4.2.1 等差数列的概念 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学同步练（新授课），聚焦“等差数列的概念”，通过三级分层设计（A级8题/B级3题/C级1题），实现从概念辨析到实际应用的递进，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|等差数列概念判断、基本量计算、简单性质应用|多选题（如第1题）辨析概念本质，夯实抽象能力| |B级|综合性质应用、代数证明、实际问题转化|证明题（第11题）强化推理能力，“物不知数”问题（第9题）提升数学思维| |C级|跨情境模型构建|海拔气温问题（第12题）发展模型意识与应用意识，体现数学语言表达现实世界|

4.2.1　等差数列的概念 A级 必备知识基础练 1.(多选题)下列数列中,是等差数列的是(　　) A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 2.(多选题)已知在等差数列{an}中,a1=2,且a4+a8=,则公差d等于(　　) A.0 B. C.1 D.2 3.已知数列1,,3,,…,,…,则是这个数列的(　　) A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项 4.已知在等差数列{an}中,a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(　　) A.20 B.18 C.15 D.17 5.已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),且a3+a8+a13=2π,则cos(a7+a9)=(　　) A.- B.- C. D. 6.在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,则a3=(　　) A.2 B.3 C.±2 D. 7.由公差d≠0的等差数列{an}中的项组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(　　) A.新数列不是等差数列 B.新数列是公差为d的等差数列 C.新数列是公差为2d的等差数列 D.新数列是公差为3d的等差数列 8.在等差数列{an}中,a1=23,公差d为整数,若a6>0,a7<0,则公差d的值为　　　　　;{an}的通项公式为　　　　　.  B级 关键能力提升练 9.“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”此即著名的“孙子问题”,最早记载于《孙子算经》,研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题:将1到1 000这1 000个数中,被5除余4且被7除余4的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则该数列共有　　　　　项. 10.若数列{an}为等差数列,且a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值等于　　　　　.  11.设数列{an}满足当n>1时,an=,且a1=.求证:数列为等差数列. C级 学科素养创新练 12.在通常情况下,从海平面到10 km高空,海拔每增加1 km,气温就下降一固定数值.如果海拔1 km高空的气温是9 ℃,海拔5 km高空的气温是-15 ℃,那么海拔2 km,4 km和8 km高空的气温各是多少? 参考答案 1.ABD　2.AB　3.B　4.B　5.B　6.D　7.C 8.-4　an=-4n+27　因为{an}是等差数列,a1=23,a6>0,a7<0, 所以 解得-<d<-. 又公差d为整数,所以d=-4.因为等差数列{an}的首项为23,公差为-4,所以an=23-4(n-1)=-4n+27. 9.29　由题意可知,an-4既是5的倍数,又是7的倍数, 即an-4=35(n-1),所以an=35n-31,令1≤an≤1 000,即1≤35n-31≤1 000,解得≤n≤,因为n∈N*,所以1≤n≤29,故该数列共有29项, 10.24　∵a1+3a8+a15=5a8=120,∴a8=24,∴2a9-a10=a8=24. 11.证明根据题意a1=及递推关系知an≠0.因为an=取倒数得+4,即=4(n>1),所以数列是首项为5,公差为4的等差数列. 12.解由题意可设,从海平面到10 km高空,海拔每增加1 km,依次得到的气温构成等差数列{an},则a1=9,a5=-15.由an=a1+(n-1)d可求得d=-6,故a2=a1+d=3,a4=-9,a8=-33,即海拔2 km,4 km和8 km高空的气温分别是3 ℃,-9 ℃,-33 ℃. 学科网（北京）股份有限公司 $