云南省玉溪第一中学（北校区）2026-2027学年高二上学期开学考试数学试卷

**基本信息** 聚焦立体几何与解析几何核心知识，通过分层题型衔接高一基础与高二能力，融入科技节游戏情境考查数学思维与应用意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三棱锥结构、直线倾斜角、向量模|基础概念辨析，如第5题空间直角坐标系对称点考查空间观念| |多选|3/18|平面法向量、直线性质、正方体展开图|第11题结合展开图运动轨迹，考查几何直观与空间想象| |填空|3/15|三线共点、异面直线夹角、函数最值|第13题四面体向量求夹角，体现符号意识与运算能力| |解答|5/77|空间向量、直线方程、面面夹角、概率应用|第19题科技节游戏闯关设计，以真实情境考查数据分析与模型意识，呼应数学语言表达现实世界要求|

玉溪一中2028届高二上学期开学考数学学科试卷参考答案 单选、多选、填空 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C D B A A A B C BD AC BC 1 6 6.【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ，所以 . 从而 ，故选A 7.【详解】点到直线的距离为.故选：B. 8．【详解】因为，可知，又因为，可知，所以点为的垂心．故选：C． 10．【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下：由图象可知直线经过第一、二、三象限，故C正确；对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误.故选：AC. 11. 【详解】由展开图还原正方体如下图所示， 对于A，∵且，∴四边形为平行四边形，∴，∴与是共面直线，A错误； 对于B，∵，∴与所成角即为，∵，∴为等边三角形，∴，即与所成角为，B正确； 对于 C，∵平面，平面，∴，又，，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，C正确； 对于D，由正方体性质可知平面，取，，，，中点，，，，，连接，，，，，，则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，∴点的轨迹长度为，D错误．故选：BC． 12．【详解】联立，解得，把交点坐标代入，得，解得.故答案为：. 13．【详解】向量，，则，设异面直线所成角的大小为，则，所以.故答案为： 14．【详解】设，则的定义域为，且连续不断，由，可知为奇函数，设在上的最大值为，由奇函数的对称性可知在上的最小值为，则函数在区间上的最大值为，最小值为，所以.故答案为：6. 解答题： 15.【答案】(1)， (2) 【详解】设正方体的棱长为2，则，，，...3分 ∴直线的方向向量，...5分 直线的方向向量，...7分 设向量是平面的法向量，则...10分 取，得，，则是平面的一个法向量．...13分 16．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点斜式，得，化成一般式，．...5分 （2）直线方程为，即．...10分 （3）由斜截式，得，化成一般式为．...15分 17．【答案】(1)见详解 (2). 【详解】（1）由已知，两两垂直，以为原点，正方向所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示...1分，已知分别为线段，的中点，则，所以....3分，易得为平面的一个法向量....5分 因为，所以， 又平面，所以平面.....7分 （2），，所以设平面的一个法向量为，则，令，得......11分又平面的一个法向量为，所以，即平面与平面夹角的余弦值为......15分 18.【答案】（1）；（2），． 【详解】（1）为中点，，则，....1分 过作，垂足为，如图所示： 中，，，.....3分，，解得，∴，.....5分，，故，；.....7分 （2） 由题意可知：，则，.....9分，由，，可得，∴①，.....12分，即②，.....13分 由①②解得，∴，.....15分 ∴，又，∴．.....17分 19．【答案】(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3). 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为......2分 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以，所以， 所以游戏二获胜的概率为......4分 （2）游戏三中不放回地依次取出两个球的样本空间，时，，，所以；.....6分 （3）设“先玩游戏二，获得徽章”，“先玩游戏三，获得徽章”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 .....9分 又，且，，互斥， 所以 .....12分 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则， 所以，即......14分 （另解）：， 且，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率大，则，只需，即，所以，即，解得 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为......17分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2028届高二上学期开学考 数学学科试卷 满分：150分  考试时间：120分钟 命题人：飞超  审题人：吴志华 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 2．若直线的方程为，则直线的倾斜角是（　　） A．0 B． C． D． 3．直线经过点和点，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．已知向量 ，则（　　） A． B．5 C． D．4 5．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 7．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 8．点是所在平面内一定点，点是平面内一动点，若，，则点为的（　　） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 10．关于直线，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 11．棱长为2的正方体的展开图如图所示．已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动．则关于该正方体，下列说法正确的有（　　） A．与是异面直线 B．与所成角为 C．平面平面 D．若，则点的运动轨迹长度为6 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12．三条直线，，相交于一点，则__________． 13．已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为__________． 14．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： （1）直线和的方向向量的坐标； （2）平面的一个法向量的坐标． 16．（15分）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 17．（15分）在直三棱柱中，分别为线段，的中点. (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）已知的内角的对边分别为，的面积为，为的中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 19．（17分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章．闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得徽章的概率更大． ( 第 1 页 / 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $