云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高二开学考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C A B A B 【解析】 1.解：解不等式，得，则， 而，所以． 故选：． 2.，，显然成立，所以是真命题，是假命题． 当，时，，所以是真命题，是假命题． 故选： 3.解：对于，的定义域为，不满足已知图象，故A错误； 对于，因为， 所以时，恒成立，故B错误； 对于，当时，令， 则，只有两个零点，与已知图象不符，故C错误； 故选D． 4.解：由二次函数的图象开口向上， 当，满足题意， 当，解得或， 当，满足题意， 综上所述：． 故本题选C． 5.解：当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得的取值范围是或． 故选：． 6.解：因为，所以， 而，所以， 故即， 从而， 故． 故选：． 7.解：由圆的面积为，故圆的半径， ，则三角形是正三角形， 由正弦定理：，得， 由，得球的半径， 表面积为， 故选A． 8.解：因为在中，，， 所以， 又因为为锐角三角形， 所以，解得． 又因为， 所以由正弦定理可得：， 由三角形面积公式可得： ， 又因为， 所以， 则， 故，即， 所以面积的取值范围是． 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ABD AC 【解析】 9.解：选项：由最小值得，对称中心与最小值点距离为，故，， 代入，，得， 结合，解得，故，故A正确； 选项：左移，得，与一致，故B正确； 选项：时，， 所以函数在此区间先减后增，非单调递减，故C错误； 选项：时， 最大值为，最小值为，故值域为，故D正确． 故选：． 10.解：对于，在频率分布直方图中，众数是最高矩形的中点横坐标， 观察频率分布直方图，最高矩形对应的分数区间是， 所以众数为，故A正确； 对于，设上四分位数为， 因为所有频率之和为，即， 解得， 的频率为， 的频率为， 的频率为， 上四分位数将数据分成四等份，位于位置处， 所以上四分位数位于， 由，得， 所以成绩的上四分位数为，故B正确； 对于，从频率分布直方图中无法获得样本数据的最大值和最小值，从而无法求得极差，故C错误； 对于，设落在的成绩为，，，，落在的成绩为，，，， 已知，，，，对于这两组数据的合成， 落在的成绩的频率为，落在的成绩的频率为， 设总平均数为，， 总方差 ， 则总标准差，故D正确． 故选：． 11.解：因为， 作出函数的图象，如图所示： 对于，因为当时，， 当时，， 所以对，，都有，故A正确； 对于，当时，，设， 所以则， ， 所以， 所以，故B错误； 对于，因为有个不相等的实根，，，， 即直线与的图象有个不同的公共点，公共点横坐标为，，，， 不妨设，如图所示， 则， 令，解得； 令，解得； 又因为， 所以， 由二次函数的性质可知，关于对称， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于，令， 则有， 令， 则有， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 所以，，， 结合图象可知有个解，有个解，有个解， 所以函数有个零点，故D错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案      【解析】 12.解：要使原函数有意义，则，解得且． 函数的定义域为且． 13.解：由题意可得： ， ， ， ． 14.解：由题意可知球心，，，构成的四面体为棱长为的正四面体， 设正四面体外接球半径为， 设为， 则， 则有， 即， 解得， 则正四面体外接球的外接球表面积为； 由题可知，正四面体容器棱长达到最小时，四个球两两相切且与正四面体都相切， 设此时正四面体容器为，四球球心构成棱长为的正四面体， 过点作平面，垂足为， 设点为与平面的交点， 则为正四面体的高，点为等边的中心，点为等边的中心， 且点一定在上， 则为正四面体的高， 则， 设为中点，则， 为直线与面所成角， ， 可知球与正四面体内切，为切点， 则， 因为，所以， 设小球半径为，， 所以正四面体的高为： ， 正四面体与正四面体的相似比为： ， 所以正四面体的最小棱长为： ， 即该正四面体容器棱长的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【答案】解：由  得，  ， 所以  ， 又  ，所以  ， 所以  ，因为  ，所以  ； 由  外接圆的半径为  ，则得  ， 由余弦定理得，  ，即  ， 所以  ，解得  ，当且仅当时取等号， 所以  ， 故  面积的最大值为  ．   【解析】本题考查三角形面积公式，考查利用余弦定理解决最值问题，考查两角和与差的正弦公式，属于中档题． 先根据  展开，结合正弦和差化积公式进行化简，可得出  ，进而得出角 的值． 根据题意和正弦定理可得出边长的值，再由第一问和余弦定理得出和的关系  ，结合基本不等式即可求出  面积的最大值． 16.【答案】解：由菱形  可得  ，  面  面  ，面  面  ， 又正方形  中  ，   面  ， 又  平面  ，    ，   ，  平面  ，    面  ． 过 作  于 ，则  面  ． 过 作  于 ，连接 ， 因  平面  ，则  ， 又  平面 ，  ，故  平面 ， 又  平面 ，所以  ， 由， 故  为二面角  的平面角， 设  ，   ，  ，   ，   ， 又， 则，  ． 即二面角  的余弦值为  ．   