陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级第一次月考（10月）数学试题

陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级 第一次月考(10月)数学试题参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.D 7.D 8.B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。) 9.ACD 10.AD 11.AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.-560 13.211 14.0.5 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。) 15 正确答案： 解：(1)由正弦定理有sinBcosA+√3 sinBsinA=sinA+sinC, 因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sinBcosA+√3 sinBsinA=sinM+sin Acos B+cos Asin B, 化简得，√5 sinBsinA=sinA+sinAcosB, 由A∈(0，π)，sinA≠0有V3sinB=1+cosB,可得sin 因为B∈(0，，B-元∈-元，5π 6(6’6 所以B-五=，则B= 66 3 (2)由B=,S=1 acsinB=V5得ac=4, 31 21 又=a2+2-2 accos B可得a2+c2=8, 「a2+c2=8 联立 ac=4 解得a=c=2 所以△ABC为正三角形 所以AD=2」 3 在△ABD中 由余定得0=2+) -2×2x2x128 329 所以BD=2V万 正确答案： 16 解：()设“学生每天饮用含糖饮料不低于50毫升为事件A,则P(A)-子P(习-子 设学生的肥胖”为事件，则P(84小-分P(8列-弓 由全概率公式可得P(B)=P(B到A)P(A)+P(B1AP(团)=3×4号x44 11231 所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为】 4 (2)由题意可知： x-B3). X的可能取值为0,1,2,3，则有： Px-0--rx--G×f- Px-2列-G-aPx=列-(4 1 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 27 27 9 1 64 64 64 64 X的期望E(X)=3x}3 44 17 正确答案： 证明：(1)：aPAD为正三角形，E为AD的中点，PE⊥AD .平面PAD⊥底面ABCD,平面PADn底面ABCD=AD. .PE⊥平面ABCD. ,CDC平面ABCD PE⊥CD. ,ABIICD,AB⊥AD ·CD⊥AD PENAD=E,PE,ADC平面PAD ·.CD⊥平面PAD. CDC平面PCD ·平面PCD⊥平面PAD 解：(2)在平面ABCD内作直线EF⊥AD .EF⊥平面PAD .·EF⊥PE. 以E为原点建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示 则P(0.0,3,A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(4,1,0),D(0,1,0). 在棱CD上假设存在点M,使得AM⊥平面PBE. .PE⊥平面ABCD,PE⊥AM. 要使AM⊥平面PBE成立，只需AMLEBE成立 DM 设M(x0,y0,2Z0)， DC-入.Ae0,1 D=ADC,即(x0,y0-1,20)=入(4,0,0) x0=4入，y0=1,Z0=0 M(4入，1,0). .EB=(2,-10),47=(4A,2,0) 由亚1，得丽-0，即8-2=0.解得i∈0,1 DM 1 故DC-i 1 正确答案： 解：(1)当x21时， 3z0 倒=n+-m 恒成立， x+ 3 即a x22x恒成立，只需 x 2 2x)mim即可， 令8(-x+ 3 x+2+ 2x,x21 则81n号2-2- x2 +22x=2x2 令-2h.1,5纷测因-2是2 xx 当x≥1时，H(20恒成立，hW在xc,+o)单调递增，所以h(x)≥h0=0, 所以8()20在x,+o）恒成立，8(，在x,+)单调递增 所以8(m=g(0=2 所以a≤2，即实数a的最大值为2. 回当=2时.=h分-号，0 (x)=I+x-2=x-）≥0f(x)在x∈(0，+o)上单调第 又=0，)+/儿)=0且*，不妨设0<<1<5， 要证名+x>2,即证明为>2-为， 因为冈在x∈0，+o)上单调递增，即证)>(2-) 因为)+/()=0，即证G)+f2-)k0 设F国/儿+/-刘=nx+号-2x++2-刘+--20-刘+ =m[x(2-x月+x2-2x+1=l[x(2-x刃-x(2-+1,0<x<1, 令=2-.则0<1，则0=-11,0-1l号 1,由0<1<1可得0>0,0在0,1)单调递增， 所以0<p(0=0,即F()=f()+f2-x<0, 所以f)+-)k0成立，所以+名>2. 1 正确答案： 解：(1)设Co,为)关于直线：y=x+1对称的点为C(,） 地一边=-1 0-x1 物+热0十+1 了x1=%-1 则( 2 2 可得劲=+1，即C(物-10+1). y=x+1 222 =1 联立「 4 可得32-2-5=0，解得r=-1或号 所以4(-1,0) 所以k应=kAc-kAD=kAC-kAC 个y B ②电)得》 2-=1 由4 可得=2V2-1(g≥0) =2-门=2×e2-2z= V-1 l-= 2×-5 故在点B处的切线斜率为 故在点B处的切线方程为 -；(-) 即5r-2g-3-0 0+1 由()C(物-1,0+)，kc= 0+1任+) 故AD的方程为 =0+1 设 ,易知双曲线的渐近线方程为”=士2：，故士2 由（0)得4±2且*01 (=t(+1) 联立 1 ,可得女2-红+1P-4 4+2 即4-2-2--4-0，解得2下或=1（舍去） 4+2 8t D 4+P8t 4+()2 AC的方程为-+ ,同理可得 4-4-),即 (告) 故 8[4-9-(42-1] 42+1(4-2-(4+2)(42-1 8t(5-5t -162-4+4-2-(16e-4+4-t 40t(1-9_5t 8-8t =1+2 8t5t/ 42+1 所以直线CD的方程为 y-42-1-2+五（王-42-i 42+18(2+1) 令y=0,可得 5(42-1) 542+1)-8(e+1) 5(42-1) -号 原cD过定有（传） 在点B处的切线方程为5证-2y-3=0也过5（5,0 P 因为4(-1,0) 直线：y=X+1, P(3 所以 3,点 且-0+1山=8 /到直线的距离为 2 5V万 1 8v2832 所以 5215陕西师大附中2024-2025学年度第一学期高三年级 第一次月考（10月)数学试题 一、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知为虚数单位，z=(1-)(3+),则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 72 设集合A={xx2-x-12>0,B={x∈Z6≤x≤6}，则AnB的元素的个数为() A.3B.4C.5D.6 73 若tana=2,则。