精品解析：北京市第一○一中学2026-2027学年第一学期高三数学统考一

北京一零一中2026-2027学年度第一学期高三数学统考一 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为， 又， 所以. 故选：C 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对于B，在区间上存在单调递减区间，不满足单调递增的要求，故B错误； 对于C，的定义域为，且，是偶函数， 且在区间上单调递增，故C正确； 对于D，的定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不符合要求，故D错误. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再利用三角函数的定义求解即可. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 所以. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直即数量积为零的条件求得，再将其代入向量的坐标中计算得出模长. 【详解】由题意得，且， 即，解得，此时， 则. 5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由数轴知 ，不妨取检验选项得解. 【详解】由数轴知 ，不妨取， 对于A， ， 不成立. 对于B，， 不成立. 对于C， ， 不成立. 对于D， ，因此成立. 故选：D． 【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】数列单调递增，可得的范围.由“”，由，可得的范围.即可判断出关系. 【详解】解：数列单调递增，可得：，化为：. ∴. 由“”可得：，可得：. ∴“”是“数列单调递增”的充要条件， 故选：C. 7. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为偶函数且在上单调递增，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】显然函数的定义域为，对任意，有，故是偶函数， 当时，，求导得， 当时，，，故，即在上单调递增， 根据偶函数性质，等价于， 结合单调性可得，两边平方得  ， 展开整理得  ， 因式分解为，解得. 8. 德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据记忆率为50%列方程，通过两边取常用对数，代入参考数据计算可得t的值. 【详解】由题意，记忆率， 代入函数得，，移项整理得， 两边取以10为底的对数，根据对数运算性质可得，， 将、代入， 结合参考数据，得， ，  因此， 则小时. 9. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到a与b的关系式，再将选项中的式子全部化简成只含有a的表达式，最后验证结果. 【详解】由题可得，则，将代入中得 ， 因为与为单调递增函数，所以为单调递增函数， 所以，又因且与为单调递增函数， 所以为单调递增函数，所以. 对于A，B选项，，令， 为一个开口向下的一元二次函数，对称轴为， 故，因为，所以， 故A选项错误，B选项正确 对于C，D选项，，故C，D选项错误. 10. 已知数列满足，为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，存在，使得当时 C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】每个选项逐步分析，对于A选项直接将代入算出每一项，再根据等比数列的定义进行求证；对于B选项判断出的单调性；对于C先计算前几项找出周期，再计算出的值，最后进行代入求出结果；对于D选项运用二倍角公式求出，再运用余弦连乘公式求出. 【详解】对于A，因为，所以， 同理可得，故， 即公比，所以A选项正确； 对于B，当时，，所以，依次有， 故，故，故为递增数列. 而， 结合则有， 当时，， 故存在正整数（）， 使得时，，故B选项正确； 对于C，，，，， 所以， 因此， ，， ，故C选项正确； 对于D，， ， 同理， ， 故D错误. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求，再结合复数的几何意义分析求解. 【详解】因为，可得， 所以对应的点的坐标是. 故答案为：. 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性得到，求解即可. 【详解】由函数在上单调递增可得： ，解得：， 所以的取值范围为, 故答案为： 13. 已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题设建立平面直角坐标系，利用数量积坐标表示可得答案 【详解】连接，设交于，由题设可得，据此如下图建立平面直角坐标系. 则. ，则,，从而； 设，其中. 则，从而，当，即与重合时取等号. 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为______； （2）函数的单调递增区间为______. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】由值域为，当时，由可得集合包含了的最大值和最小值，从而可得的值；利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数圆内的纵坐标.利用圆心在函数图象上的移动，可得，的变化规律，从而得到函数的单调区间. 【详解】由得周期，值域为. . （1）当时，，所以. 又，. 当时，；当时，. 所以可以取到最大值和最小值. 所以. （2）函数周期为，所以只考虑一个周期内的变化，其他按周期变化处理. 如图，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数圆内的纵坐标. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到； 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到. 所以的单调递增区间为. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在正实数，使得不是单调函数； ②当时，的零点个数为； ③若，，则的取值范围是； ④若使得，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】分析结论①：先求的导函数，取，分析函数的单调性，结合零点存在定理以及函数极值点的定义可判断①；分析结论②：通过求导研究的单调性，结合零点存在定理可判断②；分析结论③：先将不等式移项变形为，构造函数，将问题转化为，恒成立，对实数的取值进行分类讨论求解即可；分析结论④：将不等式变形构造单调函数进行同构转化，再求函数的最值得到的最小值，进而判断命题正误. 【详解】结论①，对求导得，取正实数，则， 令，则， 当时，，即函数在上单调递减， 因为，， 故存在，使得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以存在正实数，使得函数在定义域上不单调，故①正确； 结论②，当时，，令，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 所以， 所以函数上单调递增， 因为，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 故当时，函数有且只有一个零点，故②正确； 结论③， 将条件，变形为 . 令，则，故对，恒成立， ，且， 令，则， 当对恒成立，即对恒成立， 即时，即当时，对恒成立， 此时函数在上单调递增，则， 此时函数在上单调递增，故，符合题意； 当时，则， ， 令，其中，则， 所以函数， 因为当时，，所以， 即， 所以存在，使得， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以，这与题意矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是，故③正确； 结论④ ，将不等式变形为： ， 即， 令，则，故函数在上单调递增， 由得， 因此不等式等价于，即​. 令，其中，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，解得， 故的最小值为，故④错误. 【点睛】本题综合导数单调性、零点、恒成立、同构放缩四大考点； ①通过二阶导判断导函数能否变号，验证原函数是否单调； ②求出导函数最小值大于0得到全局单调，再用零点存在定理判定零点数量； ③恒成立问题分离参数后构造函数，利用极限确定边界值； ④关键是识别这一同构模型，把两边式子化为同一函数形式再求最值，注意区分取等条件，避免误判最小值. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； (2)将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【小问1详解】 由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 . 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：，； 条件③：，. 【答案】（1） 最小正周期为，单调递减区间为； （2） 选择条件①，最大值为，最小值为； 选择条件③，最大值为，最小值为； 【解析】 【分析】（1）由二倍角正弦，余弦公式结合辅助角公式可得，然后由正弦函数周期性，单调性可得答案； （2）若选条件①，由题设可得，结合可得解析式，然后由正弦函数单调性可得最值； 若选条件②：由题设可得，结合，可得或， 这与函数存在且唯一矛盾；若选条件③，由题可得，结合，可得，后同选择条件①方法可得答案. 【小问1详解】 由二倍角正弦，余弦公式，， 则的最小正周期为，令， 得，从而单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可得. 若选条件①：由题可得， 即，结合，可得，则此时. 当时，，因在上单调递增，在上单调递减， 则，； 若选条件②：由，可得图像关于对称， 则，结合，可得或， 则此时或，注意到， 这与函数存在且唯一矛盾，则不能选条件②； 若选条件③：由，，可得. 则，结合，可得，后解析同选择条件①. 18. 已知函数. （1）当时， ①求函数的最值； ②直线是曲线在点处的切线，为与轴的交点，为坐标原点，求面积的最小值； （2）当时，若，判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）①最小值为，没有最大值；②面积的最小值为. （2）. 理由如下： 令， 则. 令，则. 因为，所以，得，则， 所以， 所以在区间上单调递增. 所以，即， 所以在区间上单调递增. 因为，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）当时，，①先求，利用的符号判断的单调性即可求解最值；②利用，求出点坐标，从而得到直线方程，再将代入直线方程得到点坐标即可计算面积为，再求确定的单调性即可求面积的最小值. （2）构造函数，求，再构造函数，求得，从而得，得到，则在区间上单调递增，即有，可转换为. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为. 则. ①令，即，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 所以最小值为，没有最大值. ②，，则 所以直线方程为. 令得，则. 因为，所以. 所以面积为. 因为，所以，则. 所以在区间上单调递增. 所以. 即面积的最小值为. 【小问2详解】 略 19. 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. （1）若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； （2）已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 【答案】（1） （2） 不能全程安全飞行 【解析】 【分析】（1）先在中利用三角形内角和求出，确定为等腰三角形，再结合已知求出，在中利用正弦定理求解的长度，结合无人机速度即可求出的值. （2）将安全飞行条件转化为二次不等式恒成立问题，通过求解二次函数在定义域内的最小值，判断不等式是否恒成立即可得到结论. 【小问1详解】 ∵ 在中，，， ∴ ，即， ∴为等腰三角形，. ∵ 在航线上，故三点共线，， 又，∴ . 在中，. 由正弦定理得， 代入数值：，，， ∴ . ∵ 无人机速度为，飞行时间为，故， ∴ ，解得. 【小问2详解】 由题意，安全飞行的条件为对任意恒成立，即恒成立. 由余弦定理得， ∴ 不等式化为，即. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 的最小值为， 即存在时，，不满足的安全条件， ∴ 无人机不能在避险航线上全程安全飞行. 20. 已知函数，其中. （1）求曲线在处的切线方程； （2）判断的零点个数，并说明理由； （3）记为函数的极值点，设函数，判断在区间上的单调性，并说明理由. 【答案】（1） （2）共有个零点 （3）内单调递增 【解析】 【分析】（1）通过函数求导求解切线斜率并求出切线方程. （2）通过求解函数单调性来讨论零点个数. （3）通过极值点求出与的等式，列出并化简导函数进而求解单调性. 【小问1详解】 因为，所以， ，且，所以切线为. 【小问2详解】 ，因为，，所以正负性取决于. 设，存在点使得，解得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 又因为，，且，，可知在有且仅有一个零点， 又,时，所以上仅存在一个零点，因此共有个零点. 【小问3详解】 ，， 因为，，所以化简得. 因为，，，所以只需分析分子中的因式正负性即可， 易得该二次函数对称轴为，故在定义域内单调递增，，因为，所以在内单调递增. 21. 设且，是从映至自身的一个一一对应，记作，其中是的一个排列.定义的符号为，即是满足，，的所有比值的乘积.特别地，当集合，有且只有2个元素时，称上述一一对应是一个对换. 对于任意两个从映至自身的一一对应，而言，定义其乘积为，由此可定义多个一一对应的乘积，，…. （1）已知，，，，求，； （2）对于选定的与，若有序数对集合的元素个数为，求，并用，表示； （3）求证：对于任意一一对应，总能找到有限多个对换，…，，使得 【答案】（1），； （2）；； （3）即证：对任意置换，存在有限个对换，使得,用数学归纳法证明： 当时,上的置换只有两个： 恒等置换，不需要任何对换，即取，等式成立； 对换，取，则，等式成立，所以当时成立； 假设对元集合上的任意置换，结论都成立， 设是上的置换，分两种情况： 若： 在上的限制是元置换， 由归纳假设，存在对换（均不改变元素），使得在上为恒等置换； 又因为所有对换都保持不动，故，因此； 若： 取对换，它仅交换与的，其余元素不动，则, 即将映射到自身,此时在上是元置换， 由归纳假设，存在对换，使得， 即 综上，由数学归纳法，对所有，结论成立. 【解析】 【分析】（1）依据置换乘法从右往左复合的规则，逐点代入求值，直接算出两次置换乘积结果； （2）分子和分母是集合中所有两元素差的乘积，二者绝对值完全相等,因此；通过统计满足条件的有序对总数推出逆序数，从而得到置换符号的表达式；（3）利用数学归纳法，通过对最后一个元素归位的对换操作，将n元置换降为n−1元置换，证明任意置换可被有限对换左乘化为恒等置换. 【小问1详解】 根据置换乘法的定义：（先作用，再作用）， 已知， ，，，因此 ，，，因此； 【小问2详解】 由定义，是的一个排列，因此，分子是集合中所有两元素差的乘积，分母是同一集合所有两元素差的乘积，二者绝对值完全相等,因此； 设排列的逆序对个数为，即满足且的数对共有个， 分析集合： 当时，，共个有序对； 当时，，不等式等价于，因是置换，，即等价于，共个有序对； 当时，，不等式等价于，即，对应的逆序对，共个有序对， 因此总个数， 的符号由逆序对个数决定：每一个逆序对使分子贡献一个负号，分母恒正，因此代入的表达式得； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2026-2027学年度第一学期高三数学统考一 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的通项公式为，则“”是“数列单调递增”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A. 0.2小时 B. 0.5小时 C. 0.8小时 D. 2小时 9. 已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，是等比数列 B. 当时，存在，使得当时 C. 当时， D. 当时， 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________. 12. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______． 13. 已知菱形的边长为，，，分别是，的中点，则______；若，是对角线上的动点，且，则的最小值为______. 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为______； （2）函数的单调递增区间为______. 15. 已知函数，给出下列四个结论： ①存在正实数，使得不是单调函数； ②当时，的零点个数为； ③若，，则的取值范围是； ④若使得，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，求在区间上的最大值和最小值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：，； 条件③：，. 18. 已知函数. （1）当时， ①求函数的最值； ②直线是曲线在点处的切线，为与轴的交点，为坐标原点，求面积的最小值； （2）当时，若，判断与的大小关系，并说明理由. 19. 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线，先从飞向航线拐点，抵达后转向沿继续飞行，两段航线，夹角.在实际飞行中，无人机飞行至点时，测得在距离点的点处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在点转向，临时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险.已知避险航线与原航线的夹角为，无人机以的速度从点出发在航线上飞行到达点. （1）若无人机从观测，两点，测得视角，求的值； （2）已知高压气旋半径.规定：视为安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线上能否全程安全飞行. 20. 已知函数，其中. （1）求曲线在处的切线方程； （2）判断的零点个数，并说明理由； （3）记为函数的极值点，设函数，判断在区间上的单调性，并说明理由. 21. 设且，是从映至自身的一个一一对应，记作，其中是的一个排列.定义的符号为，即是满足，，的所有比值的乘积.特别地，当集合，有且只有2个元素时，称上述一一对应是一个对换. 对于任意两个从映至自身的一一对应，而言，定义其乘积为，由此可定义多个一一对应的乘积，，…. （1）已知，，，，求，； （2）对于选定的与，若有序数对集合的元素个数为，求，并用，表示； （3）求证：对于任意一一对应，总能找到有限多个对换，…，，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $