4.1 数列的概念 分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练以A级（5题）、B级（4题）、C级（2题）分层设计，构建“概念理解—能力提升—素养创新”的知识巩固路径，体现数学思维的推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|数列概念、通项公式、递推公式基础应用|概念辨析（题1）、直接计算（题2），夯实抽象能力| |B级|通项公式综合辨析、递推关系推理|多选题（题6）结合二次函数性质，递推求项及猜想（题8），发展运算能力| |C级|前n项和与通项关系、递推公式转化|含参数的前n项和求通项（题10）、累乘法推导通项（题11），培养模型意识与创新意识|

4.1　数列的概念 A级 必备知识基础练 1.下列说法正确的是(　　) A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同,则这两个数列相同 2.若数列{an}的通项公式为an=n(n-2),其中n∈N*,则a6=(　　) A.8 B.15 C.24 D.35 3.已知数列{an},a1=1,an+1=an+,则该数列的第3项等于(　　) A.1 B. C. D. 4.数列2,4,6,8,10,…的递推公式是(　　) A.an=an-1+2(n≥2) B.an=2an-1(n≥2) C.a1=2,an=an-1+2(n≥2) D.a1=2,an=2an-1(n≥2) 5.(多选题)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　) A.{an}是递增数列 B.a10=-12 C.当n>4时,an<0 D.当n=3或4时,Sn取得最大值 B级 关键能力提升练 6.(多选题)若数列{an}的通项公式为an=n2-4n,则下列说法正确的是(　　) A.该数列有3个负数项 B.该数列有无限多个正数项 C.该数列的最小项大于函数f(x)=x2-4x的最小值 D.该数列中的所有项均为奇数或4的倍数 7.已知数列,…,则5是该数列的第　　　　　项.  8.已知数列{an}的首项a1=2,an+1=(n=1,2,3,…),则a4=　　　　　,猜想其通项公式是　　　　　.  9.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*). (1)计算a3+a4的值; (2)是不是该数列中的项?若是,应为第几项?若不是,说明理由. C级 学科素养创新练 10.已知数列{an}的前n项和Sn,满足Sn=n2(n+1)+1(n∈N*). (1)求出a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式. 11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+(n∈N*),求数列{an}的通项公式. 参考答案 1.D　2.C　3.C　4.C　5.BCD 6.ABD　对于A和B,令an=n2-4n<0,解得0<n<4,所以数列{an}前3项为负数项,从第5项开始后面的项均为正数项,故A正确,B正确;对于C,由二次函数的性质可知(an)min=a2=-4,f(x)min=f(2)=-4,故C错误;对于D,an=n2-3n=n(n-4),n与n-4同为奇数或同为偶数,故D正确. 7.19 8.　an=　∵数列{an}的首项a1=2,an+1=(n=1,2,3,…), ∴a2=,同理可得a3=,a4=.猜想其通项公式是an=. 9.解 (1)在数列{an}中,an=,a3=,a4=,所以a3+a4=. (2)若为数列{an}中的项,则,即n(n+2)=120,整理得n2+2n-120=0,而n∈N*,解得n=10, 所以是数列{an}的第10项. 10.解 (1)因为Sn=n2(n+1)+1(n∈N*),令n=1,可得a1=S1=1×2+1=3,令n=2,可得a1+a2=22×(2+1)+1,解得a2=10. (2)因为Sn=n2(n+1)+1(n∈N*),则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=[n2(n+1)+1]-[(n-1)2n+1]=3n2-n,n=1不满足,所以an= 11.解由题意显然an>0,∵an+1=an+, ∴=1+, ∴,…,,以上各式相乘得, 又a1=1,∴an=. 学科网（北京）股份有限公司 $