cos2a 的值为() sin 2a+cos2a 3321 A.4B.5C.5D.2 4 过点A(-3,-4)的直线1与圆C:(红一3)2+(y-4)2=9相交于不同的两点M,N,则线段MN的中点P的轨迹是（) A.一个半径为10的圆的一部分8.一个焦距为10的椭圆的一部分 C一条过原点的线段 D.一个半径为5的圆的一部分 年 5 关于数-or+0>00<p<到，有下列四个说法：①f因)的最大值为3：②fd)的相部两个零点分别为天，名，且有K-小=元 :@的象上相部两个对将中心间的距离为受：@回的图像关于直线：一香对溶，若有且仅有一-个说法是错误的，则/付（) A33B35c.3D3 2222 安 6 已知0为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(2,0)作斜率为、√5的弦AB,其中点A在第一象限，则() A∠40F=∠B0FB∠A0B<90Ch-oM=3FB 77 唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期，强盛的国力，开放的心态，丝绸之路的畅通，使得庙代对外交往空前频察走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看 到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反陕出唐人对自我文化的自信素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组 合体（假设内壁光滑。杯壁厚度可忽略），如图2所示已知球的半径为，，活杯容积为10心 ,则其内壁表面积为()） 3 图1 图2 A10wB.C14D22 3 3 3 =年 8 设@>0，已知强数f-s如3ax}m2ax+在Q上拾有6个零点则0取值跑盟为() 侣引侣侣周 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。) 三、 9 已知事件A,B满足P(A)=0.3,P(B)=0.5,则下列说法正确的是（) A.若事件A与事件B相互独立，则它们的对拉事件也相互独立 B.事件A与事件B可能为对立事件 C.若事件A与事件B相互独立，则P(AB)=0.15 D.若事件A与事件B互斥，则P(AUB)=0.8 P10 已知函数∫(x)=x3-x2，x=2是函数f(x)的一个极值点，则下列说法正确的是() A.m=3 B.函数f(x)在区间(-1,2)上单调递减 C.过点(L,-2)能作两条不同直线与y=f(x)相切 D.函数y=fLf(x]+2有5个零点 11 已淀义在R上的函，对狂xyeR隋+)fW+f),其钟0)-=号：当x,0时，f闭>0，则() A.f(x)为R上的单调递增函数 B.f(x)为奇函数 C若函数f(W)为正比例函数，则函数()=儿巴在x=0处取极小值 D.若函数f(x)为正比例函数，则函数h(x)=f(x)-2sinx-1有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 712 (2x-之》展开武冲含子 项的系数为一 713 若将自然数1,2,3,4,5，，按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为·（用数字作答） 6 18 17 161514131211 V14 若点P(xy)是曲线3x2+2√xy+2=1上的点，则√2+的最小值为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。) 715 在△4BC中，内角A,B,C的对i边分别为a,b,c,且bcosA+36sinA=a+c (1)求B: (2)若b=2,△MBC的面积为3，D为AC边上一点，满足CD=2AD,求BD的长 16 2024年7月12日，国家疾控局会同教育部.国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术 的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含 糖饮料的统计结果如下：学校有} 的学生每天饮用含糖饮料不低于50毫升，这些学生的肥胖率为 ,:而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为2 (1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率 (2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期单. 7 在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点，AB∥CD, AB⊥AD,CD=2AB=2AD=4 B C (1)求证：平面PCD⊥平面PAD (2②)在棱CD上是否存在点M,使得AM⊥平面PBB?若存在，求出DM 的值；若不存在，说明理由 DC 718 已知通数f份=hx+)-x+2(a>0, 3 21 (1)当x∈l,+oo)时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的最大值： (2)当a=2时，若fx)+fx)=0,且x≠，求证：x+x3>2 79 已如吸难线-着1与直线：y=x+1交于小B两点(A在B左侧)，过点4的两条关于1对特的直线，h分别交双线于C、D两点(C在 右支，D在左支)， (1)设直线L的斜率为k,,直线L的斜率为k2,求kk,的值： (2)若直线CD与双曲线在点B处的切线交于点P,求△4BP的面积