精品解析：江苏宿迁市名校协作体2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题

江苏宿迁市名校协作体2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以虚部为． 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，将两侧同时平方，可得，代入夹角公式，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则， 则， 因为，所以，即向量的夹角为. 4. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为， 所以样本点在处的残差为. 6. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 7. 有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（ ） A. 19 B. 100 C. 190 D. 200 【答案】C 【解析】 【分析】将所求函数式展开，代入已知条件，转化成二次函数求最小值问题. 【详解】因为， 而，则得. 所以当时，. 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 在内恰有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数关于直线对称得到，则，根据三角函数性质逐项判断. 【详解】对于A：因为函数关于直线对称，所以，等价于， 由得，即， 所以，则，A正确； 对于B：因为， 所以是奇函数，B正确； 对于C：由得，若，则单调递增， 若，则单调递减，C错误； 对于D：令，则，解得， 由得，又， 所以，即在内恰好有个零点，D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若为中点时，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，选项A，通过计算向量的数量积是否为来判断线线垂直；选项B，利用三棱锥体积公式，结合均值不等式求最值；选项C，利用向量法计算点到直线的距离；选项D，分析外接球球心的坐标特征，确定轨迹，求出度. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为， 因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，， 则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 13. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【详解】设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以， 又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有， 连接与左焦点，由可得为直角三角形且， 由双曲线定义可知，， 所以双曲线的离心率为. 14. 在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到外切球的半径关系，求出的关系式，求出最小值. 【详解】如图，过棱作正方体的截面， 由对称性知，这些球的球心都在线段上，与底面ABCD的切点都在线段AC上. 设第i（1，2，…）个球的球心为，半径为，与底面ABCD切于， 作于P，由∽，得， 解得，同理可得，对于任意，， 又由于＝1，所以，其表面积， 所以，注意到当时， ，此时， 且，故M的最小值为. 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 已知， 由正弦边角关系得，化简得， 应用辅助角公式可得，而，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，解得， 所以，故的周长为. 16. 如图，四棱锥中， 是等边三角形，四边形是等腰梯形， ，，， （1）证明：平面 平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接点与的中点，则，计算出，通过勾股定理证明，从而证明 平面，进而有平面 平面； （2）以为原点，以所在直线为轴建系，分别求出平面与平面的法向量，计算其夹角即可. 【小问1详解】 取中点，因为 是等边三角形且，所以且， 在等腰梯形中，，，过作的垂线， 垂足记为，则，，， 所以，因为，所以， 又，平面,所以 平面，而平面，故平面 平面； 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的坐标系， 可知， 则， 设平面的法向量为， 于是有，取，得， 设平面的法向量为， 于是有，取，得， 则平面与平面所成角的余弦值为 ，正弦值为. 17. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 【答案】（1）， （2） 1 2 3 … … （3）【解析】 【分析】（1）根据规则判断出和的情形，结合概率乘法公式求解即可. （2）结合题干规则推导出，进而求出，即可得到分布列. （3）结合错位相减法及等比数列的前项和公式求出，根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 表示第一次就生成并结束过程，即第一次预测为，且审核生成， . 表示第二次生成并结束过程，情况有：第一次预测为，且审核生成，第二次预测为；第一次预测为，审核必生成，第二次预测为，且审核生成. . 【小问2详解】 （，）时，第个词元输出为， 若前面个词元都预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故， 当时， 若前面个词元都没有预测为，其概率为， 若前面个词元有一个预测为，其概率为， 故 所以的分布列为： 1 2 3 … … 【小问3详解】 由（1）得， 由（2）得， ， ， ， ， 所以 所以 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且． ①已知直线的斜率为，求直线的斜率； ②求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由离心率和椭圆上的点坐标建立方程组，解得，然后写出椭圆方程； （2）①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点，由对称性可知为平行四边形， 关于原点对称，设，则， ，然后利用点差法求得，进而利用得，即可求解； ②由平行四边形性质可知，设的方程为，，与椭圆方程联立，韦达定理，求出及点O到直线的距离，从而得，最后利用换元法及二次函数性质求得有最大值，即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以椭圆的标准方程. 【小问2详解】 ①延长交椭圆于点，延长交椭圆于点， 由对称性可知，所以四边形为平行四边形， 因为关于原点对称，所以关于原点对称， 设，则， 所以， 又为椭圆上两点，可得，， 所以，化简得，故， 又因为，所以，故； ②由①可知，在平行四边形中，， 从而， 因为构成四边形，所以的斜率必不为0，设的方程为， ，由得， ， ，， 因为， 点O到直线的距离为， 所以， 令，则， 所以当，即时，有最大值为， 所以四边形面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）证明如下： 由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分和两种情况分别判断是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【小问1详解】 当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏宿迁市名校协作体2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题 注意事项 1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“函数是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 3 5 6 2.3 3.7 5.6 6.4 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7. 有一组样本数据，其中．已知，设函数．则的最小值为（ ） A. 19 B. 100 C. 190 D. 200 8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，满分18分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 在内恰有3个零点 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若为中点时，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 若，则的值为__________. 13. 已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______. 14. 在棱长为2的正方体内，有按照如下方式产生的一系列大小均不相同的n个球：第1个球与正方体的6个面均相切；第2个球与第1个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切；第3个球与第2个球外切，且与正方体过顶点A的3个面均相切，…，依次下去.记这n个球的表面积和为，若对总成立，则M的最小值为______. 四、解答题：共5题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足. （1）求角A的大小； （2）若，，求的周长. 16. 如图，四棱锥中， 是等边三角形，四边形是等腰梯形， ，，， （1）证明：平面 平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 在某生成式人工智能模型中，有一种简化的“词元生成器”，该模型只有两种词元，，且生成词元总数不超过.若生成，则过程立即结束；否则继续生成，直至总数达到.每个词元生成需要先预测，再审核.假设每次预测为，的概率均为0.5，且各次预测相互独立.审核规则如下： ①若预测中第一次出现词元，则审核后生成，的概率均为0.5； ②若预测中第二次出现词元，则审核后必生成； ③若预测中出现词元，则审核后必生成. 设表示过程结束时生成词元的总个数. （1）求，； （2）求的分布列； （3）求. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若为椭圆上两点（均在轴上方），且． ①已知直线的斜率为，求直线的斜率； ②求四边形面积的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $