精品解析：云南丽江市2025-2026学年下学期期末教学质量检测高一数学试卷

丽江市2026年春季学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算以及模的公式代入求解即可. 【详解】， 所以. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，故， 而， 故B正确，其余错误. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，因为，所以， 而，则存在直线，使得，则，即； 若，由，则或， 而，则可能平行、可能相交、也可能异面. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 5. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为． 6. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量基本定理化简计算即得. 【详解】由题意， 故, 根据平面向量基本定理可知，，则. 7. 底面半径为4的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】底面半径为4的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥， 通过相似可知，原圆锥高为，满足，解得. 可知该圆台上底半径为，下底半径为，高为， 圆台的体积为. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】ABD 【解析】 【详解】将样本数据从小到大排序：5，6，6，6，7，7，7，8，8，10， 选项A，极差=最大值-最小值，，所以A正确； 选项B， 样本均值，用样本均值估计总体均值，所以B正确； 选项C，百分位数位置：，因为为整数，所以分位数是第9项和第10项数据的平均值，即分位数是，所以C错误； 选项D，样本方差，所以D正确． 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象特征（振幅、截距、零点）确定函数的解析式，并进一步分析函数的对称性、单调区间以及图象变换规律。 【详解】确定函数解析式 求：由图象可知，函数的最大值为2，因为，所以. 求：图象经过点，代入解析式得： ，即，解得。 因为，所以. 故选项A正确. 求：由图象可知，函数在处取得零点，且此时图象处于下降阶段. 对于正弦函数 ，当时，函数值为0且处于下降趋势。 所以，， 整理得：， 解得：， 因为，且由图象观察可知，从 到经历了不到一个完整的周期，取时，. 所以函数解析式为. 分析选项B： 考查点，即. 将代入解析式： . 因为，所以点不是函数的对称中心. 故选项B错误. 分析选项C： 考查区间， 令， 当时，， 当时，， 所以，当时，相位， 正弦函数在区间上是单调递增的. 因为，所以函数在区间上单调递增. 故选项C正确. 分析选项D： 将的图像向左平移个单位长度，得到的函数解析式为： ， 代入，得： ， 这与函数的解析式完全一致. 故选项D正确. 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：利用线面平行，先判断点到平面的距离不变，底面积固定，所以，三棱锥的体积为定值. 选项B：先求出底面外接圆半径，再根据直三棱柱外接球半径公式，求得：外接球半径，进而计算外接球表面积. 选项C：的周长，又，所以要求周长最小值，即求的最小值，验证周长最小值. 选项D：利用空间向量法，先求平面的法向量，在利用点面距距离公式求点到平面的距离，最后转化为平面内圆得轨迹，计算圆弧长度. 【详解】选项A分析： 三棱锥的体积，其中为点到平面的距离， 在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面. 因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值. 底面是直角三角形， ，也是定值. 所以，三棱锥的体积为定值. 故A正确. 选项B分析： 设正三棱柱外接球的半径为， 底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径， 棱柱的高， 根据外接球半径公式，得： ， 外接球表面积. 故B错误. 选项C分析： 的周长. 在中， ，为定值. 要求周长最小值，即求的最小值. 如图： ，. 根据勾股定理，的最小值为 . 所以周长的最小值为. 故C错误. 选项D分析： 建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴. 则，，. 因为是边长为2的等边三角形，所以. 设：平面得法向量为， 又，， 所以，且， 即，且， 令，则，， 平面的法向量，又因为， 点到平面的距离 . 设点在平面上，且. 根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分. 侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点. 我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长. 设圆弧与交于点，与交于点. 在中，，，所以. 同理，. 因为，所以是的中点；同理是的中点. 在正方形中，是的中点，是中点，是中点. ，， 同理. 所以圆弧所对的圆心角为. 轨迹长度 . 故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 【答案】2 【解析】 【详解】，. 13. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设甲、乙同学猜对一道题分别为事件，则, 则任选一道灯谜，甲，乙均猜对为事件,依题意，, 则甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若边上的高为，当取得最大值时，____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由等面积法可得，由正弦定理得：，结合余弦定理可得，再结合三角函数性质即可得解. 【详解】设BC边上的高为，则， 则三角形的面积，得， 在中，由正弦定理得：， 由余弦定理得， 则 ， 因为，所以， 则，即时，取得最大值， 此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的定义求，再根据求实数的值. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得，，， 因为，所以， 即，解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 【答案】（1） （2）众数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质，求出参数，再根据分层抽样的规则，计算成绩在的同学的个数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由性质知：，故， 成绩在内的频率分别为， 所以采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名， 其中成绩在的同学个数为：. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：众数在内，为； 由频率分布直方图知，成绩在，，，，，内的频率分别为： ，，，，，. 所以估计本次考试平均数为： . 【小问3详解】 由于成绩在的频率为， 故估计获得表彰的同学的最低分数为：． 17. 已知的内角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，化简计算即可求解； （2）由余弦定理、正弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 即，得， 即， 即. 又，， 所以，即，所以. 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得， 所以. 当时，因为，所以， 所以为直角三角形. 又，所以. 因为，所以， 所以； 当时，所以． 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 综上所述，的面积为． 18. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）因为且为的中点，所以， 因为，所以且．因为，所以且， 所以且．所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明四边形是平行四边形得到即可； （2）过点作交于点，连接，利用三角形全等证明或其补角即为平面与平面所成角的平面角，等面积法求出，再利用余弦定理求出，即可求出； （3）取的中点为，连接，，首先证明平面，然后利用等体积法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知，直线平面，同理可得平面， 由于交于点，平面，所以平面平面， 因此平面与平面所成角即为平面与平面所成的角， 如图所示，过点作交于点，连接， 由于，，所以，所以， 则或其补角即为平面与平面所成角的平面角， 在中由余弦定理得， 则， 因为，解得， 在中，由余弦定理得， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 取的中点为，连接，， 因为为等腰三角形，为等边三角形，所以，， 所以，， 因为，所以，， 因为，，，，平面，所以平面， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． （1）设，，，生成函数是偶函数，求的值； （2）设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）能， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的概念可求的值. （2）先确定函数的解析式，利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间的值域问题求解. （3）先确定函数的解析式，根据函数的奇偶性确定，再结合对勾函数的单调性，结合函数在上的最小值可确定，的值，得到函数的解析式. 【小问1详解】 因为，故， 因为为偶函数，故，，故. 【小问2详解】 由题意可得，，，，， 所以， 不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 因为，所以. 令，则， 由在上单调递减， 所以当时，取得最小值，故. 【小问3详解】 设，则． 由，得， 整理得，即， 即对任意恒成立， 所以．所以 ． 设，，令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，，且当时取到“”． ，又在区间上的最小值为， ，且，此时，． . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市2026年春季学期高中期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，则=（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，是上靠近的一个三等分点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 底面半径为4的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的极差为5分 B. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 C. 该样本的分位数为8分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正三棱柱的外接球表面积为 C. 周长的最小值为 D. 已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，甲，乙两位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，任选一道灯谜，甲，乙两位同学至少有一个人猜对的概率为____________． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若边上的高为，当取得最大值时，____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 某校高一年级期末考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，求成绩在的同学的个数； （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数． 17. 已知的内角，，所对应的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 18. 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数． （1）设，，，生成函数是偶函数，求的值； （2）设，，，，生成函数．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $