第一章 特殊平行四边形 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学单元复习课件系统梳理了菱形、矩形、正方形的性质与判定，通过对比表格明确三者对边、角、对角线的特征，结合课后小结的图形推导流程图，串联平行四边形到特殊平行四边形的逻辑关系，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“性质辨析-判定应用-综合探究”的递进式例题设计，如菱形判定从基础证明到等宽纸条重叠情境分析，培养学生几何直观和推理意识。针对训练分层设置，兼顾基础巩固与能力提升，助力教师精准教学，有效提升复习效率。

小结与复习 北师版 九年级（上） 第一章 特殊平行四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 知识要点 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 二、菱形、矩形、正方形的判定方法 知识要点 考点一 菱形的性质和判定 例1 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE． A D C B F E 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD， CA 平分∠BCD． ∴∠BCE =∠DCE． 又 CE = CE，∴△BCE≌△DCE (SAS)． ∴∠CBE =∠CDE． ∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． 考点讲练 证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形). 1. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证：□ABCD 是菱形. A B C O D 【针对训练】 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 2. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由. A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下： 过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F. 由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形. 则 S□ABCD = AD · CF = AB · CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 考点二 矩形的性质和判定 例2 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. （1）求证：BD = BE； （2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积. A B C D O E (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，AB∥CD. 又∵ BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∴ AC = BE. ∴ BD = BE. 考点讲练 (2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4， ∴ BD = 2BO = 2×4 = 8. ∵∠DBC = 30°， ∴ CD = BD = ×8 = 4， ∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8. 在 Rt△BCD 中， BC = ∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = . A B C D O E 考点二 矩形的性质和判定 考点讲练 例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两线相交于点 E． 求证：四边形 AODE 是菱形. 证明：∵ AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形 AODE 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD. ∴ OA = OC = OD. ∴四边形 AODE 是菱形. 考点二 矩形的性质和判定 考点讲练 【变式题】如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴∠BOC = 90°. ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 CEBO 是平行四边形. ∴四边形 CEBO 是矩形. D A B C E O 考点二 矩形的性质和判定 考点讲练 考点二 矩形的性质和判定 3. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB 为矩形． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ OA＝OC，OD＝OB. ∵ AN＝CM，ON＝OB， ∴ ON＝OM＝OD＝OB. ∴ 四边形 NDMB 为平行四边形，且 MN＝BD. ∴ 平行四边形 NDMB 为矩形． 考点讲练 4. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下： ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形. 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°. ∴ 四边形 CEBO 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. D A B C E O 考点二 矩形的性质和判定 考点讲练 例4 如图，在四边形 ABFC 中，∠ACB = 90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 CF = AE. (1) 试判断四边形 BECF 是什么四边形？并说明理由； 解：四边形 BECF 是菱形． 理由如下：∵ EF 垂直平分 BC， ∴ BF＝CF，BE＝CE. ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠A＝90°，∠1＋∠2＝90°. ∴∠2＝∠A. 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 ∴ CE＝AE，∴ BE＝AE. ∵ CF＝AE， ∴ BE＝CE＝CF＝BF. ∴ 四边形 BECF 是菱形. (2) 当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形？请回答并证明你的结论． 解：当∠A＝45° 时，菱形 BECF 是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°. ∴∠EBF＝2∠CBA＝90°. ∴ 菱形 BECF 是正方形(有一角是直角的菱形是正方形). 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 正方形的判定方法： ① 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ② 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角； ③ 先判定四边形是平行四边形，再证明邻边相等且有一角为直角，或对角线互相垂直且相等． 【方法总结】 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 例5 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点 F，连接 AE、AF. (1) 求证：∠ECF＝90°； (2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请 说明理由； (1) 证明：∵ CE 平分∠BCO， CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ ×180°＝90°. 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 (2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形. 理由如下： ∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF. ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF. 当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形. 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． 由 (2) 知四边形 AECF 是矩形， 而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形． (3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？ 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 【针对训练】5. 如图，两个含有 30° 角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动， 下列说法错误的是 ( ) A. 四边形 ACDF 是平行四边形 B. 当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C. 当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D. 四边形 ACDF 不可能是正方形 B 6. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 10，BD = 6，则菱形 ABCD 的面积为_____． 30 A B C O D 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 7. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 G 是 BC 延长线上一点，连接 AG，点 E、F 分别在 AG 上，连接 BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4. (1) 求证：△ABE≌△DAF； (2) 若∠G＝30°，求EF的长. (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = AD. 在△ABE 和△DAF 中， ∴△ABE≌△DAF (ASA). 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 (2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠1＝∠G＝30°. 在 Rt△ADF 中，AD＝2， ∴ DF＝1，AF＝ . 由 (1) 得△ABE≌△DAF， ∴ AE＝DF＝1. ∴ EF＝AF－AE＝ －1. 考点三 正方形的性质和判定 考点讲练 两组对边平行 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 一个角是直角且一组邻边相等 课后小结 见教材章末练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $