16.3　完全平方公式 分层练习 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学新授课作业，聚焦完全平方公式，通过A（4题）、B（6题）、C（8题）三层设计，实现从基础应用到综合拓展的知识巩固，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|完全平方公式直接应用|选择题考查公式结构，计算题巩固展开与化简，夯实基础| |B层|公式几何意义、变式应用与情境问题|图形验证公式（图1-2）、教材变式（201²）、青铜冰鉴情境题，深化理解| |C层|公式变形、换元法与综合应用|换元法（x-2023）、多解法、核心素养运算能力题，提升推理与创新意识|

16.3.2　完全平方公式（第2课时：添括号法则）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 3 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：添括号法则）应用完全平方公式计算(m-2n+p)²时，下列变形错误的是（　　　　） A. [(m-2n)+p]²　　　　B. [m-(2n-p)]² C. [(m+p)-2n]²　　　　D. [m-(2n+p)]² 2. [选择题]（知识点：添括号法则）(2026广东湛江月考)下列添括号正确的是（　　　　） A. b+c=-(b+c)　　　　B. -2x+4y=-2(x-4y) C. a-b=+(a-b)　　　　D. 2x-y-1=2x-(y-1) 3. [填空题]（知识点：添括号法则）在括号内填上适当的项。(1)a-2b+c+d=a-(__________)；(2)-a-3b+c=-(__________)；(3)x²-2y²+2x-3y=(__________)+2x-3y；(4)x²-y²-x-y=x²-x-(__________)。 二、B层·理解运用（课件中共 3 道题归入本层） 1. [计算题]（知识点：添括号法则）【学科特色·教材变式】计算：(1)(a+b-1)²；(2)(x-2y-1)²；(3)(a²-a+1)(a²+a+1)；(4)(3m+2n-p)(3m-2n+p)。 解： 2. [计算题]（知识点：添括号法则）(2026广东广州期中)先化简，再求值：(x+y+2)(x+y-2)-(x+2y)²+3y²，其中x=-1，y=3。 解： 3. [选择题]（知识点：添括号法则）(2026山东德州月考,★★☆)若(a+b+c)²=4028，(a-b+c)²=24，则a²+b²+c²+2ac的值为（　　　　） A. 2024　　　　B. 2025 C. 2026　　　　D. 4050 三、C层·拓展挑战（课件中共 3 道题归入本层） 1. [解答题]（知识点：添括号法则）(2025河北廊坊月考,★★☆)当x=-1时，ax+b+1的值为-3，求(a-b-1)(1-a+b)的值。 解： 2. [解答题]（知识点：添括号法则）(★★☆)若m≠0，Q=(m²-m+1)(m²+m+1)，P=(m+1)²(m-1)²，猜想Q与P的大小关系，并证明你的猜想。 解： 3. [解答题]（知识点：添括号法则）(2026浙江宁波月考,★★☆)已知A=3x+2y-9，B=3x-2y-9，求当A·B+4y²的值最小时x的值。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：D 解析：D选项[m-(2n+p)]²中，m-2n-p≠m-2n+p，变形错误。故选D。 2. 答案：C 解析：A.b+c=+(b+c)，错；B.-2x+4y=-2(x-2y)，错；C.a-b=+(a-b)，对；D.2x-y-1=2x-(y+1)，错。故选C。 3. 答案：(1)2b-c-d；(2)a+3b-c；(3)x²-2y²；(4)y²+y 解析：(1)2b-c-d；(2)a+3b-c；(3)x²-2y²；(4)y²+y。 二、B层·理解运用 1. 答案：(1)a²+2ab+b²-2a-2b+1；(2)x²-4xy+4y²-2x+4y+1；(3)a⁴+a²+1；(4)9m²-4n²+4np-p² 解析：(1)(a+b-1)²=(a+b)²-2(a+b)+1=a²+2ab+b²-2a-2b+1。(2)(x-2y-1)²=(x-2y)²-2(x-2y)+1=x²-4xy+4y²-2x+4y+1。(3)原式=[(a²+1)-a][(a²+1)+a]=(a²+1)²-a²=a⁴+a²+1。(4)原式=[3m+(2n-p)][3m-(2n-p)]=9m²-(2n-p)²=9m²-4n²+4np-p²。 2. 答案：-2xy-4；值为2 解析：原式=(x+y)²-4-(x²+4xy+4y²)+3y²=x²+2xy+y²-4-x²-4xy-4y²+3y²=-2xy-4，当x=-1，y=3时，原式=-2×(-1)×3-4=6-4=2。 3. 答案：C 解析：(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，(a-b+c)²=a²+b²+c²-2ab+2ac-2bc，两式相加除以2得a²+b²+c²+2ac=(4028+24)/2=2026。故选C。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：-9 解析：当x=-1时，ax+b+1=-a+b+1=-3，-a+b=-4，a-b=4，(a-b-1)(1-a+b)=[(a-b)-1][1-(a-b)]=(4-1)(1-4)=-9。 2. 答案：Q＞P 解析：Q-P=(m²-m+1)(m²+m+1)-(m+1)²(m-1)²=(m²+1)²-m²-(m²-1)²=(m⁴+2m²+1-m²)-(m⁴-2m²+1)=4m²-m²=3m²，∵m≠0，3m²＞0，Q＞P。 3. 答案：x=3 解析：A·B+4y²=(3x+2y-9)(3x-2y-9)+4y²=[(3x-9)+2y][(3x-9)-2y]+4y²=(3x-9)²-4y²+4y²=(3x-9)²≥0，最小值为0，此时3x-9=0，x=3。 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2　完全平方公式（第1课时）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：完全平方公式）(2026湖南长沙月考)计算(x+2y)²=（　　　　） A. x²+4xy+4y²　　　　B. x²+2xy+4y² C. x²+4xy+2y²　　　　D. x²+4y² 2. [选择题]（知识点：完全平方公式）(2026内蒙古赤峰期中)下列计算中，正确的是（　　　　） A. (-x-y)²=-x²-2xy-y² B. (m+3n)²=m²+9n² C. (-3x+y)²=3x²-6xy+y² D. (x/2+5)²=x²/4+5x+25 3. [计算题]（知识点：完全平方公式）(2026北京海淀期中改编)计算：(1)(a-2)(a+2)-(a-1)²；(2)(-3x+2y)²-(x-2y)(7x+2y)。 解： 4. [选择题]（知识点：完全平方公式）(2026湖北襄阳期中)已知a+b=5，ab=4，则(a-b)²=（　　　　） A. 17　　　　B. 23 C. 25　　　　D. 9 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：完全平方公式）(2026山西临汾期中改编)将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以得到关于a，b的等式为__________________。 2. [计算题]（知识点：完全平方公式）【学科特色·教材变式】运用完全平方公式计算：(1)201²；(2)99.8²。 解： 3. [计算题]（知识点：完全平方公式）(2026湖南长沙期中)先化简，再求值：(a+3b)²+(a+3b)(a-3b)，其中a=1/2，b=-1/3。 解： 4. [解答题]（知识点：完全平方公式）【情境·中华优秀传统文化】(2026北京房山期中)如图1所示的是由方尊缶(中间小正方形，冷藏食物)和方鉴(外围大正方形，放置冰块)组成的套器青铜冰鉴。其示意图如图2，设方鉴的边长为2a+b，方尊缶的边长为2a-b，阴影部分面积记为S。(1)用含a，b的代数式表示S；(2)若ab=6.5，求S的值。 解： 5. [选择题]（知识点：完全平方公式）(2026福建泉州期中,★★☆)小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“=4x²□+25y²”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（　　　　） A. +10xy　　　　B. +10xy或-10xy C. +20xy　　　　D. +20xy或-20xy 6. [选择题]（知识点：完全平方公式）(2026天津和平期末,★★☆)如图所示的是由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成的一个大正方形图案。分别用a，b(a＞b)表示小长方形的长和宽，已知a+b=9，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式错误的是（　　　　） A. (a-b)²=9　　　　B. (a+b)(a-b)=27 C. a²+b²=81　　　　D. 4ab+9=81 三、C层·拓展挑战（课件中共 8 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：完全平方公式）【学科特色·多解法】(★★☆)给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题。在等式(x+3)²=ax²+bx+c中，当x=0时，可得c=9。再给x赋不同的值，求4a+2b的值。 2. [填空题]（知识点：完全平方公式）【学科特色·换元法】(2025广东佛山月考,★★☆)已知(x-2025)²+(x-2021)²=34，则(x-2023)²的值是__________。 3. [填空题]（知识点：完全平方公式）(2026江苏苏州期中,★★☆)如图，两个正方形的边长分别为a，b。已知a+b=8，阴影部分的面积为14，则ab的值为__________。 4. [解答题]（知识点：完全平方公式）【核心素养·运算能力】(1)从图1~3中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a，b的等量关系是________；(2)尝试解决：①若m+n=3，m²+n²=8，则mn=________；②若a-3b=3，ab=2，则(a+3b)²=________；③若(7-x)(8-x)=6，求(7-x)²+(8-x)²的值；(3)填数游戏：如图4，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于17，将每边四个数字的平方和分别记为A，B，C，已知A+B+C=299。若将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x，y，x+y，求xy的值。 解： 5. [填空题]（知识点：完全平方公式）微专题：利用完全平方公式及其变形求式子的值。1.(2026山东东营期末)已知(x-y)²=25，xy=14，则x²+y²的值为__________。 6. [填空题]（知识点：完全平方公式）2.(2025四川乐山中考)已知a-b=3，ab=10，则a²+b²=__________。 7. [填空题]（知识点：完全平方公式）3.(2026北京海淀期中)已知x+y=5，x²+y²=13，则(x-y)²=__________。 8. [填空题]（知识点：完全平方公式）4.已知(x+y)²=10，(x-y)²=2，则x²-xy+y²的值为__________。 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：A 解析：(x+2y)²=x²+4xy+4y²。故选A。 2. 答案：D 解析：A.(-x-y)²=x²+2xy+y²；B.(m+3n)²=m²+6mn+9n²；C.(-3x+y)²=9x²-6xy+y²；D.(x/2+5)²=x²/4+5x+25。故选D。 3. 答案：(1)2a-5；(2)2x²+8y² 解析：(1)原式=a²-4-(a²-2a+1)=2a-5。(2)原式=9x²-12xy+4y²-(7x²-12xy-4y²)=9x²-12xy+4y²-7x²+12xy+4y²=2x²+8y²。 4. 答案：D 解析：(a+b)²=a²+2ab+b²=25，ab=4，a²+b²=17，(a-b)²=a²+b²-2ab=17-8=9。故选D。 二、B层·理解运用 1. 答案：(a-b)²=a²-2ab+b² 解析：图1阴影面积=(a-b)²，图2阴影面积=a²-2ab+b²，故(a-b)²=a²-2ab+b²。 2. 答案：(1)40401；(2)9960.04 解析：(1)201²=(200+1)²=40000+400+1=40401。(2)99.8²=(100-0.2)²=10000-40+0.04=9960.04。 3. 答案：2a²+6ab；值为-1/2 解析：原式=a²+6ab+9b²+a²-9b²=2a²+6ab。当a=1/2，b=-1/3时，原式=2×(1/4)+6×(1/2)×(-1/3)=1/2-1=-1/2。 4. 答案：(1)S=8ab；(2)52 解析：(1)S=(2a+b)²-(2a-b)²=4a²+4ab+b²-(4a²-4ab+b²)=8ab。(2)当ab=6.5时，S=8×6.5=52。 5. 答案：D 解析：4x²=(2x)²，25y²=(5y)²，(2x±5y)²=4x²±20xy+25y²，故墨迹覆盖的是±20xy。故选D。 6. 答案：C 解析：(a+b)²=81，(a-b)²=9，a²+2ab+b²=81①，a²-2ab+b²=9②，①+②得2(a²+b²)=90，a²+b²=45，故C错误；4ab=72，4ab+9=81，D正确。故选C。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：16 解析：当x=2时，(2+3)²=4a+2b+c，即4a+2b+9=25，4a+2b=16。 2. 答案：13 解析：设x-2023=t，则x-2025=t-2，x-2021=t+2，(t-2)²+(t+2)²=34，2t²+8=34，t²=13，(x-2023)²=13。 3. 答案：12 解析：S阴影=a²+b²-(1/2)a²-(1/2)b(a+b)=(1/2)a²+(1/2)b²-(1/2)ab=14，a²+b²-ab=28，a+b=8，(a+b)²=a²+b²+2ab=64，a²+b²=64-2ab，64-2ab-ab=28，ab=12。 4. 答案：(2)①1/2；②33；③13；(3)xy=2 解析：(1)(a+b)²=a²+2ab+b²等。(2)①8+2mn=9，mn=1/2；②(a+3b)²=(a-3b)²+12ab=9+24=33；③[(7-x)-(8-x)]²=1，(7-x)²+(8-x)²=1+2(7-x)(8-x)=1+12=13。(3)数字1~9和为45，17×3-45=6，x+y+(x+y)=6，x+y=3，xy=2。 5. 答案：53 解析：(x-y)²=25，x²-2xy+y²=25，xy=14，x²+y²=25+2xy=25+28=53。 6. 答案：29 解析：a-b=3，(a-b)²=a²-2ab+b²=9，ab=10，a²+b²=(a-b)²+2ab=9+20=29。 7. 答案：1 解析：(x+y)²=x²+y²+2xy，25=13+2xy，xy=6，(x-y)²=x²+y²-2xy=13-12=1。 8. 答案：4 解析：x²+2xy+y²=10①，x²-2xy+y²=2②，①-②得4xy=8，xy=2，①+②得2x²+2y²=12，x²+y²=6，x²-xy+y²=6-2=4。 学科网（北京）股份有限公司 $