1.5 全称量词与存在量词 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词、存在量词的概念及符号表示，构建从命题判断到否定改写再到含参数问题的递进式学习支架，帮助学生逐步掌握逻辑量词的应用脉络。 资料通过题型分类（判断、否定、参数）与方法提炼表，助力学生用数学语言精确表述命题，培养逻辑推理思维。课中辅助教师分层教学，课后例题与方法结合，帮助学生查漏补缺，提升解决含参问题的能力。

§1.5 全称量词与存在量词 目录 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 2 题型2：含量词命题的否定 4 题型3：含有量词的命题求参数问题 5 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对中任意一个，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x). 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在中的元素，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x). 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”.通常，用符号“p(x)”表示“p(x)不成立”. (1) 全称量词命题：∀x∈M，p(x)；它的否定：∃x∈M，p(x). (2) 存在量词命题：∃x∈M，p(x)；它的否定：. 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 方法提炼 (1) 全称量词命题与存在量词命题的不同表述形式： 命题 全称量词命题：∀x∈M，p(x). 存在量词命题：∃x∈M，p(x). 表述形式 (1)对所有的x∈M，p(x)成立. (1)存在x∈M，使p(x)成立. (2)对一切的x∈M，p(x)成立. (2)至少有一个x∈M，使p(x)成立. (3)对每一个x∈M，p(x)成立. (3)对有些x∈M，p(x)成立. (4)任选一个x∈M，p(x)成立. (4)对某个x∈M，p(x)成立. (5)只要x∈M，都有p(x)成立. (5)有一个x∈M，使p(x)成立. (2) 判断真假：全称命题为真需逐一验证（或证明），为假只需举反例；存在命题为真只需举例，为假需逐一否定（或证明不存在）;当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例1.1.】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数； (2)无限不循环小数是实数； (3)有些三角形是中心对称图形． 【例1.2.】 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【例1.3.】 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【例1.4.】 下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【例1.5.】 （多选）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.6.】 (多选)下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．三角形的内角和是 D．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 【例1.7.】 （多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 题型2：含量词命题的否定 方法提炼 含量词命题的否定方法： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 常见词语的否定形式： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 【例2.1.】 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【例2.2.】 用符号语言表示命题：对于所有的实数，满足__________；该命题的否定是：________. 【例2.3.】 若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2.4.】 已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【例2.5.】 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 题型3：含有量词的命题求参数问题 方法提炼 (1) 若∀x∈M，p(x)为真，则p(x)对M中所有元素都成立，转化为恒成立问题，求p(x)在M上的最值. (2) 若∃x∈M，p(x)为真，则p(x)在M上有解，转化为能成立问题，求 p(x)在M上的值域. (3) 结合不等式恒成立与能成立的解题方法. 【例3.1.】 已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【例3.2.】 若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【例3.3.】 命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 【例3.4.】 若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3.5.】 若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【例3.6.】 若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【例3.7.】 设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【例3.8.】 已知集合，，且. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若：，是真命题，求实数的取值范围； (3)若：，是真命题，求实数的取值范围. 【例3.9.】 已知集合，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题：，是假命题，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §1.5 全称量词与存在量词 目录 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 2 题型2：含量词命题的否定 6 题型3：含有量词的命题求参数问题 9 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 全称量词命题“对中任意一个，p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x). 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在中的元素，p(x)成立”可用符号简记为：∃x∈M，p(x). 3. 全称量词命题和存在量词命题的否定 对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”.通常，用符号“p(x)”表示“p(x)不成立”. (1) 全称量词命题：∀x∈M，p(x)；它的否定：∃x∈M，p(x). (2) 存在量词命题：∃x∈M，p(x)；它的否定：. 题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断 方法提炼 (1) 全称量词命题与存在量词命题的不同表述形式： 命题 全称量词命题：∀x∈M，p(x). 存在量词命题：∃x∈M，p(x). 表述形式 (1)对所有的x∈M，p(x)成立. (1)存在x∈M，使p(x)成立. (2)对一切的x∈M，p(x)成立. (2)至少有一个x∈M，使p(x)成立. (3)对每一个x∈M，p(x)成立. (3)对有些x∈M，p(x)成立. (4)任选一个x∈M，p(x)成立. (4)对某个x∈M，p(x)成立. (5)只要x∈M，都有p(x)成立. (5)有一个x∈M，使p(x)成立. (2) 判断真假：全称命题为真需逐一验证（或证明），为假只需举反例；存在命题为真只需举例，为假需逐一否定（或证明不存在）;当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假，与真假相反． 【例1.1.】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数； (2)无限不循环小数是实数； (3)有些三角形是中心对称图形． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，假命题 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】（1）根据全称量词命题的定义，结合可以被5整除的整数的特点判断即可； （2）根据全称量词命题的定义，结合数的分类判断即可； （3）根据存在量词命题的定义，结合中心对称图形的特点判断即可. 【详解】（1）该命题是全称量词命题. 因为末位是0的整数可以被10整除，10是5的倍数，所以原命题是真命题. （2）该命题是全称量词命题. 因为无限不循环小数是无理数，无理数属于实数，所以原命题是真命题. （3）该命题是存在量词命题. 因为所有的三角形都不是中心对称图形，所以原命题是假命题. 【例1.2.】 已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 【详解】结合元素与集合间关系及特称量词与全称量词的关系逐项判断即可得. 对于A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可， 例如，满足且，故A正确； 对于B，，这是存在性命题，因集合是集合的真子集， 故不存在集合中的元素不属于集合，故B错误； 对于C，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都不属于集合， 而属于集合，也属于集合，故C错误； 对于D，，，这是全称量词命题，要求所有集合中的元素都属于集合， 而属于集合，但不属于集合，故D错误． 【例1.3.】 下列命题是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．存在实数，使 B．所有的素数都是奇数 C．平面内存在一条直线与两条相交直线都平行 D．每个四边形的内角和都是360° 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断命题是否为全称命题 【分析】先判断各命题的量词类型筛选出全称量词命题，再验证命题真假即可得解 【详解】选项A：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且对任意实数，均有，故，该命题为假命题，排除； 选项B：含全称量词“所有的”，为全称量词命题；但素数2是偶数，不是奇数，存在反例，故该命题为假命题，排除； 选项C：含存在量词“存在”，为存在量词命题，不符合要求；且平面内平行于同一直线的两条直线互相平行，不可能与两条相交直线同时平行，该命题为假命题，排除； 选项D：含全称量词“每个”，为全称量词命题；任意四边形均可分割为个不重叠的三角形，结合三角形内角和为，可得四边形内角和为，该命题为真命题，符合要求 【例1.4.】 下列命题中，是存在量词命题的是（    ） A．正方形的四条边相等 B．有三个角是的三角形是等边三角形 C．正数的平方根不等于0 D．至少有一个正整数是奇数 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题 【详解】A选项完整含义为“所有正方形的四条边相等”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； B选项完整含义为“所有有三个角是的三角形是等边三角形”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； C选项完整含义为“所有正数的平方根不等于0”，隐含全称量词“所有”，属于全称量词命题； D选项含有存在量词“至少有一个”，属于存在量词命题. 【例1.5.】 （多选）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假 【分析】根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 【例1.6.】 (多选)下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有一个无理数，它的立方是有理数 C．三角形的内角和是 D．存在一个实数，它的倒数是它的相反数 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】结合存在量词命题定义逐项判断可得A、B、D中命题为存在量词命题，再判断其真假即可得. 【详解】对A：该命题是存在量词命题，且有使得，故为真命题，故A正确； 对B：该命题是存在量词命题，存在无理数如，它的立方是有理数， 故该命题为真命题，故B正确； 对C：该命题是全称量词命题，故C错误； 对D：该命题是存在量词命题，但不存在实数，使得它的倒数是它的相反数， 故该命题为假命题，故D错误. 故选：AB. 【例1.7.】 （多选）已知命题，命题：所有能被4整除的数都是偶数，则（   ） A．是存在量词命题，是真命题 B．是存在量词命题，是假命题 C．是全称量词命题，是真命题 D．是全称量词命题，是假命题 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据存在量词和全称量词命题的定义即可求解. 【详解】，又，故当时，等式成立，故命题是存在量词命题，是真命题； 能被4整除的数均能被2整除，故所有能被4整除的数都是偶数，命题是全称量词命题，是真命题． 故选：AC 题型2：含量词命题的否定 方法提炼 含量词命题的否定方法： 第一步：改写量词：，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写. 第二步：否定结论：对原命题的结论进行否定. 常见词语的否定形式： 正面词语 是 都是 大于 小于 等于 至多有一个 否定词语 不是 不都是 不大于 不小于 不等于 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 任意的 所有的 一定 否定词语 一个也没有 某个 某个 某些 不一定 或． 【例2.1.】 下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】命题的否定与否命题的区别与判断、全称命题的否定及其真假判断 【分析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，保持条件不变、否定结论，据此判断选项即可. 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 【例2.2.】 用符号语言表示命题：对于所有的实数，满足__________；该命题的否定是：________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】用全称量词改写命题、全称命题的否定及其真假判断 【分析】全称命题的书写，其否定为全称变特称，将结论否定. 【详解】对于所有的实数，满足,写成全称命题的形式即为，否定为： 故答案为：①，② 【例2.3.】 若命题，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】由题意，命题，， 则，． 【例2.4.】 已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【详解】原命题为，， 因此其否定为，. 【例2.5.】 命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 【例2.6.】 判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【难度】0.94 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 题型3：含有量词的命题求参数问题 方法提炼 (1) 若∀x∈M，p(x)为真，则p(x)对M中所有元素都成立，转化为恒成立问题，求p(x)在M上的最值. (2) 若∃x∈M，p(x)为真，则p(x)在M上有解，转化为能成立问题，求 p(x)在M上的值域. (3) 结合不等式恒成立与能成立的解题方法. 【例3.1.】 已知集合，且“”是真命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意得，解出即可. 【详解】若“”是真命题，则的最小值大于0， 又且，可知，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【例3.2.】 若命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据存在性问题为真，可推得，利用函数单调性即可求出的取值范围. 【详解】，使得，等价于在上有解,即， 又因为在上单调递增，则可得. 【例3.3.】 命题“”为真命题，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】将问题转化为“” ，然后根据的取值范围可求结果. 【详解】因为“”为真命题，所以， 因为，所以，即，所以， 故答案为：. 【例3.4.】 若“”是假命题，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由假命题的否定为真命题，求解即可. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 解得， 所以实数a的取值范围是. 【例3.5.】 若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【例3.6.】 若命题，为假命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】由命题的否定为真命题，得到，，进而可求解. 【详解】由题意可知：，为真命题， 即，， 又当时，，当时取等号， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 【例3.7.】 设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【例3.8.】 已知集合，，且. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若：，是真命题，求实数的取值范围； (3)若：，是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）由题意转化为是的真子集，列出不等式组即可得解； （2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （3）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1），， 可得，解得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以真包含于， 故可得，二三不等式等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由于是真命题，所以． 而，所以，解得， 故的取值范围为． （3）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，． 故的取值范围为． 【例3.9.】 已知集合，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题：，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数、含有一个量词的命题的否定的应用 【分析】（1）根据必要条件与集合间的包含关系的等价联系，即可解出； （2）根据题意可知，根据求解即可. 【详解】（1）因为是的必要条件，所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的取值范围为. （2）因为命题：，是假命题， 所以：，是真命题，所以， 则，所以，解得， 即的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $