精品解析：云南省昭通市威信县第二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2026年春季学期期末考试 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 5. 已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 7. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的标准差是 10. 已知三角形有一个角是，若这个角的两边长分别为8和5，则（ ） A. 三角形另一边长为6 B. 三角形的周长为20 C. 三角形外接圆面积为 D. 三角形内切圆半径为 11. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（ ） A. 圆台的母线与底面所成的角为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台的体积为 D. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上（球心在圆台外部），则该球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则_____． 13. 在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______. 14. 如图所示，某观测站在城的南偏西的方向上，由城出发有一条公路，走向是南偏东，在处测得距为31千米的公路上处有一同学骑自行车正沿公路去城，走了20千米后，到达处，此时、间距离为21千米，问：如果该同学骑自行车的速度为10千米/小时，该同学还需走__________小时到达城． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，令． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间． 16. 某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计样本中指标数据的分位数． 17. 已知如图，在正三棱柱中，为棱的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 19. 如图，直角梯形中，，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末考试 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册第六章~第九章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】. 故选：. 2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数乘法运算结合共轭复数，复数几何意义可得答案. 【详解】复数， 则， 从而在复平面对应点为，在第四象限. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据， 由可知，不满足平行关系，A错误； 由可知，不满足垂直关系，B错误； 因为，， 由可知，不满足平行关系，C错误； 由可知，满足垂直关系，D正确． 4. 某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得应抽取三年级的学生人数为(人). 5. 已知的直观图如图所示，轴，轴，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原原图形，确定原三角形为直角三角形且两直角边长分别为1和2，利用勾股定理求解. 【详解】题意可知，在直观图  中， 轴， 轴, 根据斜二测画法的规则，在原平面图形  中， 轴， 轴, 因为在平面直角坐标系中  轴与  轴互相垂直，所以 ，即 , 又根据斜二测画法中线段长度的变化规则：平行于  轴的线段长度不变，平行于  轴的线段长度变为原来的一半， 已知 ，， 所以原图形中 ，， 在 Rt 中，由勾股定理得： . 6. 设是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与异面 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选项根据空间中直线与平面的位置关系直接判断即可，D选项需要通过画图解释，另外需要结合线面垂直、面面垂直、线面平行的性质进行分析. 【详解】对A，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故A错误； 对B，若，则或a与b异面，故B错误； 对C，若，则a与b相交、平行或异面都有可能，故C错误； 对D，若，设与的交线为m，与的交线为n， 在平面内取，在平面内取，与a不重合， 由面面垂直的性质可得，所以， 又，所以，由线面平行的性质定理得， 所以有，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，通过将转化为，利用，，三点共线建立关于的方程求解即可. 【详解】由，得，则， 所以． 因为是上的一点，即，，三点共线， 根据共线向量定理的推论则有，即，解得． 8. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的标准差是 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次计算该组数据的众数、极差、平均数、方差与标准差，逐项判断即可. 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 10. 已知三角形有一个角是，若这个角的两边长分别为8和5，则（ ） A. 三角形另一边长为6 B. 三角形的周长为20 C. 三角形外接圆面积为 D. 三角形内切圆半径为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理求解第三边长，再结合周长公式、正弦定理、三角形面积与内切圆半径的关系，逐一判断各选项正误. 【详解】选项A：由余弦定理可知，60°角对应的边长为，不是6，A错误， 选项B：三角形三边长为8、5、7，周长为，B正确， 选项C：设外接圆半径为，由正弦定理可知，解得， 则外接圆面积为，C正确， 选项D：三角形面积，设内切圆半径为， 由，解得，D错误. 11. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（ ） A. 圆台的母线与底面所成的角为 B. 圆台的侧面积为 C. 圆台的体积为 D. 若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上（球心在圆台外部），则该球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，由圆台的几何结构特征，求得圆台的高，利用线面角的定义，以及圆台的侧面积和体积公式，再结合球的截面圆的性质，列出方程组，求得外接球的半径，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆台的上下底面圆的圆心分别为，过点作， 因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为， 对于A，由， 在直角中，可得， 所以，即圆台的母线与底面所成的角为，所以A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式得，所以B正确； 对于C，在直角中，可得， 即圆台的高为，由圆台的体积公式，可得，所以C错误； 对于D，设圆台的外接球的球心为，半径为 且球心到圆台上底面的距离为， 在直角中，可得，即， 在直角中，可得，即， 联立方程组，解得， 所以圆台外接球的体积为，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数是纯虚数求得，进而求得. 【详解】由于是纯虚数，所以， 解得． 故答案为：. 13. 在正方体中，直线与直线AC所成角的大小为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将异面直线所成角转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以直线与直线AC所成角为直线与直线所成角, 即或其补角，是等边三角形，所以， 所以直线与直线AC所成角的大小为. 故答案为： 14. 如图所示，某观测站在城的南偏西的方向上，由城出发有一条公路，走向是南偏东，在处测得距为31千米的公路上处有一同学骑自行车正沿公路去城，走了20千米后，到达处，此时、间距离为21千米，问：如果该同学骑自行车的速度为10千米/小时，该同学还需走__________小时到达城． 【答案】## 【解析】 【分析】设，得到，在和中，分别利用正弦定理与余弦定理，求得的长，即可求解. 【详解】设，根据题意，可得，所以， 在中，， 由余弦定理得，则， 可得， 在中，由正弦定理得，所以， 所以到达城需要的时间为小时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，令． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积公式结合两角差的正弦公式对式子进行化简，再根据最小正周期公式即可求出答案； （2）根据正弦函数的单调性即可求出答案. 【小问1详解】 ， 最小正周期. 【小问2详解】 令， 解得， 因此的单调递增区间为. 16. 某厂引进一种生产新能源汽车关键部件的设备，为了解该设备生产的关键部件的某项指标的情况，随机抽取了100件关键部件的该项指标数据，按分组，并绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）估计样本中指标数据的分位数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1可得； （2）由频率分布直方图百分位数计算方法可得; 【小问1详解】 由题意可知，得 【小问2详解】 由题意的频率为，的频率为， 的频率为，的频率为， 故分位数在区间内，设为， 则，得， 故样本中指标数据的分位数为. 17. 已知如图，在正三棱柱中，为棱的中点，. （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接，设，连接DE，因为，分别为，的中点，所以DE为的中位线，利用线面平行的判定定理， 即可得证. （2）由（1）可得直线平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离，利用等体积法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接，设，连接DE, 因为是正三棱柱. 所以四边形是矩形， 所以是的中点. 在中，因为，分别为，的中点. 所以. 因为平面，平面， 所以直线平面. （2）设到平面的距离为. 因为直线平面， 所以到平面的距离为， 因为， 所以， 因为，， 所以，解得 【点睛】证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明，求点到面的距离是，优先使用等体积法，考查推理证明，计算求值的能力，属基础题. 18. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的值； （2）若． ①求a的值； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可求解； （2）①根据已知条件以及(1)中结论，利用正弦定理和余弦定理求出，②结合均值不等式即可求解面积的最大值. 【小问1详解】 ， ， 化简可得： ， , ， 【小问2详解】 ①， ， ． ②由①得， ，当且仅当时等号成立， 面积的最大值为． 19. 如图，直角梯形中，，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． （1）求证：平面平面； （2）二面角的大小． 【答案】（1）直角梯形中，，为的中点， 所以四边形为正方形，即.所以. 连接，则. 又， 所以，即. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理进行证明. （2）利用二面角的定义以及直角三角形的性质进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）有平面，又平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，所以. 所以二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $