1.2 集合间的基本关系 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的包含与相等关系，系统讲解子集、真子集、空集的概念及符号、Venn图表示。通过“任意两集合是否有包含关系”等问题导入，衔接集合基本概念，为后续函数学习搭建逻辑支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，通过“明辨是非”辨析易错点，“典例+即学即练”归纳子集个数规律，用Venn图和数轴直观判断关系。帮助学生夯实概念理解与解题能力，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

本课要点 思维导图 (点击展示) 集合间的 基本关系 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 空集：无任何元素   相等：两集合的元素完全相同 求子集时，注意不要漏掉空集和集合本身 解含参集合问题时，注意用到分类讨论思想 数学运算：通过集合间的关系判断或求参数，培养数学运算的核心素养 求子集的方法： (1)分类讨论：按照元素个数从0到n依次列举出子集； (2)用树状图：协助写出子集 判断集合关系方法： (1)观察法：一一列举观察； (2)元素特征法：先确定元素，再根据元素特征判断； (3)数形结合法：利用数轴或Venn图 返回 1 【学习目标】 1.理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集、真子集. 2.会判断给定集合间的关系,并会用符号和Venn图表示. 3.在具体情境中,了解空集的含义. 【素养达成】 数学抽象、逻辑推理 直观想象 数学抽象 返回 1 1.2　集合间的基本关系 返回 一、子集及相关概念 1.Venn图:用平面上________________代表集合,这种图称为Venn图. 2.两个集合之间的关系 封闭曲线的内部 返回 1 教材挖掘(P7观察) 任意两个集合之间是否有包含关系? 提示:不一定,如集合A={2,5},B={1,2,3},这两个集合就没有包含关系. 版本交融 (人BP10想一想) 符号“∈”与符号“⊆”表达的含义相同吗? 提示:不同.“∈”表示元素与集合之间的关系,如1∈N;“⊆”表示集合与集合之间的关系,如{1,2,3}⊆{4,3,2,1};“∈”的左边是元素,右边是集合,“⊆”的两边均为集合. 返回 1 教材深化 1.不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B. 2.在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. 3.若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关. 4.含n个元素的集合有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-2)个非空真子集. 返回 1 二、空集 定义 不含__________的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的______,即_______ 版本交融 (人BP10尝试与发现) 为什么可以规定空集是任何集合的子集? 提示:因为空集中不含任何元素,根据子集的定义,所以可以规定空集是任何集合的子集. 任何元素 子集 ⌀⊆A 返回 1 三、子集的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集,即______. 2.对于集合A,B,C,若A⊆B,B⊆C,则______. A⊆A A⊆C 返回 1 明辨是非 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合{0}是空集.(　 　) 提示:⌀是不含任何元素的集合,{0}是含有一个元素的集合,⌀⫋{0}. (2)空集是任何集合的真子集.(　 　) 提示:空集是空集的子集,但不是真子集. (3)若A⫋B,则B中至少有一个元素不属于A.(　 　) 提示:由真子集的概念可知. (4)若B⊆A,元素a∉A,则a∉B.(　 　) 提示:因为B是A的子集,所以不属于A的元素一定不属于B. × × √ √ 返回 1 师生共研·开素养之花 返回 类型一 求集合的子集、真子集(逻辑推理) 【典例1】(1)填写表格,回答后面的问题: 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ⌀       {a}       {a,b}       {a,b,c}       ①你能直接说出集合{a,b,c,d,e}的子集的个数吗? ②如果一个集合的元素个数为n,你能用n表示该集合子集、真子集的个数吗? 返回 1 【解析】 集合 元素个数 所有子集 子集个数 ⌀ 0 ⌀ 1 {a} 1 ⌀,{a} 2 {a,b} 2 ⌀,{a},{b}, {a,b} 4 {a,b,c} 3 ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8 ①集合{a,b,c,d,e}共有32个子集. ②含n个元素的集合的子集共有2n个,真子集共有2n-1个. 返回 1 (2)已知集合A={-2,0,2,3},若集合B满足{0,3}⊆B⫋A,则集合B可以为__________________.  答案:{0,3},{-2,0,3},{0,2,3} 【解析】因为集合B满足{0,3}⊆B⫋A, 所以B={0,3},{-2,0,3},{0,2,3}. 返回 1 总结升华 求集合子集、真子集个数的三个步骤 提醒:要注意两个特殊的子集:⌀和自身. 返回 1 即学即练 1.已知集合N={1,3,5},则集合N的非空真子集的个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】选B.集合N的非空真子集有{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},共6个. 返回 1 2.(2024·日照高一检测)已知集合A={(1,2),(2,1),(2,2)},试写出A的所有子集,并指出哪些是真子集. 【解析】因为A={(1,2),(2,1),(2,2)}, 所以A的子集有:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}, {(1,2),(2,1),(2,2)}. 其中A的真子集为:⌀,{(1,2)},{(2,1)},{(2,2)},{(1,2),(2,1)},{(1,2),(2,2)},{(2,1),(2,2)}. 返回 1 【补偿训练】 已知非空集合P满足:(1)P⊆{1,2,3,4,5};(2)若a∈P,则6-a∈P.符合条件的集合P的个数为__________.  答案:7 【解析】由a∈P,6-a∈P,且P⊆{1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选,2,4同时选,3可单独选,可一一列出满足条件的全部集合P为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个. 返回 1 类型二 集合间关系的判断(逻辑推理) 【典例2】(1)(教材P9T2改编) 设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为 (　　) A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P 【解析】选B.因为有一个角是直角的菱形是正方形,所以正方形应是菱形的一部分, 因为正方形、菱形都属于平行四边形,所以它们之间的关系是Q⊆M⊆N⊆P. 返回 1 (2)判断下列集合的关系: ①A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}; ②A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; ③A={x|x是文学作品},B={x|x是散文},C={x|x是叙事散文}; ④M={x|x=2n-1,n∈Z},N={x|x=2n+1,n∈Z}. 【解析】①B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A. ②集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B. ③画出Venn图,可知C⫋B⫋A. ④两个集合都表示奇数组成的集合,故M=N. 返回 1 总结升华 判断集合间关系的方法 返回 1 即学即练 1.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系中正确的是(　　) A.S∈U B.S⊆T C.S⊆F D.F⊆T 【解析】选B.由Venn图,得S⊆U,S⊆T,S与F,F与T没有包含关系. 返回 1 2.(多选)已知集合A={x|x2-2x=0},则有(　　) A.⌀⊆A B.-2∈A C.{0,2}⊆A D.A⊆{y|y<3} 【解析】选ACD.由题意得A={0,2},且空集是任何集合的子集,故A正确;因为A={0,2},所以-2∉A,{0,2}⊆A,A⊆{y|y<3},所以B错误,C,D正确. 返回 1 【补偿训练】 已知集合M=,N=,则(　　) A.M=N B.M⊆N C.M⊇N D.M与N的关系不确定 【解析】选B.因为N== 或, 且M=,所以M⊆N. 返回 1 类型三 根据集合间的关系求参数(逻辑推理、数学运算) 角度1　根据集合的相等关系求参数 【典例3】(2024·烟台高一检测)已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},若M=N,则a+b的值为________.  答案:1或 返回 1 【解析】由M=N,得或 解得或或 根据集合中元素的互异性,得不符合题意,故或 所以a+b=1或. 返回 1 总结升华 根据集合的相等关系求参数的注意事项 由集合相等求参数时要特别注意验证集合中元素的互异性. 返回 1 即学即练 　若整数x,y能使{2x,x+y}={7,4}成立,则xy=________.  答案:10 【解析】若解得 因为x,y为整数,故舍去; 若解得则xy=10. 返回 1 角度2　根据集合的包含关系求参数 【典例4】(类题·节节高) (1)已知集合A={x|x>4},非空集合B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为____________.  答案:{a|2<a≤3} 返回 1 【解析】因为B≠⌀,根据题意作出如图所示的数轴, 则解得2<a≤3, 所以实数a的取值范围为{a|2<a≤3}. 返回 1 【典例4】(类题·节节高) (2)已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,则实数a的取值范围为______________.  答案:{a|a<-4或a>2} 【解析】当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴, 可得或, 解得a<-4或2<a≤3, 故实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}. 返回 1 总结升华 　利用集合的包含关系求参数问题的关注点 (1)题目原型:一般涉及两个集合,其中一个是含参数的,另一个是具体的; (2)解题技法:借助数轴; (3)注意事项:弄清哪个集合是子集,注意对含参集合是否为空集的讨论,不要忘记验证端点值. 返回 1 即学即练 1.已知集合A={-1,3,2a-1},集合B={3,a2},若B⊆A,则实数a=________.  答案:1 【解析】因为B⊆A,所以a2=2a-1,即(a-1)2=0,所以a=1. 当a=1时,A={-1,3,1},B={3,1},满足B⊆A,故a=1. 返回 1 2.已知A={x|x<3},B={x|x<a}. (1)若B⊆A,求a的取值范围; (2)若A⊆B,求a的取值范围. 【解析】(1)因为B⊆A,B是A的子集,由图①得a≤3.故a的取值范围为{a|a≤3}. (2)因为A⊆B,A是B的子集,由图②得a≥3. 故a的取值范围为{a|a≥3}. 返回 1 $