河北省承德市双滦区实验中学2026年高二暑假数学专项测试卷（14）---计数原理与概率统计

**基本信息** 聚焦计数原理与概率统计综合应用，以题型分层构建“概念辨析-方法迁移-模型应用”训练体系，强化数学思维与数据处理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/7、多选9|事件关系判断、相关系数符号分析|互斥/对立/独立事件概念→统计量性质推导| |方法应用|填空13/14、解答15|排列组合分类讨论、二项式系数计算|计数原理→概率公式→实际问题求解| |模型构建|解答16/19|独立性检验、概率递推模型|统计案例→随机变量分布→数学期望应用|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（14） 范围：计数原理与概率统计 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．对于古典概率模型中的事件，若，则之间的关系一定为（   ） A．互斥事件 B．独立事件 C．对立事件 D．以上选项均不正确 2．若数据 的方差为1，则新数据 的方差为（ ） A．10 B．11 C．100 D．101 3．已知随机变量服从正态分布，若，则（     ） A． B． C． D． 4．已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 5．，则等于（    ） A． B． C．8 D．7 6．甲、乙、丙、丁等6人分成，两个小组，每组3人，要求甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则不同的分配方案有（     ） A．4种 B．6种 C．8种 D．12种 7．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，以下选项中的两个事件是互斥事件但不是对立事件的是（     ）． A．至少有1个白球和2个都是白球 B．至少有1个白球和至少有1个红球 C．恰有1个白球和恰有2个白球 D．至少有1个白球和2个都是红球 8．若正整数满足，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（    ） A． B． C． D． 10．某工厂有甲、乙两条生产线生产同一种零件．甲生产线的产量占全部产量的，乙生产线的产量占全部产量的，甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为．现从该工厂生产的零件中随机抽取一件，设事件表示“抽到的零件为次品”，设事件表示“抽到的零件来自甲生产线”，定义随机变量，则（    ） A． B． C． D． 11．将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，每人只去一个公司，则下列说法正确的是（    ） A．共有24种分配方法 B．每个公司都有分配到人，有24种分配方法 C．恰好有一个公司未分配到人，有144种分配方法 D．每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知为空间中27个点构成的集合，点．记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对的每个点，令，则的数学期望为________． 13．的展开式中，的系数为________． 14．央视大型美食文旅节目《三餐四季》安徽篇6月7日播出，宿州美食惊艳亮相，节目播出后宿州的知名度大幅提升.三位美食博主甲，乙，丙决定探访宿州美食文化，计划打卡埇桥、砀山等五个地方.他们约定每人至少选择一个地方打卡，每个地方都有人去且仅有一人打卡，其中甲在埇桥、砀山中至少选择一个地方，则不同的打卡种数为___________.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率是，甲、乙都能破译的概率是. (1)求乙能破译的概率； (2)求恰有一人能成功破译的概率； (3)求密码被成功破译的概率. 16．(本小题15分）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取件产品重新做参数调试，再从这件产品中随机抽取件作对比分析，记抽取的件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．(本小题15分）甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． (1)求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； (2)两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 18．(本小题17分）设是正整数，展开式的通项中的组合数称为该项的二项式系数．对于，考虑以下问题： (1)若展开式各二项式系数的和为512，求展开式中二项式系数最大的项； (2)当时，若从展开式的二项式系数中任取两项，求和为偶数的概率； (3)当时，若从展开式的二项式系数中任取一项，要使这个二项式系数小于的概率大于0.7，求的取值范围． 19．(本小题17分）某公交站点的候车拥挤度分为拥挤和宽松两种状态，现统计了一个月内每日拥挤度的变化满足：第天拥挤的概率为，若第天拥挤，则第天拥挤的概率为；若第天宽松，则第天拥挤的概率为．记第天该站点拥挤的概率为． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，都是离散型随机变量，则，记前天拥挤的天数为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A D A C B BCD ABD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】根据概率加法公式，对任意事件有， 将代入上式，得. 因为，所以事件互斥，故选项A正确； ，所以事件不独立，故选项B错误； 因为，所以事件不对立，故选项C错误；因此选项D错误. 2．C 【详解】若数据 的方差为1，则新数据 的方差为. 3．C 【详解】已知随机变量，其概率密度曲线关于对称轴对称， 根据对称性可得，所以，故选项C正确. 4．A 【详解】 . 5．D 【详解】令，得①， 令，得②， ①-②，并除以2，得，所以. 6．A 【详解】分类 1：甲、乙同在 A 组 A 组已有甲、乙，还需 1 人，要求丙丁不同组，则丙、丁不能同时留在 B 组，因此第 3 人只能是丙或丁： 选丙：A 组 {甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成 B 组，满足丙丁不同组； 选丁：A 组 {甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成 B 组，满足丙丁不同组； 此分类共种分配方案； 分类 2：甲、乙同在 B 组 同理，B 组已有甲、乙，第 3 人只能是丙或丁： 选丙：B 组 {甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成 A 组； 选丁：B 组 {甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成 A 组； 此分类共种分配方案，总方案数：种 7．