【解析】本题考查线面垂直的判定，二面角，属于一般题． 利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证． 过 作  于  ，过  作  于 ，连接 ，利用线面垂直的性质定理得出  为二面角  的平面角，在  中直接求解即可． 17.【答案】解：根据频率分布直方图，平均数为， 而由于， ， 故第百分位数在区间第百分位数内，设其为， 则，得， 所以第百分位数为． 先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为， 数据的平均值和方差分别为，则数据的平均值和方差分别为和． 证明：设数据的平均值和方差分别为， 则 ． 由于方差． 故，， 且， 所以 ， 这就证明了结论． 回到原题，本题中，，，，，． 代入数值即知所求方差为 ．   【解析】本题考查频率分布直方图，百分位数，分层随机抽样的方差，属于较难题． 根据频率分布直方图直接计算即可； 先根据方差的性质推出公式，再代入题目中的数据计算即可． 18.【答案】解：因为，，且为偶函数， 所以， 所以， 解得， 所以； ， 由题意可得只有一个解， 即只有一个解， 又因为， 所以只有一个解， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：不等式对于一切实数恒成立，等价于对于一切实数恒成立． 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，即 整理得 解得； 故对于一切实数恒成立时． 不等式等价于． 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为． 综上当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为．  【解析】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及含参数的一元二次不等式问题的解法，熟记一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和推理与运算能力，属于拔高题． 由不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，利用二次函数的性质即可求解解题时注意对参数分情况讨论，特别当时，二次不等式的条件是； 不等式等价于解题时也要注意对参数分情况讨论特别当时，通过比较对应二次方程的两根的大小得出不等式的解集． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高二开学考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知命题，；命题，，则 A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是 A． B． C． D． 4．设，若关于的不等式在上有解，则 A． B． C． D． 5．已知函数且在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为 A． B． C． D． 8．已知的内角，，的对边分别为，，，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是 A． B．将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 10．从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的有 A．成绩的众数为 B．成绩的上四分位数为 C．成绩的极差为 D．已知落在的平均成绩是，方差是落在的平均成绩为，方差是，则两组成绩的总标准差为 11．已知函数，说法正确的是 A．对，，都有 B．若，且，则 C．若有个不相等的实根，，，，则的范围是 D．函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的定义域为 ． 13．已知平行四边形中，，，若点满足，点为中点，则 ． 14．将半径均为的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心，，，构成的四面体的外接球的表面积为 ，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，． （1）求角 ； （2）若外接圆的半径为，求面积的最大值． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面． （1）求证：面； （2）求二面角的余弦值． 17．（15分） 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人人．年龄在的老年人人．现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第百分位数； （2）已知年龄在的老年人年收入的方差为，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在的老年人年收入的方差．请先推导必要的公式，再代值计算 18．（17分） 已知函数为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值． 19．（17分） 设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$