第2章 01-2.1.1 倾斜角与斜率（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角与斜率”核心知识点，从倾斜角定义、斜率公式入手，通过基础过关练到能力提升练的题组设计，搭建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握两者关系及计算方法。 其亮点在于知识积累系统梳理规律，易错警示强化细节认知，创新题型（如足球最佳射门位置）结合现实情境。运用数学思维（如坐标平移推导斜率）和数学眼光（从实际问题抽象模型），提升学生推理与应用能力，为教师提供分层教学素材。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.[2026河北沧州段考]直线l:x=cos 675π+1的倾斜角为 ( ) A. 　    B.675π　    C. 　    D.0     A     解析　因为cos 675π+1为一常数,所以直线l的倾斜角为 . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026天津武清月考]已知直线l经过两点(0,0),(0,1),直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍,则直线m 的斜率是 ( ) A.0　    B.1　    C.-2　    D.不存在     B     解析　∵直线l经过两点(0,0),(0,1),∴直线l的倾斜角为90°,又直线l的倾斜角是直线m的倾斜角的两倍, ∴直线m的倾斜角为45°,其斜率km=tan 45°=1. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026安徽亳州蒙城第一中学月考]如图,若直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( )   A.k3<k2<k1　    B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3　    D.k1<k3<k2     D     解析　设直线l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则根据题中图象可得0<α3<α2< <α1,再由正切函数的单调性 可知tan α1<0<tan α3<tan α2,即k1<k3<k2. 第1讲　描述运动的基本概念 知识积累    直线倾斜角、斜率的关系 (1)当倾斜角是锐角时,斜率大于0,当倾斜角是钝角时,斜率小于0; (2)在 和 内,斜率都随倾斜角的增大而增大. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东菏泽第一中学月考]已知某直线斜率的绝对值等于1,则它的倾斜角为________________.     45°或135°     解析　设该直线的斜率为k,倾斜角为α,由题意得|k|=1⇒k=±1, 当k=1时,tan α=1,又0°≤α<180°,所以α=45°; 当k=-1时,tan α=-1,又0°≤α<180°,所以α=135°, 故该直线的倾斜角为45°或135°. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东深圳高级中学月考]直线l:xcos2θ-y+2=0的倾斜角α的取值范围是_________. 解析　易知直线l:xcos2θ-y+2=0经过点(0,2)和(1,2+cos2θ),∴直线l的斜率k= =cos2θ∈[0,1],(实 际上l的方程即为y=xcos2θ+2,其中x的系数cos2θ即为斜率) ∵k=tan α,∴tan α∈[0,1],又∵倾斜角α∈[0,π),∴α∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线的斜率公式及其应用 6.[2026江苏淮安第一中学月考]下列三点在同一直线上的是 ( ) A.(0,2),(2,5),(3,7)　     B.(-1,4),(2,1),(-2,-5) C.(1,2),(1,3),(1,-1)　     D.(-1,3),(2,1),(2,-5)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于选项A,因为 = , =2,且 ≠2, 所以三点不在同一直线上,故A错误; 对于选项B,因为 =-1, = ,且-1≠ , 所以三点不在同一直线上,故B错误; 对于选项C,显然三点在同一直线x=1上,故C正确; 对于选项D,因为 =- , =- ,且- ≠- , 所以三点不在同一直线上,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东佛山阶段测试]若直线l经过两点A(2,m),B(-m,2m-1),且l的倾斜角为45°,则m的值为 ( ) A. 　    B.2　    C.1　    D.-      D     解析　由题意得 =1,解得m=- . 第1讲　描述运动的基本概念 知识积累    直线斜率的计算方法 (1)已知直线上两点的坐标,则判断它们的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在;若不相等,则可 以用斜率公式k= (其中x1≠x2)进行计算. (2)已知直线的一个方向向量的坐标为(x,y),则它的斜率k= . (3)已知直线的倾斜角为α(0°≤α<180°且α≠90°),则直线的斜率k=tan α. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026安徽淮南崇文高级中学月考]经过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值为  ( ) A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B 解析　∵直线AB的方向向量为(1,k),且经过A(0,2),B(-1,0)两点,∴ = =2,解得k=2. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026福建漳州一中月考]已知三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,则实数a的值是_________.     3     解析　∵三点A(1,-1),B(a,3),C(4,5)在同一直线上,且kAC存在, ∴kAB=kAC,即 = ,解得a=3. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026山东济宁嘉祥第一中学月考]过点P(0,-1)作直线l,若l与连接A(3,-4),B(2,2 -1)两点的线段总有 公共点,则l的斜率的取值范围为______________,l的倾斜角的取值范围为________________.      ∪          [-1, ]     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得kBP= = ,kAP= =-1,则直线BP的倾斜角为 ,直线AP的倾斜角为 . 如图:   由图可知,l的斜率的取值范围为[-1, ],则l的倾斜角的取值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 11.[教材习题改编]已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1). (1)当m为何值时,直线MN的倾斜角为锐角? (2)当m为何值时,直线MN的倾斜角为钝角? (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若倾斜角为锐角,则斜率大于0,即kMN= = >0,解得m>-2. (2)若倾斜角为钝角,则斜率小于0, 即kMN= = <0,解得m<-2. (3)当直线MN垂直于x轴时,直线的倾斜角为直角,此时m+3=m-2,此方程无解,故直线MN的倾斜角不可能 为直角. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　直线的倾斜角与斜率 1.[2026江苏苏州实验中学月考]如果直线l先沿x轴正方向平移2个单位长度,再沿y轴正方向平移2个单 位长度后,又回到原来的位置,那么直线l的斜率是 ( ) A.-2　    B.-1　    C.1　    D.2     C     解析　设点A(x,y)为直线l上任意一点,平移后点A的对应点为A',则A'(x+2,y+2),而直线平移后位置没变, 故直线l的斜率k=kAA'= = =1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[多选题][2026安徽大联考月考]已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则下列命题正确的 是 ( ) A.若k1=k2,则α1=α2 B.若k1<k2,则α1<α2 C.若k1>k2>0,则α1>α2 D.若α2>α1>90°,则k2>k1     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,若k1=k2,则tan α1=tan α2,因为0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,所以α1=α2,故A正确; 对于B,当k1<0<k2时,有0°<α2<90°<α1<180°,故B错误; 对于C,若k1>k2>0,则tan α1>tan α2>0,所以0°<α2<α1<90°,故C正确; 对于D,若α2>α1>90°,则0>tan α2>tan α1,即k2>k1,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[易错题][2026河南南阳方城第一高级中学月考]已知直线的倾斜角α的范围是 ,则此直线的斜 率k的取值范围是 ( ) A.[-1,1]　    B.[-1,0)∪(0,1] C.[-1,+∞)　    D.(-∞,-1]∪[1,+∞)     D     解析　若α∈ ,则k=tan α∈[1,+∞);若α= ,则k=tan α不存在; 若α∈ ,则k=tan α∈(-∞,-1]. 综上可得,此直线的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 易错警示    α= 时,k不存在,故本题中倾斜角的范围分为两部分,通过k=tan α,结合函数y=tan x的单调性 求解. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东济南实验高级中学月考]设直线l的斜率为k,且- ≤k<1,则直线l的倾斜角的取值范围为  ( ) A. ∪ 　    B. ∪ 　     C. 　    D. ∪      B     解析　设直线l的倾斜角为α,则- ≤tan α<1,又0≤α<π,所以0≤α< 或 ≤α<π,即直线l的倾斜角的取 值范围为 ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　直线斜率的综合应用 5.[2026河南TOP二十名校月考]在平面直角坐标系中,已知点(a,b)是线段x-2y=0(-2≤x≤2)上的动点,则  的取值范围是 ( ) A.[-1,2]　    B.[-2,1] C.(-∞,-1]∪[2,+∞)　    D.(-∞,-2]∪[1,+∞)     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当x=-2时,y=-1;当x=2时,y=1, 所以线段x-2y=0(-2≤x≤2)的最左端是(-2,-1),最右端是(2,1),记A(-2,-1),B(2,1). 易知 = 表示点(a,b)与点(0,-3)连线的斜率,记P(a,b),M(0,-3).  由斜率公式k= (x1≠x2)的形式,可知代数式 的几何意义是过(x,y)与(a,b)两点的直线的斜率,故 可以利用数形结合来求解  当点P(a,b)在点A处时, =-1;当点P(a,b)在点B处时, =2.如图:   结合图形可知, 的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026湖北襄阳一中月考]已知点A(-2,1),若点B为曲线L:|x|+|y|=1上一点,则直线AB的倾斜角α的取值范 围是( ) A. 　    B.  C. 　    D.以上三项都不对     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于曲线L:|x|+|y|=1, 当x>0,y>0时,曲线L:x+y-1=0; 当x<0,y>0时,曲线L:-x+y-1=0; 当x<0,y<0时,曲线L:x+y+1=0; 当x>0,y<0时,曲线L:x-y-1=0, 在平面直角坐标系内作出其图形如下:   第1讲　描述运动的基本概念 其中C(-1,0),D(0,-1),E(1,0),F(0,1), 当点B位于点F处时,kAB= =0,则倾斜角α=0; 当点B在正方形CDEF(不包含点F)的边上运动时,kAB≥kAC= =-1, 则倾斜角α满足 ≤α<π. 综上所述,直线AB的倾斜角α的取值范围为 ∪{0},故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026河北石家庄期中]已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三点构成一个三角形,则实数a的取值范围是 __________________.  ∪      解析　由A(a+2,a),C(a-4,a-1),知kAC= = .当a+2=1,即a=-1时,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),则直线AB 的斜率不存在,此时A,B,C三点能构成一个三角形;当a+2≠1,即a≠-1时,由A(a+2,a),B(1,-a),知kAB= , 要使A,B,C三点能构成一个三角形,则kAB≠kAC,即 ≠ ,解得a≠ .综上可得,实数a的取值范围为  ∪ . 第1讲　描述运动的基本概念 创新点　足球运动中的最佳射门位置 创新题型 8.足球是一项很受欢迎的体育运动.如图,某标准足球场的底线宽为AB,球门宽为EF,且|AB|=72码,|EF|=8 码(码是英制单位,1码≈0.914 4米),球门位于底线的正中位置.在比赛过程中,攻方球员带球运动时,往往 需要找到一点P,使得∠EPF最大,这时候点P就是最佳射门位置.当攻方球员甲在边线上的点O处(|OA|=| AB|,OA⊥AB)时,根据场上形势判断,有O→A,O→B两条进攻路线可供选择. (1)若选择路线O→A,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置? (2)若选择路线O→B,则甲带球多少码时,到达最佳射门位置?   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)若选择路线O→A,设|AP|=t码,其中0<t≤72,由题意知|AE|=32码,|AF|=32+8=40(码). tan∠APE= = ,tan∠APF= = , 所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE) =  = = =  ≤ = , 当且仅当t= ,即t=16 时,等号成立, 第1讲　描述运动的基本概念 此时|OP|=|OA|-|AP|=(72-16 )码. 由题意知∠EPF∈ ,因为函数y=tan x在 上单调递增, 所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→A,则甲带球(72-16 )码时,到达最佳射门位置. (2)若选择路线O→B,设线段EF的中点为N,以N为坐标原点, , 的方向分别为x轴,y轴的正方向建立 如图所示的平面直角坐标系,   则B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0), 第1讲　描述运动的基本概念 则kOB= =1,则∠OBA=45°, 过P作x轴的垂线,垂足为M, 设点P(x,x+36),其中-36<x≤36. 当x≠±4时,tan∠AFP=kPF= , tan∠AEP=kPE= , 所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP) =  = =  第1讲　描述运动的基本概念 = , 令m=x+36,则m∈(0,72],x=m-36, 所以(x+36)+ =m+ =2m+ -72≥2 -72=32 -72, 当且仅当2m= ,即m=8 ,即x=8 -36时等号成立, 所以tan∠EPF= ≤ = ,当且仅当x=8 -36时等号成立, 此时|OP|= ×|36-(8 -36)|=(72 -16 )码. 当x=4时,P(4,40),tan∠EPF= = = ; 当x=-4时,P(-4,32),tan∠EPF= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 由题意知∠EPF∈ ,因为函数y=tan x在 上单调递增, 所以tan∠EPF最大时,∠EPF最大, 所以若选择路线O→B,则甲带球(72 -16 )码时,到达最佳射门位置. 第1讲　描述运动的基本概念 $