C 【详解】从2红2白中取2个球，所有可能的结果为：2个红球，1红1白，2个白球； 选项A：“至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是白球”可以同时发生，不是互斥事件，排除； 选项B：“至少1个白球”和“至少1个红球”都包含“1红1白”，可以同时发生，不是互斥事件，排除， 选项C：“恰有1个白球”（即1红1白）和“恰有2个白球”不能同时发生，是互斥事件； 且存在“2个都是红球”的情况，两个事件都不发生，因此不是对立事件，符合要求， 选项D： “至少有1个白球”包含“1红1白”和“2个白球”，和“2个都是红球”不能同时发生，且涵盖了所有可能的结果，必有一个发生，是对立事件，不符合要求. 8．B 【详解】因为，由， 得，得，得，得． 9．BCD 【详解】由图可知，图1和图2是正相关，图3和图4是负相关，则， 而图1和图3的点相对更加集中，所以相关性更强，则，即， 则. 10．ABD 【详解】由题意得，，，. 对选项A：由全概率公式可得， ∴ ，故A正确. 对选项B：， 由条件概率公式得，故B正确. 对选项C：∵ 随机变量服从两点分布，其中， ∴ ，故C错误. 对选项D：∵ 两点分布的方差，其中， ∴ .又∵ 方差满足性质， ∴ ，故D正确. 11．BCD 【详解】对于A：将2男2女共4个优秀毕业生分配给，，，四个公司，共有种选择，A错误； 对于B：每个公司都有分配到人，共有种选择，B正确； 对于C：恰好有一个公司未分配到人，先选出一个公司不分配人，有种方法， 再将四个人分配到三个公司，这三个公司都至少有一个人，有种方法， 恰好有一个公司未分配到人，有种分配方法，C正确； 对于D：每个公司都有分配到人，且公司只要女生，先分给公司，有2种方法，再分给其他公司，有种方法，每个公司都有分配到人，且公司只要女生，有12种分配方法，D正确. 12． 【详解】由题意，得全集有27个点，点，所以样本空间中有26个点． 随机变量，则． 全集上所有点的坐标分量之和，由对称性，每个坐标分量独立取值于， 且每个值出现次数相等，对第一个分量，每个取值出现次， 所以．同理，，，所以． 去掉点，其坐标和为4，故，所以 13．9 【详解】 的通项公式为，, 第一部分 产生 ，令 不是整数，此部分无项，系数为 0； 第二部分产生，，令,解得 ，此部分系数为 ，所以系数为0+9=9. 14．88 【详解】当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且只去1个地方时，有种选择， 再将其他4个地方分给乙，丙，有种选择， 共有种选择； 当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且去2个地方时，有种选择， 再将其他3个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择； 当甲只选择埇桥、砀山中的1个，且去3个地方时，有种选择， 再将其他2个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择； 当甲选择埇桥、砀山2个地方且只去2个地方时， 只需将其他3个地方分给乙，丙，有种选择； 当甲选择埇桥、砀山且去3个景点时，有种选择， 只需将其他2个地方分给乙，丙，有种选择，共有种选择， 种，故共有88种不同的打卡方案. 15．【详解】（1）设事件为“甲能破译”，事件为“乙能破译” 根据题意已知：甲能破译的概率，， 由于两人独立，所以，代入可得. 所以乙能破译的概率为. （2）恰有一人能成功破译”包含两种互斥的情况： 甲能破译，乙不能破译（即），甲不能破译，乙能破译（即）. 则,， 所以所求概率为. （3）密码被成功破译，则甲、乙两人中至少有一人能破译， 对立事件为甲、乙两人都不能破译，， 所以所求概率为. 16．【详解】（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联． （2）由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的件产品中， 合格产品有件，则不合格产品有件， 的所有可能取值为，，，则，，， 故的分布列为： 0 1 2 则． （3）由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则，， 由， 故由可得， 又，则当时，． 由可得，即当时，， 故当事件“”的概率最大时，或． 17．【详解】（1）记事件甲恰好答对两道文化测试题， 则道文化题甲作答正确与错误的情况有：对对错、对错对、错对对， 故. （2）①若道文化题甲答对两道或全答对，概率为； 若甲在体能测试中得分，则道体能测试题甲全答对，其概率为. 记事件甲总分为分，则甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 故； ②设甲的得分为，乙的得分为， 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； ； 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 由题意可知，乙在文化测试中得分的概率为， 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； 若，则乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 则； 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 所以 ，因此甲的总分高于乙的总分的概率为. 18．【详解】（1）已知展开式各二项式系数的和为512， 所以，解得．此时展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项， 第五项为，第六项为， 所以展开式中二项式系数最大的项是和． （2）、、、、． 总的取法有种；符合题意的取法为在、、…、中任取两个，或者同时取、， 共有种．因此所求的概率为． （3）为展开式第9项的二项式系数． 当时，此时小于的有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而增大；由，解得． 当时，此时小于的项有、…、，共个数． 所求概率为，其值随的增大而减小； 由，解得．因此整数的取值范围为． 19．【详解】（1）根据全概率公式，第天拥挤的概率为：， 已知，代入得， （2）由递推关系，整理得， 设，展开得， 整理得对比系数，得. 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即. 因此数列的通项公式为 （3）设变量表示第天拥挤，变量表示第天宽松. 则前天拥挤的天数为. 由期望的线性性质得 ， 因此. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $