对数与对数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学对数与对数函数核心知识点，系统梳理对数定义、运算性质（含换底公式、运算法则）及对数型糖水不等式，延伸至对数函数的图像、定义域、值域、单调性等性质，构建从概念到性质再到应用的完整学习支架。 资料以“外和内乘原理”等形象化方式解析运算规律，题型涵盖高考真题与模拟题，融入本·福特定律、噪声污染等实际案例，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达现实的能力。课中助力教师分层教学，课后练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

一 对数 1.对数式的运算 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： ①特殊对数：；；其中且 ②对数恒等式：(其中且，) ③对数换底公式： 如：． （4）对数的运算法则： ①外和内乘原理：； ②外差内除原理：； ③提公次方法：，； ④指中有对，没心没肺：和 如：，． （5）换底公式和对数运算的一些方法： ①常用换底： 如：． ②倒数原理： 如：． ③约分法则： 如： ；． ④归一法则：． 2.对数型糖水不等式 （1）设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 题型一：对数运算 例1．（1）（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，则有，所以. （2）（25-26高二下·天津南开·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由，所以，又，所以. （3）（2025·重庆·三模）已知，则 ． 【详解】由，得，所以.故答案为：3 （4）（2025·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【详解】由，所以 （5）（25-26高三下·上海静安·期中）若，则______． 【详解】已知，则有，，由换底公式可知，， 所以. 例2．（1）（25-26高一上·重庆·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）. 【详解】（1） . （2） . （2）（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. 【详解】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. （3）（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）计算的值； （2）已知，求的值. 【详解】（1）原式 （2）因为，所以.所以 （4）（25-26高一上·河南·期中）化简求值： （1） （2） 【详解】（1） （2） （5）（25-26高一上·江苏南京·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）设正实数满足，求的值. 【详解】（1） ； （2）， （3），所以，又， 所以，所以即，所以， ，所以 （6）（2025·天津南开·统考二模）计算的值为______. 【解析】原式 .故答案为：8. 例3．（1）（2025·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知，，则______． 【解析】由题设，则且，所以，即，故.故答案为： （2）（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，由，得；由，得，所以.故选：D （3）（2025·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________． 【解析】，且，且，， ，，.故答案为：. （4）（2024·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． 【详解】因为，所以，可得 ， 即，所以，即，所以.故答案为：. （5）（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 【详解】由题，整理得， 或，又，所以，故故答案为：64. （6）（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【详解】，所以，则，解得.故选：C. 例4．（1）（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，，则 ，可得或，所以或，若，又，则，所以，则或（舍去），，；若，又，则，所以，则或（舍去），所以，综上，.故选：B （2）（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【详解】由，所以 （3）1.（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 . 【解析】， ，设，则， 由于在R上单调递增，故，故. 2.（2025·湖南·一模）已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】，，即， ，，即， 令，则在上单调递增，方程有唯一解， ，．故选：A． 3.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】，故，即，故，且，即，设，则，是增函数，故，所以，故选：B． （4）已知，，则______． 因为，，所以． （5）若，，用a，b表示____________ 【解析】因为，所以， .故答案为：. （6）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，用、表示=_________. 因为，，故. （7）已知，用含的式子表示_________. 【解析】.故答案为： （8）（25-26高一上·江苏泰州·期中）若，，用，表示=_________. 由题意得，，即，所以. （9）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，用，表示=_________. 【详解】因为，所以，又因为，所以. （10）（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知，，用含、的式子表示 ． 【详解】，， 则，故，， 则.故答案为：. 例5．（1）已知，，且，则的最小值为___________. 因为，所以，所以， 因为，，以， 当且仅当，即时取等号，，所以的最小值为， （2）若，，，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 因，所以，所以，所以，即，所以 （3）已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C． D． 由已知，令，，所以，，代入得：，因为，，所以 .当且仅当时，即时等号成立.的最小值为.故选：C. （4）（2025·天津武清·第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 【详解】，，因为，，故，， ，当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为．故选：C. （5）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】因为正数a，b满足，所以（*），当且仅当时，即，时等号成立.由（*）可得.又，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为1.故选：D. （6）（25-26高三上·云南·期中）若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 【详解】由题意得，，且，.由，得，所以当且仅当即时，等号成立.故选：C. （7）（2025·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ． 【详解】因为，所以，.又，，所以，.因为，，根据基本不等式有，当且仅当，即，时等号成立，所以. 则，所以的最大值为.故答案为：. （8）（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】，当且仅当时取等号， 所以.故选：B （9）（24-25高三上·河南周口·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【详解】由，可得，故，故，当且仅当，时取等号，故的最小值为.故选:C. （10）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为 【详解】， 又，故，，所以，，，故，所以由基本不等式得，当且仅当，即，即时，等号成立.故答案为：6 例6.（1）（2025·江苏·三模）（多选题）已知，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，故A正确；因为，故B正确；因为，故C错误；因为 ，故D正确.故选：ABD （2）（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则∴. A. ，A错误.B. ，B错误. C.，C正确.D. ，D错误.故选：C. （3）（25-26高三上·山东聊城·期中）若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】令且，则，所以，则，结合各选项知、、不符合，符合.故选：C 例7.（1）（25-26高三上·河南·阶段练习）本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【详解】由，则， 则，又， 则有，即，故实数的最大值为.故选：C. （2）（2025·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为由于，则．故选：B （3）（2025·四川成都·三模）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 又，所以.故选：C. （4）（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则 ． 【详解】由，得，即，则，因此，即，则，所以. （5）（25-26高一上·湖南长沙·期中）方程的正实数解为 ． 【详解】令，两边同时取对数得 ，所以，所以. 所以对于有.化简得.因为函数，在上单调递减，所以函数在上单调递减，又， 所以，解得.故答案为：. （6）（24-25高三上·湖南·月考）计算： 0 ． 二 对数函数 对数函数的定义及图像 1.对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 2.对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 3.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型二：对数函数的性质与图像 角度1：定义域与值域 例8．（1）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【详解】要使函数有意义，则，由，得，解得或；由，得，解得或.因此不等式组的解集为或.所以函数的定义域为或. （2）（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质，可得，解得，即，B正确. （3）（25-26高三上·甘肃·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】若函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.故选：A. （4）（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【详解】由函数的定义域为，知 ，所以，这意味着函数 的定义域为 ；现在考虑函数 定义域，其自变量需同时满足以下条件： ，解得：.故答案为： （5）（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . 【详解】对一切实数均成立，所以当时，显然成立；当时，， 解得；故的取值范围为.故答案为： （6）（25-26高二上·广西·开学考试）已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在上恒成立，所以①若，则在不能恒成立；②若，则.综上：. 故选：A （7）（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，，且对任意，，①且，② 对于①，，结合，得.若，由②知对任意，矛盾；若，由②知对任意，即， 则，得，综上，当时，对任意，①②同时成立.故选：D 例9．（1）（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的值域为，所以的值域包含， 所以，解得.故选：C. （2）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是 . 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含， 当时，不满足题意；则函数是二次函数，其图象开口向上，且与轴有公共点， 于是，解得，所以实数k的取值范围是.故答案为： （3）（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的值域为.则实数的取值范围是 . 【详解】若使得函数的值域为R，令，则的值域包含，令，令， 则的值域包含，当，即时，在时递增， 故需满足，即，当，即时，需满足，即，，解得，综合以上可得实数a的取值范围是，故答案为：． （4）（2025·山东）已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是 ∵函数∴当时，的范围是；当时，，，由题意存在最小值，则，解得. （5）若函数有最小值，则的取值范围是______． 【解析】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；当时，外层函数为增函数，对于内层函数，函数有最小值，若使得函数有最小值，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 例10．（1）（25-26高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得，所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得， 所以即，解得；综上可得：或．故选：A. （2）（25-26高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因在上单调递增，故，若，则在上单调递减，因，故，此时不满足值域为；若，则在上单调递增，因，故，若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是.故选：A （3）（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，易知，当时，设在的值域为，由题意可得，当时，，即，不符合题意；当时，由不等式化简可得，解得由不等式组，解得.综上可得.故选：C. （4）（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数，当时，单调递增，所以值域为， 要使得分段函数的值域为，则当时，的取值包含的每一个取值， 所以，解得，故选：D （5）（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【详解】当时，因为在上单调递增，所以；当时，二次函数图象开口向下，对称轴为，当时，在上单调递增，所以，此时在R上的值域为，不合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，此时在R上的值域为，若的值域为，所以，又，解得，即的取值范围为，综上，. 故答案为： 例11．（1）（25-26高一上·江苏·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数的值域为，可知在内单调递减，则，解得，可得当时，，即在内值域为，符合题意； 且在内不单调递减，若在内单调递增，则，解得，此时，符合题意；若在内为常函数，则，解得，此时，符合题意；综上所述：实数的取值范围是．故选：A． （2）（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设的值域分别为，当时，则，可得；因为的值域为，可知，则，且，可得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D. （3）（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以在上单调递增，且在上单调递增， 当时，当时，因为的值域是，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C （4）（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则，要使函数（，且）的值域为，则是函数的值域的子集，又时，，所以，所以的范围是.故选：D. 例12．（1）（25-26·安徽·皖南八校高三联考）已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 【详解】（1），则函数的最小值为， 得到，又，则. （2），则的两根为， ，即. （2）（25-26高一上·广东湛江·期末）已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【详解】（1）解：函数的定义域为，即在上恒成立，则满足，解得，所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为，则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增，所以，， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，令，所以，当，即时，，解得，所以无解；当，即时，解得，所以，综上，实数的取值范围是． 角度2：对数函数的单调性 例12．（1）（25-26高一上·四川广元·阶段练习）已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【详解】令，解得或，可知的定义域为， 因为在定义域内单调递减，且在内单调递减，在内单调递增，可知在内单调递增，在内单调递减，所以函数单调递增区间为.故选：D. （2）（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得或，所以的定义域为， 对于，开口向上且对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，而单调递增，所以的单调递减区间为.故选：A （3）（25-26高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【详解】∵函数与的图象关于直线对称，则，∴，由，解得，令，，在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减，∴的单调减区间为.故选：D. （4）（2025·云南）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 令，对称轴为，因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在上为减函数，只需函数在上为增函数，且在上恒成立，所以，且，解得. （5）（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增,所以对称轴，解得 ,当时，，解得,所以的取值范围是.故选：C （6）（2025·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】若在上单调递增，则必然在处有定义，所以，即；若，则当时，所以在上有定义，再由知在上单调递增，所以在上单调递增.故选：C. （7）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A． B．或 C．或 D． 【详解】因为函数的值域为R，所以取得一切正数，即方程有实数解，得，解得或；又函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数，且在上恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围为或.故选：B 例13．（1）已知且，若函数在上是单调递增函数，则a的取值范围是___________.由复合函数单调性可知，①当时，，解得； ②当时，，解得，所以a的取值范周是.故答案为： （2）（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是.故选：B. （3）（2025内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，故在R上单调递减，所以，解得：故选：D. （4）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，必单调递增，有，可得，又在上为单调函数，所以在时单调递增， 因为函数在时单调递减，所以在单调递减；所以，解得，又由，又由，有，有．故选：. 例14．（1）（2025·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，，显然函数在上单调递增，而函数在上单调递减，因此，而，则或，解得或，所以实数a的取值范围为故选：D. （2）（24-25 湖北·阶段练习）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解析】令，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，由，函数在上单调递减，，又函数在上单调递增，则，即，因此；当时，函数在上单调递增，，又函数在上单调递增，则，即，因此，所以实数的取值范围为.故选：C （3）（25-26高一上·山东·期中）若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知当时，，结合函数（且）在上为单调函数，可知当时，为单调递增函数，当时， 也必为单调递增函数，由于在上单调递减，故 在上单调递减，此时在上单调递增，故，解得，故实数的取值范围为，故选：B 例15．（1）（多选题）（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误；对于B，因为，设，因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零，根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确；对于C，因为该函数的定义域关于对称，且，故函数的图象关于对称，故C正确；对于D，因为在上的值域为，所以的值域为，即，故D正确.故选：BCD. （2）（多选题）（25-26高一下·山西运城·阶段练习）已知函数，则（   ） A．函数为偶函数 B．函数的增区间为，减区间为 C．函数的值域为 D．若，则实数的取值范围为 【详解】对于A选项，函数的定义域为，由，有，可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B选项，当时，，由函数在上单调递增，在上单调递增，可得函数在上单调递增（复合函数的单调性）， 又由函数为偶函数，可得函数的增区间为，减区间为，故B选项正确； 对于C选项，当时，由，得，有，可得， 又由函数为偶函数，可得函数的值域为，故C选项错误；对于D选项，由及函数是偶函数，且函数的增区间为，减区间为，，可得，故D选项正确．故选：ABD. （3）（多选题）（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 【详解】由题可知为复合函数，其中对数函数的底数，对数函数单调递减，令.对于A 选项，当时，，的定义域为，根据复合函数的单调性可知，只需求 的减区间即可，的单调递减区间为，的增区间为，故A正确.对于B 选项，当时，，此时的定义域为，此时，的最小值为，即内层函数可取，即，的值域为，故B错误.对于C 选项，的值域为,只需要内层函数能取到所有的正实数，即判别式，解得，故C错误.对于D 选项，内层函数关于直线对称，而函数的图象是由经过对数变换得到的，的图象形状由决定，即函数的图象关于直线对称（也可验证是否成立），故D正确.故选：AD. （4）（多选题）（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为R，则 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若的值域是，则 【详解】A选项，若为偶函数，则，即，则，所以，故A正确；B选项，若的定义域为，则恒成立，只需，解得，故B正确；C选项，若在区间上单调递增，根据复合函数单调性，只需在区间上单调递减，且恒大于零，因此，解得，故C错；D选项，若的值域是，即的最大值为，因此只需的最小值为，所以，解得，故D正确.故选：ABD （5）（多选题）（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 【详解】对于A，的定义域为等价于在恒成立，当时，不等式为，符合题意；当时，有，解得.综上即得当的定义域为时，，故A正确；对于B，由的值域为,可得可以取遍一切正数，故需使，解得，故B错误；对于C，的定义域为，即不等式的解集为，故，且方程的两根为和3，则，解得，故C正确；对于D，对于函数在上单调递增，显然，设，因在定义域上为增函数，故依题意，需满足，解得，故D错误.故选：AC. 角度3：对数函数的奇偶性 例16．（1）若函数为偶函数，则__1___． （2）若是奇函数，则_____，______． 因为所以其定义域关于原点对称，故，由得所以，所以，此时，其定义域为;又是奇函数，故，即，所以,此时满足. （3）（2025.合肥市第八中学校考模拟预测）若为奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【解析】因为函数为奇函数，所以的定义域关于原点对称，显然当时，没意义，所以当时，也没意义，但是有意义的，所以必定是，即， ，， （4）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（  B  ）． A． B．0 C． D．1 （5）（2025·河南·襄城高中校联考三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ． 【详解】因为函数是上的奇函数，则，即，所以，，所以，，所以，.故答案为：. （6）（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（  B ） A． B． C． D． （7）（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（  A  ） A． B． C． D． （8）（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）若是奇函数，则的值为（ D   ） A． B． C． D． 例17．（1）已知函数，则（       ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【解析】对于，有，解得，∴的定义域为，关于原点对称 函数为偶数.，内层函数在上为减函数，外层函数为增函数，函数在上为减函数. （2）（25-26高一上·河南郑州·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【详解】A选项，函数定义域为， ，函数为奇函数， 在上单调递减，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，不符合题意；B选项，，即，函数定义域为， ，函数为奇函数，∵在上单调递减，在上单调递增，∴在上单调递减，不符合题意；C选项，函数定义域为，为偶函数，不符合题意；D选项，函数定义域为，，函数为奇函数，，因为函数在上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，符合题意. 故选：D. （3）函数，则（ ） A．0 B． C．4 D．1 【详解】设，则为奇函数，所以，所以，，因，所以 （4）（25-26高三上·辽宁·期中）已知是定义域为的奇函数且，当时，.那么（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以的周期为，所以，因为，， 所以，又因为是定义域为的奇函数，所以，故选：D （5）（25-26高二上·广东·期中）已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（ B   ） A．3 B． C． D．2 （6）（25-26高三上·山东·月考）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由周期性知，而，则，即，所以，由的图象关于轴对称，则.所以.故选：A （7）（2025·甘肃）已知函数，则______ 【解析】因为（），所以，所以，故答案为：2 （8）（25-26高一上·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 【详解】设，，则，所以，则，所以函数为奇函数，则，即，则，即. 角度4：对数函数图像 例18．（1）（2025·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． 【详解】由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C. （2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（     ） A． B． C． D． 由图易得，；取特殊点，，．选A． （3）（2026·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】作出函数和的图象以及直线的图象，如图， 由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，结合图象可知，A错误；由题意知，也即，由于函数和互为反函数，二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，故关于对称，故，B错误；由，故，C错误；因为，故，结合，即得，D正确，故选：D （4）（25-26高一下·浙江·期中）已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，，所以a，b分别是，与图象交点的横坐标，因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称， 所以两交点，关于直线对称，所以，，所以，故A正确；因为，，所以，故B正确；因为，所以，故C正确； 若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误. （5）（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误 （6）（24-25高三下·北京·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；      ② ；③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ 【详解】如图所示，   设，的中点为，点在函数的图象上，且轴，则，由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确；则，即，即，故③正确，④错误.故选：B. （7）（25-26高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【详解】由对数函数的性质，得，解得，则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限，所以，即，化简得， 则，解得.故答案为： 例19．（1）若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（       ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在R上是奇函数，所以，所以，经检验，满足题意，又因为为减函数，所以，则（）由可知的图象关于直线轴对称，排除选项CD ；又，可知选项A错误.所以的大致图象为B．故选：B （2）（2025·广东广州·统考三模）函数的大致图象是（    ）． A．B． C． D． 【解析】易知函数的定义域为，因为， 所以函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；因为，，所以，所以排除D．故选：B． （3）（25-26高一上·江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   （4）（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   【详解】函数的定义域为，又， 所以为偶函数，则函数图象关于轴对称，故排除D；当时，则 因为当时，，，所以；当时，，，所以，故排除A、C.故选：B 例20．（1）设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（       ） A．a的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 【详解】当时，函数是减函数，函数值集合为，当时，函数是增函数，函数值集合为，当时，函数是减函数，函数值集合为，如图， 因方程有三个不相等的实数根，则，，A不正确； ，且满足，于是得，因此的取值范围为，B不正确；，且有，因此，，即，解得，C不正确；，所以的取值范围为，D正确.故选：D （2）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】 ， ，由函数的图象可知方程有四个不同的实根时， 设与的交点的横坐标为，设，则，且，，设与交点的横坐标为，则，由得，，，. （3）（多选题）已知函数，若有四个不同的解且 ，则有（     ） A. B. C. D.的最小值为 ABD 解析：由题意，当时，；当时，；当时，．作出函数的图象，如下图所示，易知与直线有四个交点，分别为，，，，因为有四个不同的解，，，且，所以，，且，，又，，所以，即，则．所以，且，构造函数，且，可知在上单调递减，且，所以的最小值为.于是A，B，D正确，C错误. （4）（2025·安徽合肥·三模）已知，其中，若，，，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】定义域为，因，根据的函数图象以及图象变换可画出的函数图象， 则在上单调递增，在上单调递减，不妨设又，则，，则，即，则，因，则，得，则，故的范围为. （5）（25-26高一上·吉林·期末）设函数，已知，且，则 . 【详解】 根据函数解析式，得出函数的大致图像如上图，因为， 且，如图可知，由，，所以，又，所以，所以，所以. （6）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是 . 【详解】当时，，作出函数图象，如图所示：   当时，，设，且，则由图象得：，则由题意知，，且，， 所以，即，则，所以的取值范围是， （7）（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 【详解】因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，函数，对于函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以的图象关于对称，所以为偶数，这些根成对出现，每对和为，所以设，则，所以，解得.故选：B. 角度5：利用对数函数的单调性比较大小 例21．（1）（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 由函数在上单调递增，故，由函数在上单调递减，故， 即有，故，又，故.故选：B. （2）（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 因为，所以，所以，即，即，又因为，所以，即，综上，，故选:A. （3）（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）若，，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】，，，，，又，都大于，．，故选：． （4）（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，且，都有，所以函数在上单调递减．又函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，所以．又，，因为，所以；因为，所以．所以，所以，即．故选：A （5）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】，而，且．所以，故． （6）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由为幂函数，得∴，所以，所以，又，所以，又，所以，由换底公式得，，所以， 又，所以，得.又在区间内单调递减，所以.综上，.故选：B. （7）（25-26高三上·河北·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，所以； 因为，所以指数函数在上单调递增，所以，即； 因为，所以对数函数在上单调递增，所以. 所以.故选：B （8）（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】，则. 因为，则故选：A. （9）（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由对数的运算性质，可得，则；又由，则 ，因为，可得，所以，所以.故选：A. （10）（2022·全国·高考真题）已知，则（       ） A． B． C． D． 【详解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．综上，．故选：A. 对数型糖水不等式因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 .所以 , 即 , 选 A. （11）（25-26高三上·江苏南京·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【详解】，底数，对数函数单调递减，又，，，底数，指数函数单调递增， 又，，，底数，指数函数单调递减， 又，．，故选：C． （12）（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】法一：设，所以令，则，此时，A有可能；令，则，此时，C有可能；令，则，此时，D有可能；故选：B． 法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B． （13）（25-26高三上·广西·开学考试）（多选题）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，，.如图，作出函数，，的图象，a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标.由图可知，随着的变化，可能出现，，.   故选：ABD （14）（25-26广东毕业班第一次联考）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，，则，故， 又，，，，，故最小值是，故选：C． （15）（2025·山东·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得.因为，所以，所以.设函数，则，易知在上单调递增，所以，即.故选：D. 角度6：过定点 例22．（1）（2025·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【解析】由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为，故选:A． （2）（2025上·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以， , ,当且仅当，即等号成立故选：B. （3）（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（    ）A． B． C． D． 【详解】由于对数函数的图像恒过定点，故有，解得，从而的坐标为. 由于也在上，得，解得，所以.因为,故.故选：A. 角度7：解不等式 例23．（1）已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为______． 【解析】定义域为R的偶函数在上是增函数且，根据偶函数的对称性得到，且函数在上单调递减，，可得到，即或 解得或者.故答案为：或 （2）已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________. 【解析】因为定义在R上的偶函数在区间单调递增，所以在单调递减；又，于是由，得，从而有，则得，即，且，解得：.故a的取值范围是. （3）（山西省部分学校2025-2026学年高三上学期9月调研考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 ． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，所以在上递增，因为是定义在上的偶函数，所以由，得， 所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或. （4）（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意知函数定义域为，关于原点对称，因为，所以为偶函数，因为，所以，当，单调递增，所以，所以或，解得或.所以不等式的解集是.故选：A. 例24．（1）（2025上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意，易知的定义域为，而所以即，所以为上的奇函数；又因为均为奇函数，且在均为增函数，所以为上的奇函数，且为增函数；又因为，所以，， （2）（2025上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【详解】，由于，所以的定义域为， ，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集是.故选：A （3）（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增，故由可得，解得.故选：B. 题型三：对数函数中的恒成立问题 例25．（1）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.故答案为：. （2）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________. 【解析】函数在，上单调递增，在，上单调递增，∴，，对任意的，，有恒成立，∴，即，解得，∴实数的取值范围是．所以，所以，即，故答案为：. （3）（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . 【详解】根据题意可得只需即可，由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，， 所以，即，无解，所以不符合题意； 当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，解得，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. （4）（24-25高一上·福建三明·期末）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，令，当时，，不等式，则恒成立，当时，成立，； 当时，，函数在上单调递减，当时，，因此；当时，，而，当且仅当时取等号，因此，所以的取值范围是.故选：B （5）（多选题）已知函数，若不等式对任意的均成立，则m的取值可能是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 解：因为，所以函数是定义在R上的奇函数， 又，因为函数是单调递增函数，所以函数在R上为单调递增函数，则不等式可化为：， 所以，即对恒成立，只需， 又，当时，，所以． （6）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【详解】时，，设，则， ，∴时， 所以，故答案为：． （7）（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数是R上的奇函数，则实数a的值为 1 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 奇函数，所以在上是减函数，则在上的最大值为， 又，所以在上是增函数，在上是减函数，则的最小值为和中的较小的一个.因为，， 所以.因为对恒成立，所以.解得.故的取值范围为. 例26．（1）（1）（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（  C  ） A． B． C． D．1 （2）（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，恒成立，所以，即，所以．因为且， 所以．故选：C. （3）（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为对任意的，总有不等式成立，即成立，即的图像在直线的下方（包括交点），作出图像，如图所示， 当时，，令，解得；令，解得.当时，，令，解得.所以的图像与直线的交点为和，所以，又，所以，即的最大值为.故选：C. （4）（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 则，即，所以 （5）（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 综上所述，所以，因为且，即，所以的取值范围为，所以的取值范围为.故选：C. （6）（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】，则，且是函数的一个零点，即，， 当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.故选：D. 题型四 对数函数实际应用 例27．（1）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【详解】当时，，当时，，故；当时，，故，所以．故选：A． （2）（多选题）（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即， 所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD. （3）（24-25高三上·河北·阶段练习）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（   ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A．99 B．100 C．101 D．102 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”均为1，天后，甲和乙的“日能力值”分别为和. 由题知，即.两边分别取对数得.因此.所以大约需要经过99天，甲的“日能力值”是乙的50倍.故选：A. 例28．（1）（25-26高三上·北京·阶段练习）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于：由题意得，可得，所以，所以，，可得，所以，所以， 所以，故错误；对于：，故正确、错误.故选：C. （2）（24-25高一上·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． 【详解】由题意，即，，，设降温到35℃大约需要，则，即，， ，所以，故选：B． （3）（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 【详解】因为衰减学习率模型为，所以根据已知条件可得：① ②用②式除以①式可得：,化简可得：.将代入①式中可得：.所以衰减学习率模型为.当学习率衰减到0.05以下时，即.化简上述不等式得：，所以.因为为正数，所以最小值取34. 题型五：对数函数综合题 例29．（多选题）（1）（25-26高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D． 【详解】对于函数，则，解得且，所以函数的定义域为，故A错误；当时，，因为在上单调递增，且，又在定义域上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；因为 ，所以的图象关于点对称，故C正确；因为，所以，又，所以，即，所以，所以，即，故D正确.故选：BCD （2）（24-25高一上·合肥一中阶段测试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，函数有3个零点，即有3个不同根，画出函数与的图象如图：要使函数与的图象有3个交点，则，且，即.∴ 实数的取值范围是.故选：B. （3）（多选题）（25-26高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【详解】对于A，对任意的，，所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则，故A错误；对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，故B正确；对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，所以由可得，根据B项，可得，可得，即，因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确；对于D，因为函数，显然，所以有可得，则，则，因为，令，当时，，设，所以，，于是当时，，对，总，使得成立，故函数的值域为函数在上的值域的子集，即，所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确.故选：BCD. 例30．（1）（25-26高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. 【详解】（1）若的值域为，则取遍所有正数，由，且， 解得． （2）因为函数为增函数，，所以． 由，得，整理得，解得， 故方程的解集为． （3）当时，的定义域为．因为，且，所以图象的对称轴方程为．又在上单调递增，定义域为，所以所求不等式等价于，解得或，故所求不等式的解集为. （2）已知函数. （1）若函数的最大值是，求的值； （2）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 解：（1）当时，，不合题意；时，令，设，则.①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意；②当时，且此时对称轴，函数的最大值是，所以，解得或（舍），所以. （2）当时，设，则的对称轴，所以当时为增函数，即为增函数.所以函数的定义域为时，的值域为，可转化为函数与有两个正交点，即有两个正根.即，设，所以，即有两个大于1的根.所以解得，所以实数的取值范围是. 例31．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以． （2）由（1）可得，因为，所以，，， ，，所以当时的值域， 又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m的取值范围是 例32．（25-26高一上·山西·期末）已知函数． （1）当时，解方程； （2）若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，所以， 所以可化为，即，所以，或， 所以，或，即方程的解为或． （2）因为对在上总有意义，所以对在上恒成立． 令，则，因为，所以在上单调递减，所以， 所以恒成立，即，所以，因为在上单调递减，所以在上单调递减，所以， 由题意知，即， 所以，即，因为，当且仅当，即时等号成立，故实数的取值范围为． 例33．（25-26高一上·河南许昌·阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 【解析】（1）由题意知，，即，所以，故. （2）由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于， 即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是. （3）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，， 又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是. 例34．已知函数，. （1）若函数在为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【小问1详解】设，且，则∵函数在上为增函数，∴恒成立又∵，∴，，∴恒成立，即对恒成立，当时，的取值范围为，故，即实数取值范围为. 【小问2详解】∵为偶函数，∴对任意都成立， 又 ，∵上式对任意都成立，∴，∴， ∴，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，∴由题意，可得对任意恒成立，∴对任意恒成立①由有意义，得在恒成立，得在恒成立，又在上值域为，故②由，得，得，得，得，得，∴对任意恒成立，又∵在的最大值为，∴，由①②得，实数的取值范围为. 例35．（25-26高一上·广西桂林·阶段练习）已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. （1）求的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围： （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）∵恒成立，∴函数的定义域为，∵函数为偶函数，所以，即，∴，则，∴. （2），有零点，即有解，即方程有解，则与有交点，当时，∵∴函数，∴与没有交点，舍去；当时，令，函数在上单调递增，∵在上单调递减，且，所以在上单调递减，且，即的值域为此时方程有解，即.综上所述： （3），当时，， ，当且仅当，即时取等号，所以， 因为，，使得恒成立，所以，即对任意恒成立，∵，∴对任意恒成立，令函数，所以函数在上单调递减，故，故． 例36．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由. 【详解】（1）函数的定义域为， ，因为函数为偶函数，所以，即，得； （2），设，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，，即，时，等号成立，所以函数的值域为； （3），，，令，所以设，，函数的对称轴，当，即时，在上单调递增，，所以，得，成立，当时，即时，在上单调递减，，所以，得，舍去，当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去，综上可知，. 例37．已知函数． （1）当时，判断的奇偶性并证明； （2）若函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，求实数的取值范围． 解：当时，，定义域为， ，所以，为偶函数. 【小问2详解】解：函数的定义域为，设函数关于轴对称的函数为，设是上的任意一点，则在函数图象上，即，所以，因为函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，所以方程恰有两个实数根，即恰有两个实数根， ，所以，恰有两个实数根，即在上恰有两个实数根，所以在上恰有两个实数根，令，则在上恰有两个实数根，所以函数与图象恰有两个交点，因为，当时，，所以，作出其函数图象如图所示，由图可知，当时，函数与图象恰有两个交点，所以，实数的取值范围为． 例38.（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，且函数与的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数的取值范围． （3）若且，求的取值范围． 【详解】（1）设为图象上任意一点，该点关于对称的点为，故在的图象上，故即，故. （2）即为，故，所以，故或.所以实数的取值范围是. （3）因为，故，故或， 因为，故不成立，故即.故，而，故即，由对勾函数的单调性可得在为减函数，故的值域为，故的取值范围为，故的取值范围为即. 例49.（25-26高一上·湖北·阶段练习）一般的，设函数定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形．已知函数，． （1）计算的值，并求的对称中心； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围； （3）若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 【详解】（1）因为，所以 ，所以的对称中心为； （2）因为的值域为，所以的值能取遍每一个正数， 若，则，其值能取遍每一个正数，符合题意；若，则，解得； 综上可得实数的取值范围为； （3）当时，，则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为；因为的图象关于点对称，又区间关于对称， 所以，，所以 ， 所以，解得，所以存在正整数符合题意. 课后练习题 1.（25-26高二下·北京·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，又因为，故. 2.（25-26高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 【详解】函数的图象恒过定点，又点在的图象上，，即，故选：D. 3.（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，. 故选：B 4.（25-26高一上·浙江·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【详解】由函数的定义域为，所以， 所以的定义域为，所以，故A正确. 5.（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增,所以对称轴，解得 ,当时，，解得,所以的取值范围是.故选：C 6.（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 【详解】由换底公式可得，，，原式化为，所以，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是． 7.（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】因 ，得 ，则 ，又， . 8.（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【详解】设该工厂经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台．由题意可得， 所以，所以．经过年，人工智能机器人的产量才能达到万台，即到年，人工智能机器人的产量才能达到万台． 9.（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 【详解】因为，所以，因为， 所以，即，故选项A正确. 10.（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，可得，则，故A错误；由分别转化为对数式，结合换底公式可得：，故；，故；，故， 由，，显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 11.（25-26高三上·新疆·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】，，.因为，， ∴，，又∵，，∴，，∴，∴，即.故选：A. 12.（25-26高三上·广东·阶段练习）已知正实数满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为为正实数，令，所以，，，因为在上单调递增且，在上单调递增且，在上单调递减且，在同一平面直角坐标系下画出，，的图象 13.（25-26高三上·山东烟台·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，因是上的奇函数，则， 所以，即，所以，即是周期为4的奇函数，由，而， 所以.故选：B 14.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 【详解】因函数的定义域为，函数与均为上的增函数，且两函数的零点分别为与，为使函数的值恒为非负数，则两零点必须重合， 否则在两零点之间，两函数值会出现一正一负，不符合题意.故.于是. 15.（多选题）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】，选项正确；，选项正确；，选项错误；，选项正确.故选ABD 16.（多选题）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为，所以为方程的两个根，所以，故A正确；对于B，由的定义域为，所以对于恒成立，当时，满足题意，当时，， 所以，故B错误；对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意，当时，，所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令，当时，不满足题意，当时，二次函数的对称轴为，由外函数为增函数，所以在上单调递增，所以对于，恒成立，所以，所以，故D错误.故选AC 17.（多选题）（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 【详解】对于选项A，当时，，故A错误；对于选项B，，，，所以，则，故B正确；对于选项C，设昨天的菌个数为，今天的菌个数为，则，所以，故C错误；对于选项D，当时，，所以，故D正确.故选BD 18.（多选题）（25-26高一下·河南焦作·期末）已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， ，其中，令，则，，，，当时，，，， 此时，选项D成立；当时，，因为，所以，即，选项A成立；当时，， C选项，，即，①， 先解，，解得，再解， ，任取， 则 因为，所以，则，所以，因为，所以，，即，所以在上单调递增，又，所以当时，即， 此结果与①中互相矛盾，不存在使得，选项C错误.故选ABD 19.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设，则___________． 【详解】注意到，因此 20.（26-27高三上·北京·开学考试）________ 【详解】 . 21.（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 【详解】由，得，则，因为，所以． 22.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为________ 【详解】由题可知，因为，所以，又，所以， 所以，即，所以，即. 23.（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 【详解】由可得，即，整理得， 由，当且仅当，即时取等，即的最小值为. 24.（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 【详解】由函数，可得，即，所以函数的反函数为，因为函数的图象关于直线对称，可得， 可得，所以，则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为.故答案为：. 25.（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 【详解】（1）； （2） ； （3）. 26.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 【详解】（1）由题意得所给区间的右端点大于左端点，所以，，，所以，所以在上单调递增，所以，解之得，所以解集为． （2）因为在上单调递增，所以，， 即，所以.所以，所以.令，因为，所以，所以.该二次函数图象开口向上，所以在闭区间上的最小值在顶点处取得，最大值在端点处取得；比较两个端点的函数值，右端点处的函数值较大．所以，.即，，所以当时，函数有最小值，当时，函数有最大值0． 27.（25-26高一上·湖南·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围； （3）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【详解】（1）因为，则有.因为在处函数图象是连续不断的，所以，解得. （2）当时，令，则，化简得，因为，所以此时不等式无解集；当时，令，则，化简得，解得.所以满足条件的训练时长范围为. （3）当时，，此时. 因为，所以，当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为4；当时，，此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 28.已知函数的图象过点，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上有零点，求整数k的值； （3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围. 【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，，令，得，设，则函数在区间上有零点，等价于函数在上有零点，所以，解得，因为，所以的取值为2或3. （3）因为且，所以且，因为，所以的最大值可能是或，因为 所以，只需，即，设，在上单调递增，又，∴，即，所以. 29.（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【详解】（1）函数中，，由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时，所以满足，即函数为奇函数，符合题意，所以. （2）由（1）知，其定义域为，显然在，上均单调递减，且当时，，，，所以， 同理可得当时，，若，可能满足以下几种情况： ①，解得，②，解得， ③，解得，显然无解，综上，实数x的取值范围是 （3）由（2）知，，当时，，故，所以在上值域为，又，，令，，则，所以当时，，当时，，所以函数在上值域为，因为对任意的，总存在，使得成立，则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 30.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 【详解】（1），定义域为,且，故为偶函数， （2）当时，，由于，当且仅当时等号成立，故，因此的值域为， （3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，故恒成立，且取值为正，即，由于时，故在单调递增，因此当时，在单调递增，当时，在单调递减，故当时，所以，即， 化简可得，结合函数在单调递增，且当时，， 当时，，由于为正整数，故或.当时，所以，即，化简可得，结合函数在单调递增，且当时，，当时，，故此时不存在正整数，综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数. 31.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值，所以，解得或，因此实数的取值范围为． （2）当时，．令，得或，又，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在上单调递增，因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以．因为在时单调递减，所以，即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线．当时，只需，解得；当时，只需，解得；当时，只需，无解．综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立，所以． 记，则在上单调递增，所以，所以.成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号），所以，所以，综上，，即实数的取值范围为． 32.（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 【详解】（1）由，得，所以，所以函数的定义域为， 又，所以函数为奇函数. （2）由（1）可知，，则，因为，函数在上单调递减，所以，解得，即. (3)， ，又因为函数在区间上单调递减， 所以当时，，，所以，所以恒成立. 33.（25-26高一下·安徽·阶段练习）若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 【详解】（1）由题设，的定义域为，设，因为，所以，的图象关于点对称，故函数的图象是中心对称图形. （2）由（1）知，，都有成立，又，所以 . （3），且， 因为，所以， 又，所以，则，因为，所以，即，所以在上单调递增，故在上的最小值为. 34.（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且，即，解得.因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立，则对任意的恒成立，因为，当时，，故当时，即当时，函数取最小值，即，所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得，因为，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时等号成立，则，因此，实数的取值范围是. 围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一 对数 1.对数式的运算 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： ①特殊对数：；；其中且 ②对数恒等式：(其中且，) ③对数换底公式： 如：． （4）对数的运算法则： ①外和内乘原理：； ②外差内除原理：； ③提公次方法：，； ④指中有对，没心没肺：和 如：，． （5）换底公式和对数运算的一些方法： ①常用换底： 如：． ②倒数原理： 如：． ③约分法则： 如： ；． ④归一法则：． 2.对数型糖水不等式 （1）设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 题型一：对数运算 例1．（1）（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·天津南开·期末）已知，，则（     ） A． B． C． D． （3）（2025·重庆·三模）已知，则 ． （4）（2025·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 （5）（25-26高三下·上海静安·期中）若，则______． 例2．（1）（25-26高一上·重庆·阶段练习）求下列各式的值： （1）； （2）. （2）（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）计算下列各式的值： （1） （2）设，，用a，b表示； （3）已知，试求的值. （3）（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）计算的值； （2）已知，求的值. （4）（25-26高一上·河南·期中）化简求值： （1） （2） （5）（25-26高一上·江苏南京·期中）（1）求值：； （2）求值：； （3）设正实数满足，求的值. （6）（2025·天津南开·统考二模）计算的值为______. 例3．（1）（2025·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知，，则______． （2）（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2025·上海·高三校联考阶段练习）若，且，则__________． （4）（2024·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． （5）（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． （6）（2026·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 例4．（1）（25-26高三上·吉林长春·月考）若，，则（    ） A． B． C． D． （2）（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 （3）1.（2025·山西晋中·模拟预测）已知，则 . 2.（2025·湖南·一模）已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． （4）已知，，则______． （5）若，，用a，b表示____________ （6）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，用、表示=_________. （7）已知，用含的式子表示_________. （8）（25-26高一上·江苏泰州·期中）若，，用，表示=_________. （9）（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，用，表示=_________. （10）（25-26高一上·江苏常州·阶段练习）已知，，用含、的式子表示 ． 例5．（1）已知，，且，则的最小值为___________. （2）若，，，则的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 （3）已知，，且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C． D． （4）（2025·天津武清·第一中学校考模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． （5）（25-26高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 （6）（25-26高三上·云南·期中）若，则的最小值为（    ） A．16 B．24 C．32 D．40 （7）（2025·天津和平·二模）设，，，若，，则的最大值为 ． （8）（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （9）（24-25高三上·河南周口·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． （10）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知，且，则的最小值为 例6.（1）（2025·江苏·三模）（多选题）已知，则（ ） A． B． C． D． （2）（2025·宁夏吴忠·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·山东聊城·期中）若，，满足，且，则有序实数组可能是（    ） A． B． C． D． 例7.（1）（25-26高三上·河南·阶段练习）本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 （2）（2025·江苏南通·二模）已知函数，则（    ） A． B． C． D． （3）（2025·四川成都·三模）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·上海·期中）若实数满足且，则 ． （5）（25-26高一上·湖南长沙·期中）方程的正实数解为 ． （6）（24-25高三上·湖南·月考）计算： ． 二 对数函数 对数函数的定义及图像 1.对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 2.对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 3.在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 题型二：对数函数的性质与图像 角度1：定义域与值域 例8．（1）（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． （2）（25-26高二下·河南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·甘肃·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． （5）（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是 . （6）（25-26高二上·广西·开学考试）已知函数，若定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （7）（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例9．（1）（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，若的值域为R，则实数k的取值范围是 . （3）（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的值域为.则实数的取值范围是 . （4）（2025·山东）已知函数，若存在最小值，则实数a的取值范围是 （5）若函数有最小值，则的取值范围是______． 例10．（1）（25-26高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 （2）（25-26高一下·湖北·阶段练习）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． （4）（2025·山东日照·二模）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高三上·宁夏银川·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 例11．（1）（25-26高一上·江苏·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（2025·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高三下·江西赣州·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高三上·海南海口·期末）已知函数（，且）的值域为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 例12．（1）（25-26·安徽·皖南八校高三联考）已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. （2）（25-26高一上·广东湛江·期末）已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若的值域为，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 角度2：对数函数的单调性 例12．（1）（25-26高一上·四川广元·阶段练习）已知函数，则函数单调递增区间为（ ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． （4）（2025·云南）已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （6）（2025·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （7）已知的值域为R，且在上是增函数，则实数a的取值范围是（       ） A． B．或 C．或 D． 例13．（1）已知且，若函数在上是单调递增函数，则a的取值范围是___________. （2）（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2025内蒙古赤峰）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高三上·河南·阶段练习）已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例14．（1）（2025·广东佛山·二模）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（24-25 湖北·阶段练习）已知且，函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·山东·期中）若函数（且）在上为单调函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例15．（1）（多选题）（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 （2）（多选题）（25-26高一下·山西运城·阶段练习）已知函数，则（   ） A．函数为偶函数 B．函数的增区间为，减区间为 C．函数的值域为 D．若，则实数的取值范围为 （3）（多选题）（24-25高二下·江西赣州·期末）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．当时，的增区间为 B．当时，的值域为 C．如果的值域为，则 D．函数的图象关于直线对称 （4）（多选题）（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为R，则 C．若在区间上单调递增，则的取值范围是 D．若的值域是，则 （5）（多选题）（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若的定义域为，则 B．若的值域为，则 C．若的定义域为，则 D．若在上单调递增，则 角度3：对数函数的奇偶性 例16．（1）若函数为偶函数，则____． （2）若是奇函数，则_____，______． （3）（2025.合肥市第八中学校考模拟预测）若为奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． （4）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 （5）（2025·河南·襄城高中校联考三模）已知函数是上的奇函数，则实数 ． （6）（25-26高三上·四川遂宁·期中）函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． （8）（25-26高三上·宁夏银川·阶段练习）若是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 例17．（1）已知函数，则（       ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 （2）（25-26高一上·河南郑州·期中）下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（   ） A． B． C． D． （3）函数，则（ ） A．0 B． C．4 D．1 （4）（25-26高三上·辽宁·期中）已知是定义域为的奇函数且，当时，.那么（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高二上·广东·期中）已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A．3 B． C． D．2 （6）（25-26高三上·山东·月考）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（    ） A． B． C． D． （7）（2025·甘肃）已知函数，则______ （8）（25-26高一上·辽宁丹东·期中）设函数，若，则 . 角度4：对数函数图像 例18．（1）（2025·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． （2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（     ） A． B． C． D． （3）（2026·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一下·浙江·期中）已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． （5）（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． （6）（24-25高三下·北京·阶段练习）已知是函数图象上两个不同的点，则下列个式子中正确的是（    ） ① ；      ② ；③ ；            ④ . A．① ③ B．② ③ C．① ④ D．② ④ （7）（25-26高一上·陕西榆林·期末）若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 例19．（1）若函数（且）在R上既是奇函数，又是减函数，则的大致图象是（       ） A． B． C． D． （2）（2025·广东广州·统考三模）函数的大致图象是（    ）． A．B． C． D． （3）（25-26高一上·江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   （4）（25-26高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．  D．   例20．（1）设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（       ） A．a的取值范围为 B．的取值范围为 C． D．的取值范围为 （2）已知，若关于x的方程有四个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）已知函数，若有四个不同的解且 ，则有（     ） A. B. C. D.的最小值为 （4）（2025·安徽合肥·三模）已知，其中，若，，，则的范围为（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·吉林·期末）设函数，已知，且，则 . （6）（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数，设是四个互不相同的实数，满足，则的取值范围是 . （7）（2025·陕西咸阳·二模）已知是定义在上的函数，且为奇函数，若函数的图象与函数的图象有个交点，…，，且，则的值为（   ） A．1010 B．1012 C．1014 D．1016 角度5：利用对数函数的单调性比较大小 例21．（1）（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）若，，，则（ ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·湖南邵阳·阶段练习）若函数为偶函数，对任意的，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． （5）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． （6）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数为幂函数，若，，则（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高三上·河北·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． （8）（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， （9）（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， （10）（2022·全国·高考真题）已知，则（       ） A． B． C． D． （11）（25-26高三上·江苏南京·月考）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． （12）（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． （13）（25-26高三上·广西·开学考试）（多选题）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． （14）（25-26广东毕业班第一次联考）已知，，，，则在，，，，，这6个数中最小的是（    ） A． B． C． D． （15）（2025·山东·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 角度6：过定点 例22．（1）（2025·安徽安庆·校联考模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． （2）（2025上·辽宁大连·高三大连市第一中学校联考期中）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． （3） （25-26高一上·广东广州·期中）已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 角度7：解不等式 例23．（1）已知定义域为R的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为______． （2）已知定义在R上的偶函数在上单调递增，实数a满足，则实数a的取值范围是___________. （3）（山西省部分学校2025-2026学年高三上学期9月调研考试数学试卷）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 ． （4）（25-26高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例24．（1）（2025上·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（2025上·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型三：对数函数中的恒成立问题 例25．（1）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. （2）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________. （3）（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是 . （4）（25-26高一上·福建三明·期末）已知，当时，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （5）（多选题）已知函数，若不等式对任意的均成立，则m的取值可能是（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 （6）（25-25高一上·四川绵阳·阶段练习）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . （7）（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）函数是R上的奇函数，则实数a的值为 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 例26．（1）（1）（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 （2）（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）若不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （5）（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型四 对数函数实际应用 例27．（1）（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中，且．若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（    ） A．2 B．1 C． D． （2）（多选题）（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． （3）（24-25高三上·河北·阶段练习）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步3%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（   ）天，甲的“日能力值”是乙的“日能力值”的50倍（参考数据：，，） A．99 B．100 C．101 D．102 例28．（1）（25-26高三上·北京·阶段练习）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为6和11时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高一上·天津·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述: 设物体的初始温度是 ， 后的温度是 ，则 ，其中 表示环境温度， 称为半衰期. 现有一杯88°C的咖啡放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃大约需要20 min，那么降温到35℃大约需要 （参考数据: ） （     ） A． B． C． D． （3）（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 题型五：对数函数综合题 例29．（1）（25-26高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D． （2）（24-25高一上·合肥一中阶段测试）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （3）（多选题）（25-26高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 例30．（1）（25-26高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，且. （1）若的值域为，求的取值范围； （2）若，求方程的解集； （3）当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集. （2）已知函数. （1）若函数的最大值是，求的值； （2）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围. 例31．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 例32．（25-26高一上·山西·期末）已知函数． （1）当时，解方程； （2）若对，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求实数的取值范围． 例33．（25-26高一上·河南许昌·阶段练习）已知定义在R上的函数满足且，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数a取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 例34．已知函数，. （1）若函数在为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数为偶函数，且对于任意，，都有成立，求实数的取值范围. 例35．（25-26高一上·广西桂林·阶段练习）已知函数（且，）是偶函数，函数（且）. （1）求的值； （2）若函数有零点，求a的取值范围： （3）当时，若，，使得恒成立，求实数的取值范围. 例36．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数为偶函数. （1）求实数k的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，，那么是否存在实数t，使得的最小值为1，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由. 例37．已知函数． （1）当时，判断的奇偶性并证明； （2）若函数的图象上存在两点，，其关于轴的对称点，恰在函数的图象上，求实数的取值范围． 例38.（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）已知函数，且函数与的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式； （2）若成立，求实数的取值范围． （3）若且，求的取值范围． 例39.（25-26高一上·湖北·阶段练习）一般的，设函数定义域为，若对任意，都有，则函数的图象关于点成中心对称图形．已知函数，． （1）计算的值，并求的对称中心； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围； （3）若，将区间分成等分，记等分点的横坐标分别为，问：是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立，若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由． 课后练习题 1.（25-26高二下·北京·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·云南昭通·阶段练习）已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图像上，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．11 3.（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·浙江·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·浙江·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·云南昭通·期末）设且且，若，则的最小值是（   ） A． B． C．8 D．16 7.（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知国内某人工智能机器人制造厂在2025年机器人产量为300万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到900万台（参考数据：，）（    ） A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 9.（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数，则（     ） A． B．1 C． D． 10.（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高三上·新疆·月考）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 12.（25-26高三上·广东·阶段练习）已知正实数满足，则下列关系不可能的是（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高三上·山东烟台·期中）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 14.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则（    ） A．正实数 B．负实数 C．0 D．不确定 15.（多选题）（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 16.（多选题）（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 17.（多选题）（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知一容器中有两种菌，且在任何时刻两种菌的个数乘积均为定值，为了简单起见，科学家用来记录菌个数的资料，其中为菌的个数．现有以下几种说法，其中正确的是（　　） A． B． C．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的菌个数比昨天的菌个数多10 D．假设科学家将菌的个数控制为5万，则此时（注：） 18.（多选题）（25-26高一下·河南焦作·期末）已知实数a，b，c满足，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 19.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）设，则___________． 20.（26-27高三上·北京·开学考试）________． 21.（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知，，则________．（用，表示）． 22.（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知（）且，则实数的值为________. 23.（25-26高二下·河北石家庄·期末）已知，，，则的最小值为________． 24.（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为 . 25.（25-26高二下·宁夏银川·期末）计算下列各式的值： （1）； （2）; （3）; 26.（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数（，且），若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． （1）解不等式； （2）当时，求函数的最值，并求出取得最值时对应的的值． 27.（25-26高一上·湖南·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围； （3）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 28.已知函数的图象过点，. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上有零点，求整数k的值； （3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围. 29.（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 30.（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，其中且. （1）试判断函数的奇偶性； （2）当时，求函数的值域； （3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值. 31.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． （1）若的值域为，求实数的取值范围． （2）当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． （3）设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 32.（25-26高一下·安徽安庆·期末）已知函数. （1）求函数的定义域，并判断其奇偶性； （2）若，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.证明：恒成立. 33.（25-26高一下·安徽·阶段练习）若对定义在上的函数，存在.使得恒成立，则的图象关于点对称，已知函数，且. （1）证明：函数的图象是中心对称图形； （2）求的值； （3）当时，求在上的最小值. 34.（25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $