北京市第一○一中学2026-2027学年第一学期高三数学统考一

北京一零一中2026-2027学年度第一学期高三数学统考一 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1.已知集合U=(x|x+3≥0，集合A=(x|-2<x<2,则C0A=( ) 770 (A)[-3,-2)U(2,+∞)(B)[-3,2) (C)[-3,-2]U[2,+o)D)[-2,3) 鼠 2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，+∞)上单调递增的是( ) 郴 ()y=3* )y=cosx (C)y=x )y=l1og4刘 如 3.已知角a的终边经过点P(3,-4),则cos(a+ )=( ®倒号 (©-号 (D) 号 尽 解 -号 4.已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则ladl=( ) 长 (A)1 (B)v2 (©3 D)2 烘 5.已知实数a,b,c在数轴上对应的点如图所示，则下列式 子中正确的是( ) b a 0 K (A)b-a<c+a (B)c2<ab (©> D)Ibc<lal c a 环 和 将 6. 已知数列(a,)的通项公式为a=n+异，则“2>a”是“数列(a,)单调递增”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 0 和 (C)充要条件 ①)既不充分也不必要条件 相 设函数f=(1+闭-十2，则使得f>fx-2)成立的x的取值范围是( 7. 御 A)分，) B)(-0,2u(1,+o∞) ©-2) D)(-0,-2)U(3,+∞) 黛 8. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验 数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的趋势可由函数 y=1-0.602”近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为( ) (参考数据：1g2≈0.30,1g3≈0.48) (A)0.2小时 B)0.5小时 (C)0.8小时 D)2小时 9.已知函数f()=+x-2的零点为a,函数g(x=1nx+x-2的零点为b,则下列不等式 中成立的是( (A)ab>1 (B)ab<1 (C)ea+Inb>2 (D)ea+Inb<2 10.已知数列(an}满足a+1=2a好-1(n∈N),Tn为(a}的前n项积，则下列结论中错误的 是( (A)当a1=1时，(an)是等比数列 B)当1>1时，存在N%∈N°，使得当n>W%时an+l-an>2026 (©当a1=51时，1og,Ts=-1013 4 D)当a=cos705s时，0Q 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 1.若复数2满足子=2+i则在复平面内，z对应的点的坐标是 12.已知函数f) -1, x≤1， 在R上单调递增，则实数a的取值范围 x2-ax+4a-5,x>1. 为】 13.已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，E,F分别是AB,AD的中点，则 E市.EA=」 一；若M,N是对角线AC上的动点，且MM=2,则EM.E的 最小值为 14.已知函数f)=2c0s受x,任取1∈R,定义集合： S,=0|y=fx),点A(6,f),B(x,fx)满足AB≤V⑤). 设M,m,分别表示集合S,中元素的最大值和最小值，记p()=M-m, (1)(1)的值为 (2)函数()的单调递增区间为 15.已知函数f)=e-ax2+x(ae),给出下列四个结论： ①存在正实数a,使得f(x)不是单调函数； ②当a=1时，f(x)的零点个数为1； ®若Yxe0,+o),f)≥2x+1,则a的取值范围是(-∞，号 ④若3∈(0，+o)使得f(o)≤2ln+1na,则a的最小值为e. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16.(本小题13分) 已知等差数列(a,)的公差为d,a=1,d>0,且a1,a,as成等比数列. (I)求数列(an)的通项公式及前n项和Sn; ②记6，=女。+2”，求数列6的前n项和。 17.(本小题14分) 已知函数f(x)=2V5 sinxcosx-2sin2x+1. ® (1)求(x)的最小正周期和单调递减区间； 将 (2)设函数()=f(x-p)(m<5),再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一 郑 个作为已知，使函数8树)存在且唯一，求g)在区间[0，变]上的最大值和最小值。 条件@：8(y在区间[-晋，罗]上单调递增； 年 部 条件®：Vx∈R8(晋-)=g( O 条件@：VxeR≥8(0 长 18.(本小题15分) 已知函数f(x)=er-x. 区 O (1)当a=1时， ①求函数f(x)的最值； 杯 州 ②直线1是曲线y=f(x)在点A(:,f)(t≥2)处的切线，B为1与y轴的交点，O为坐标原 点，求△OAB面积的最小值； O 杯 ②)当a≥1时，若0<<，判断fx)-f)与2-公2的大小关系，并说明理 由. 糊 相 19.(本小题13分) 如图，测绘无人机执行野外勘察任务，规划航线为折线AOB,先从A飞向航线拐点O,抵 达0后转向沿OB继续飞行，两段航线0A,0B夹角∠AOB=孥，在实际飞行中，无人机 飞行至点C时，测得在距离点C10km的点0处开始产生一个圆形区域的高压气旋，高 压气旋范围内的区域为危险区域（含边界），其半径逐步扩张.为避开危险，无人机立刻在 C点转向，临时调整为沿直线飞往航线OB上的点D降落避险.已知避险航线CD与原航 线OA的夹角为g=晋，无人机以2m/min的速度从点C出发在航线CD上飞行tmi证 到达点E. 北京一器一中20262027学年度第一学期高三数学统考一第3页（共4页） (I)若无人机从E观测O,D两点，测得视角 ∠0BD=平，求1的值； BY (2)已知高压气旋半径r=tkm.规定：OE>r视为 安全飞行.试通过计算判断无人机在避险航线CD E 上能否全程安全飞行， 20.(本小题15分) 已知函数f树=1n(1-刘+x+号2+2k,其中0<k< 6 (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)判断f(x)的零点个数，并说明理由； (3)记为函数f(x)的极值点，设函数g()=f(+)-f(),判断g()在区间(2x1,)上 的单调性，并说明理由. 21.(本小题15分) 设2=(1,2，…，%(meN°且n≥2)，0：2→2是从2映至自身的一个一一对应，记 1 作σ= 其中{c(1),o(2),…,()=(1,2,…,以.定义的符 σ(1)c(2) …σ(n) 号为sgm(o)=,Ⅱ (U)-o() 1<ij<n j-i ,即sgm(σ)是满足1≤i<j≤n,,j∈的所有比值 )-但的乘积特别地，当集合1间≠，1≤i≤川有且只有2个元素时，称上述 j- 对应σ是一个对换 对于任意两个从2映至自身的一一对应，σ而言，定义其乘积To为o= 1 2 由此可定义多个一一对应的乘积T2T10=T2(T1o), x(a(1)r(a(2) T3T2T10=T3(t2(T0),…. 求T10,T21; (②)对于选定的n与g,若有序数对集合，)1(-(o()-0(U》≤0,1≤i,j≤n川的元 素个数为Wo,求sg(c儿并用n,N表示sgm(o): (3)求证：对于任意一一对应：2→2，总能找到有限多个对换T1,…,Tk,使得 TkTk-1… 北京一零一中20262027学年度第一学期高三数学统考一第4页（共4页）