第一章 特殊平行四边形章 回顾与思考 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦特殊平行四边形，系统梳理菱形、矩形、正方形的定义、性质、判定及面积计算，通过回顾平行四边形引入，以“定义—性质—判定—应用”为脉络搭建学习支架，帮助学生构建知识体系。 亮点在于结合几何直观与推理意识，通过折叠、动点等典例（如矩形折叠证正方形、菱形对角线求边长）培养数学思维，利用对比表格清晰呈现特殊平行四边形关系，助力数学语言表达。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可直接用于课堂讲解与巩固，提高教学效率。

第一章 特殊平行四边形 回顾与思考 北师大版九年级上册数学 【知识点1】菱形 菱形 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形 菱形的性质 边：四条边都相等 角：对角相等 对角线：对角线互相垂直且平分 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形 菱形的面积 菱形的面积 = 底 × 高 两对角线乘积的一半 菱形的判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形菱形 一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求它的边长. 典例讲解 2.如图，四边形 ABCD是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD=10cm。求：（1）对角线 AC 的长度； （2）菱形ABCD 的面积 典例讲解 24cm 3. 已知: 如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 分别作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F . 求证: 四边形 AEDF 是菱形. 典例讲解 证明: ∵AD 为∠BAC 的平分线 ∴∠DAC＝∠DAB 又∵DF∥AB，DE∥AC ∴四边形 AEDF 为平行四边形 ∠DAC ＝∠EDA ，∠FDA ＝∠EAD ∴∠FDA ＝∠DAF＝∠EAD ＝∠EDA 即AF ＝ FD ，AE ＝ ED 又∵四边形 AEDF 为平行四边形 ∴四边形 AEDF 是菱形 4. 已知: 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P. 求证: 四边形 CODP 是菱形. 典例讲解 分析：先证明四边形 CODP是平行四边形， 再证明一组邻边相等即可。 【知识点2】矩形 矩形 - 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形 - 矩形的性质 - 边：对边平行且相等 - 角：四个角都是直角 - 对角线：对角线相等且互相平分 - 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形 - 矩形的判定 - 有一个角是直角的平行四边形是矩形 - 有三个角是直角的四边形是矩形 - 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 如图，把两个全等的矩形 ABCD 和矩形 CEFG 拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC 的度数. 解: 由题意，可得∠FCE＝∠ACD ， ∠GCF＝∠BCA ， ∴∠ACF＝90°． 又∵AC＝CF， ∴∠AFC＝45° 典例讲解 6. 已知: 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 M， P，N，Q 分别在 AO，BO，CO，DO 上，且 AM = BP = CN = DQ. 求证: 四边形 MPNQ 是矩形. 典例讲解 证明: 在矩形 ABCD 中，AM ＝ BP ＝CN ＝ DQ ∴OM ＝ OQ＝ ON ＝ OP 易证△MOQ≌△PON ∴MQ ＝ PN ，∠MQP ＝∠NPQ ∴MQ∥PN ∴四边形 MQNP 为矩形 7. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm. 动点 P 从点 A 开始沿 AB 边以 4 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度运动. 点 P 和点 Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设动点的运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 APQD 是矩形？ 典例讲解 解:根据题意,四边形 APQD 是矩形时， DQ ＝AP ，DQ ＝20－t，AP ＝4t， 令 DQ＝AP，即20－t＝4t，解得 t＝4 (s)． ∴当 t 为 4 s 时，四边形 APQD 是矩形． 8. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由. 解: 重合部分是等腰三角形． 典例讲解 【知识点3】正方形 正方形 - 正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的的平行四边形 - 正方形的性质 - 边：四条边都相等 - 角：四个角都是直角 - 对角线：对角线互相垂直平分且相等 - 正方形的判定 - 有一个角是直角，一组邻边相等的平行四边形是正方形 - 一组邻边相等的矩形是正方形 - 一个角是直角的菱形是正方形 - 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 - 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 9. 如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延 长线上一点，且 EC=AC, 求 ∠DAE 的度数。 典例讲解 22.5° 是正方形 10.如图，若四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O, 且 ,则四边形ABCD是正方形吗? 典例讲解 11. 已知正方形的对角线的长为 l，求这个正方形的周长和面积. 典例讲解 项目 四边形 对边 角 对角线 对称性 矩形 菱形 正方形 平行且相等 平行且四边相等 平行且四边相等 四个角都是直角 对角相等邻角互补 四个角都是直角 互相平分且 相等 互相垂直平分 互相垂直平分且相等 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形轴对称图形 中心对称图形轴对称图形 【知识点4】特殊平行四边形的性质 矩形 正方形 平行四边形 菱形 四边形 （补全空白部分内容） 【知识点5】特殊平行四边形的判定 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 两条对角线互相平分 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线相等 有一个角是直角 一组邻边相等 对角线垂直 有 三个个角是直角 四条边都相等 有一个角是直角 对角线相等 平行四边形 菱形 四边形 【知识点5】特殊平行四边形的判定 12.下列命题正确的是( )  A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 典例讲解 【变式】下列命题正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 C．对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 D．对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 A D 13.(1)如图(1)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的A′点。展开纸片，得到四边形 ABA′E，这个四边形有哪些性质? (2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的A′点。展开纸片，得到四边形ABA'E，这个四边形是正方形吗?为什么? 典例讲解 解：（1）由折叠可知，△ABE≅△A′BE ∴AB=A′B，AE=A′E，∠ABE=∠A′BE，∠A=∠A′=90° 即四边形ABA′E 的性质为： 邻边 AB=A′B，AE=A′E； 有一个角 ∠A=∠A′=90°； ∠ABE=∠A′BE 13.(1)如图(1)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在纸片ABCD内的A′点。展开纸片，得到四边形 ABA′E，这个四边形有哪些性质? (2)如图(2)，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，顶点A落在BC边上的A′点。展开纸片，得到四边形ABA'E，这个四边形是正方形吗?为什么? 解：(2) 由折叠可知△ABE≅△A′BE ∴AB=A′B，AE=A′E， ∠A=∠BA′E=90°，∠ABE=∠A′BE。 又∵ ∠A=∠ABC=90°，∠ABE=∠A′BE ∴ ∠ABE=∠A′BE=45° ∴在△ABE 中，∠AEB=180°−90°−45°=45° ∴ ∠ABE=∠AEB ∴ AB=AE。 又∵  AB=A′B，AE=A′E ∴AB=A′B=AE=A′E ∴四边形 ABA′E 是菱形 又∵ ∠A=90 ° ∴四边形 ABA′E 是正方形 (3)如图(3)，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，顶点A落在 BC边上的A′点，顶点B落在纸片外的B′点。展开纸片，得到四边形AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论。 解：(3)四边形AFA′E是菱形。 证明：由折叠得AE=A′E，∠AEF=∠A′EF， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠AEF=∠EFA′ ∴∠A′EF=∠EFA′ ∴ A′E=A′F ∴AE=A′F ∴四边形AFA′E 是平行四边形 又∵AE=A′E ∴四边形AFA′E是菱形 下 课 $