精品解析：江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

沭阳如东中学2026届高三阶段测试一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合，利用交集的定义可求得集合 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D； 【详解】解：对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误； 对于C：由，则，，所以，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确； 故选：D 3. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上单调递增列不等式组求解的取值范围，然后利用充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以，解得，所以的取值范围为， 由能推出，但是由得不出， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 4. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据相关系数的定义作出判断；B选项，利用二项分布的期望和方差公式得到方程，求出答案；C选项，根据样本中心点的定义作出判断；D选项，由超几何分布和二项分布的定义得到D错误. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于，A正确； 对于B，，解得，，故B正确； 对于C，线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确； 对于D，由于是不放回地随机摸出个球作为样本， 所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，且，故D错误. 故选：D 5. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，然后根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】因为为正数，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 6. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考点：异面直线及其所成的角． 分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可． 解答： 取BC的中点D，连接D1F1，F1D ∴D1B∥D1F ∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1= 在△DF1A中，cos∠DF1A=/10． 故选A． 点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 7. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及函数的单调性化简不等式，根据存在性问题的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 所以， 由于在上单调递减， 所以存在，使成立， 所以，， 解得，所以的取值范围是 故选：A 【点睛】考虑到分段函数可以转化为，由此可判断出可以转化为，从而可以使用函数的单调性来化简题目所给不等式.恒成立问题或存在性问题，往往是转化为最值来列不等式，从而求得正确答案. 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，利用周期性即可求解. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以 . 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 10. 已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 所以，所以，故A正确， ,由于，故与不垂直，故与平面不可能垂直，故B错误， 分别取的中点，连接,则六边形即为平面截正方体的截面，由于六边形为边长为的正六边形，所以其面积为，故C正确， 设平面的法向量为，则 ，取，则，所以， 又 所以点到平面的距离为，故D正确， 故选：ACD 11. 已知定义域为的连续函数满足，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】令，即可判断A；由，得，令，则，令，即可判断B；关于求导得，，从而可求出d的解析式，进而可求出的解析式，再利用导数即可判断CD. 【详解】对于A，令， 则，所以，故A正确； 对于B，由，得， 令，则， 令，则，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，故B正确； 由， 关于求导得，， 令， 则， 所以（为常数），即， 所以（为常数）， 因为， 所以，所以， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故C错误；D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：由，得出，是解决本题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，其中为正实数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，将自变量的值代入对应的解析式，由内到外即可求解. 【详解】∵函数， ∴，∴. 故答案为：. 13. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意将问题转化为.，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 14. 某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当全校学生完成问卷调查后，统计画“○”和画“×”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一一班有45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的数学期望为______；若该校的所有调查问卷中，画“○”和画“×”的比例为7∶2，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为______． 【答案】 ①. 25 ②. 450 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出回答问题一的概率，再利用二项分布的期望公式计算作答；根据题意，利用条件概率公式的全概率公式计算玩游戏时长超过一个小时的概率作答. 【详解】依题意，每次摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 两次摸到的球颜色相同的概率， 于是回答问题一的人数，所以X的数学期望为； 用表示“回答问题一”，表示“回答问题二”，表示“在问卷中画×”， 则有，，，因为, 由全概率公式，得，解得， 所以估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为. 故答案为：25；450 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学． （1）求的分布列； （2）求去执行任务的同学中有男有女的概率． 【答案】（1）分布列 （2）.【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得出随机变量的分布列； （2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括、，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，，. 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【小问2详解】记事件去执行任务的同学中有男有女， 则. 【点睛】本题考查随机变量分布列的求解，同时也考查了利用概率的加法公式求事件的概率，考查计算能力，属于基础题. 16. 如图，已知三棱锥，平面，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）30°． 【解析】 【分析】（1）通过证明，，得到平面即可； （2）取中点，连接、过作于，连接，因为是的中点，为二面角的平面角，在中，求即可. 【详解】（1）证明：因为平面，所以． 又因为，即，所以平面．故． （2）过作的平行线，交于，过作的平行线，交于，连接． 因为平面，所以平面，所以． 又因为，所以，所以平面，所以． 所以为二面角的平面角． 设，则，，． 所以，所以． 所以二面角的大小为30°． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是证明线线垂直通过线面垂直实现，求二面角的关键是作出二面角，然后解三角形. 17. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】（1） （2）-3 【解析】 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【小问1详解】 时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 【小问2详解】 因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即为直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）当时，在单调递减， 在和单调递增； 当时，在单调递增. （2）（i）； （ii）证明：由（i）可知，的三个零点：， 因为，且，所以， 又因为，所以， 因为，所以函数单调递减，， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可； （2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可； （ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明. 【小问1详解】 的定义域为， . 当时，，所以恒成立， 所以在单调递增； 当时，， 所以的两根为， 且，所以， 所以，时，或时，． 所以在上单调递减，在和单调递增． 综上：当时，在单调递减， 在和单调递增； 当时，在单调递增. 【小问2详解】 （i）由（1）可知当时，在单调， 不可能有三个零点； 当时，的两根为， 且，所以，且， 因为在上单调递减，所以， 因为，所以， 设， 在上单调递减，， 即，所以使. 因为， 又因为，所以， 所以使， 所以，当时，有三个零点， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沭阳如东中学2026届高三阶段测试一 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列命题错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 5. 已知为正数，，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为为偶函数，是奇函数且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 10. 已知正方体的边长为1，点分别是棱的中点，下列说法正确的有（ ） A. B. 平面 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 到平面的距离为 11. 已知定义域为的连续函数满足，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，其中为正实数，则__________． 13. 已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是______． 14. 某高中为调查本校1800名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有3个质地和大小均相同的小球，其中1个白球，2个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“○”，否则画“×”．当全校学生完成问卷调查后，统计画“○”和画“×”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一一班有45名学生，用X表示回答问题一的人数，则X的数学期望为______；若该校的所有调查问卷中，画“○”和画“×”的比例为7∶2，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学． （1）求的分布列； （2）求去执行任务的同学中有男有女的概率． 16. 如图，已知三棱锥，平面，，，，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小． 17. 已知函数，． （1）若，解关于的不等式； （2）若函数的最小值为-4，求m的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $