抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线 【分析】此题考查的是二次函数的性质、抛物线与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质是解决此题的关键． （1）利用描点法画出函数图象； （2）利用配方法将函数解析式化为顶点式，由的符号及配方结果直接确定抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴． 【详解】（1） 略 （2）二次函数的解析式为， 抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 18．(1) (2)当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 【详解】（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可； （2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可； 【详解】解：（1）∵函数与的开口大小相同，方向相反， ∴， ∴； （2）将点（-3，2）代入，得 ，解得， ∴所求抛物线的表达式为. 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $