16.3.2完全平方公式 专项练习 2025--2026学年人教版八年级数学上册

完全平方公式专项运算题（一） 一、基础达标（共 12 题，每题 4 分，侧重公式直接套用与易错点） 1.直接展开下列式子（重点防漏项、符号错）： (1) (2) (3) （易错：负号处理，提示） (4) （易错：双重负号，提示） 2.判断正误并改正（突出典型易错点）： (1) （错，漏中间项-4x） (2) （错，中间项系数应为12ab） (3) （错，符号错，应为） 3.简单化简（公式与合并同类项结合）： (1) (2) （对比完全平方与平方差，防公式混淆） (3) （推导，为后续求值铺垫） (4) （逆用平方差简化：[(3x-2y)-(3x+2y)][(3x-2y)+(3x+2y)]） 二、能力提升（共 5 题，每题 6 分，侧重常考点：求值与多项式底数） 1.已知条件求值（常考题型，抓a+b、ab与关系）： (1) 若x+y=4，xy=3，求（用）； (2) 若，求（提示：先除以a得，再平方）。 2.多项式底数展开（常考复杂底数，分步骤套用）： (1) （提示：）； (2) (2a-b+3c)(2a-b-3c)（提示：凑完全平方形式）。 三、拓展创新（共 3 题，每题 8 分，占比约 20%，侧重灵活应用） 1.非负性应用：已知，求（提示：平方数非负，得方程组，先求m,n）。 2.公式逆用与综合：若 kx + 25是完全平方式，求k的值（提示：或，故，得）。 3.实际背景拓展：一个正方形边长为(a+2)，若边长增加3，则新正方形面积比原正方形大多少？（用完全平方表示：，化简求值）。 完全平方公式专项运算题（二） 1、 基础巩固（共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 1. 直接展开下列式子 (1) 易错点：分数底数平方易漏分子平方（如错写为），注意 (2) (-2m + 易错点：负号底数易符号错误，可先变形为(3n - 再展开 (3) (6 - 易错点：易漏中间项负号，注意(a - 中间项为-2ab（此处-2Ã�6Ã�y = -12y） (4) (-5a - 易错点：双重负号易混淆，牢记(-a - ，中间项为正 2. 判断正误并改正（聚焦典型易错类型） (1) (3a - 易错点：漏完全平方中间项，完全平方展开必为三项式 (2) (x + xy + 易错点：中间项系数错误，应为2xy（非xy） (3) (-a - 易错点：符号错误，(-a - ，中间项为+2ab (4) (2x + 易错点：尾项平方错误，（非） 3. 化简下列式子 (1) (3y + 易错点：直接展开计算量大，易漏项，建议逆用平方差公式简化 (2) (a - 1)(a + 1) - (a - 易错点：混淆平方差与完全平方公式，注意(a - 1)(a + 1)是平方差（两项），(a - 是完全平方（三项） (3) (2x + 易错点：未发现可逆用完全平方公式(A + ，直接展开易算错 (4) (m + 易错点：计算(m - n)(m + n)后易漏括号，导致符号错误（如错写为） 二、能力突破（共 6 题，每题 5 分，满分 30 分） 1. 已知条件求值 (1) 若m - n = 3，mn = 2，求的值； 易错点：记错变形公式，应为（非减2mn） (2) 若，求x + 和的值； 易错点：未想到等式两边除以x（xâ� 0）求x + ，或计算时漏减2 (3) 已知(a + ，(a - ，求和ab的值； 易错点：直接展开解方程繁琐，易算错，建议用 “两式相加求、两式相减求ab” 2. 多项式底数展开 (1) (2a + b - 易错点：三项式展开易漏项，需先将两项看成整体（如(2a + b)），再分步展开 (2) (3x - y + 2)(3x - y - 2)易错点：未凑平方差形式（(M + N)(M - N)），直接展开计算量大 (3) 已知(2x - ，求x的值；易错点：开方时漏负根，只算2x - 1 = 3，忽略2x - 1 = -3 三、拓展深化（共 7 题，每题 6 分，满分 42 分） 1.非负性与配方结合：已知，求x + y的值； 易错点：拆项配方时常数项计算错误（如应配(x - ） 2.完全平方式参数求解：若 kx + 9是完全平方式，求k的所有可能值； 易错点：漏k的负数值，只算k = 12，忽略k = -12 3.实际应用：一个正方形草坪的边长为(2x + 5)米，边长增加3米，求面积增加量； 易错点：新边长错算为2x + 5 + 3 = 2x + 8（正确），但展开时易漏项 4.公式逆用进阶：若，求a和b的值； 易错点：分组配方错误，无法将式子拆为(a + 5.规律探究：写出第n个等式并证明(1 + Ã�1 + 4等规律； 易错点：等式归纳错误（如错写为(n + ），或证明时展开步骤漏项 6.综合计算：已知A = (x + ，B = (x + 2)(x - 2) - x(x - 4)，求x = 时A - B的值； 易错点：化简A、B时符号错误，或代入x = 计算粗心 7.分类讨论：已知(x - ，求x的值； 参考答案（一） 一、基础达标 核心思路：套用完全平方公式 、，注意：若底数含负号，可先转化为正号形式如），避免符号错误。 (1) 分析：首项a=2x，尾项b=3，套用公式 计算： 答案： (2) 分析：首项a=5y，尾项b=1，套用公式（中间项为负） 计算： 答案： (3) 分析：底数含负号，先变形为2b - （平方结果与顺序无关），再套用公式（此时a=2b，b=a） 计算： 答案： (4) (-3m - 分析：底数可提取负号为-(3m + n，平方后负号抵消，即3m + ，套用公式 计算： 答案： 2.核心思路：关键检查 “是否漏中间项”“中间项系数是否为2ab”“符号是否正确”，完全平方公式展开后一定是三项式。 (1) (x - 判断：错误 分析：漏了完全平方的中间项，公式中a - ，此处少了 改正：x - 答案：改正后为 (2) (2a + 判断：错误 分析：中间项系数错误，2ab应为，而非6ab 改正：2a + 答案：改正后为 (3) (-m - 判断：错误 分析：符号错误，-m - （负号平方抵消），中间项应为正的2mn，而非负的-2mn 改正：-m - 答案：改正后为 3.核心思路：先展开完全平方（或平方差），再合并同类项，注意区分 “完全平方公式（三项）” 与 “平方差公式（两项）”，避免公式混淆。 (1) (x + 分析：先展开x + ，再减，合并同类项 计算：（与抵消） 答案：6x + 9 (2) (2y - 分析：前半部分用完全平方公式，后半部分用平方差公式，再相减 计算： ① 展开完全平方：2y - ② 展开平方差：2y + 1)(2y - 1) = ③ 相减： 答案：-4y + 2 (3) (a + 分析：分别展开两个完全平方，再合并同类项 计算：① (a + ② (a - ③ 相加：（2ab与-2ab抵消） 答案： (4) (3x - 分析：可先展开再相减，也可逆用平方差公式简化计算（更高效） 计算（逆用平方差）：设A = 3x - 2y，B = 3x + 2y，则： 原式=(A - B)(A + B) = [(3x - 2y) - (3x + 2y)][(3x - 2y) + (3x + 2y)] ① 计算括号内：(3x - 2y - 3x - 2y) = -4y；(3x - 2y + 3x + 2y) = 6x ② 相乘：-4y 答案：-24xy 二、能力提升 1.已知条件求值 核心思路：利用完全平方公式变形如、(a - ），将 “未知代数式” 转化为 “已知条件（如a + b、ab）” 的形式。 (1) 若x + y = 4，xy = 3，求的值 分析：无直接已知条件，但可通过x + 变形得到(x + ，移项得） 计算：代入x + y = 4，xy = 3： 答案：10 (2) 若，求的值 分析：已知等式是二次方程，无法直接求a，但可先变形为 “a + ” 的形式（等式两边除以a，注意a ，因a=0时左边为1 ），再用计算。 计算：① 等式变形：，两边除以a得：a - 6 + ，即a + ② 求目标代数式： 答案：34 核心思路：对于 “三项式底数” 或 “可凑完全平方的乘积”，先将部分项看成 “一个整体”，再套用完全平方公式（或平方差 + 完全平方），分两步展开。 (1) (x + y + 分析：将x + y看成一个整体（记为A），则原式变为A + ，先套用A + ，再展开A = (x + y)。 计算：① 整体展开：A + ② 代入A = x + y：x + ③ 再展开x + ： ④ 整理： 答案： (2) (2a - b + 3c)(2a - b - 3c) 分析：观察到 “2a - b” 是相同项，“+3c” 和 “-3c” 是相反项，符合平方差公式M + N)(M - N) = （设M = 2a - b，N = 3c），先算平方差，再展开。 计算：① 平方差展开： ② 展开2a - ： ③ 计算，合并： 答案： 三、拓展创新 1.已知m + n - ，求的值 核心思路：利用 “平方数的非负性”—— 任意实数的平方≥0，两个非负数相加为 0，只能 “每个非负数都为 0”，从而列方程组求解m、n，再计算目标代数式。 分析：① 非负性推导：m + n - ≥0，m - n + ≥ 0，且和为 0，故： （即） ② 解方程组：将两式相加消去n，得2m = 6，即m = 3；代入m + n = 8，得n = 5 ③ 计算：可先算mn = 3A�5 = 15，再平方，简化计算），即 答案：225 2. 若 kx + 25是完全平方式，求k的值 核心思路：完全平方式有两种形式：a + 和a - ，因此 “中间项系数” 有两个可能值（正、负），需分情况讨论。 分析：① 确定a和b： kx + 25中，首项，尾项或b = -5（但平方后结果相同，故重点看中间项） ② 中间项为kx = ±2ab（因完全平方有 “+2ab” 和 “-2ab” 两种情况） 计算：当中间项为正：kx = 10x 当中间项为负：kx = -10x ，综上，k = A±10 答案：k = 10或k = -10（或写k = ±10） 3. 一个正方形边长为a + 2，若边长增加3，则新正方形面积比原正方形大多少？ 核心思路：“面积差”= 新正方形面积 - 原正方形面积，先分别用完全平方公式表示两个面积，再相减化简注意：边长增加 3 后，新边长为(a + 2) + 3 = a + 5）。 分析：① 原正方形面积：边长a + 2，面积 ② 新正方形边长：(a + 2) + 3 = a + 5，面积 ③ 面积差：，可展开后相减，或逆用平方差公式简化。 计算（逆用平方差，更简便）： ① 计算括号内：(a + 5 - a - 2) = 3；(a + 5 + a + 2) = 2a + 7 ② 相乘：3A�(2a + 7) = 6a + 21 计算：① 新边长：原边长a + 2，增加 3 后为(a + 2) + 3 = a + 5 ② 面积差：a + 展开法： 平方差法验证：[(a + 5) - (a + 2)][(a + 5) + (a + 2)] = 3×�(2a + 7) = 6a + 21 答案：6a + 21 参考答案（二） 一、基础巩固 1. 直接展开式子 核心思路：套用完全平方公式，注意 “分数底数平方需分子分母同平方”“负号底数可先转化为正号形式（如）”。 (1) 分析：，b=4，套用，分数平方需注意。 计算：××4 + 答案： (2) (-2m + 分析：变形为(3n - （平方与顺序无关），a=3n，b=2m，套用。 计算：×3n×2m + 答案：（或） (3) (6 - 分析：变形为(y - 或直接套用（a=6，b=y），结果一致。 计算：×6×y + 答案：（或36 - 12y + ） (4) (-5a - 分析：提取负号为-(5a + b)，平方后负号抵消，即(5a + ，套用。 计算：×5a×b + 答案： 2. 判断正误并改正 核心思路：完全平方展开必为 “三项式”，重点检查 “中间项系数是否为2ab”“尾项平方是否正确”“符号是否匹配”。 (1) (3a - 判断：错误 分析：漏中间项，，少了-2×3a×2=-12a，且尾项平方应为，但整体漏项。 改正：(3a - ×3a×2 + 答案：改正后为 (2) (x + xy + 判断：错误 分析：中间项系数错误，2ab=2×x×y=2xy，而非xy。 改正：(x + 答案：改正后为 (3) (-a - 判断：错误 分析：(-a - （负号平方抵消），中间项应为正的2ab，而非负的-2ab。 改正：(-a - 答案：改正后为 (4) (2x + 判断：错误 分析：尾项平方错误，，而非。 改正：(2x + ×2x×3y + 答案：改正后为 3. 化简式子 核心思路：先展开完全平方 / 平方差，再合并同类项；第 (3) 题可逆用简化。 (1) (3y + 分析：展开后抵消二次项，或逆用平方差（A=3y+2，B=3y-2）。 计算（逆用平方差）：(3y+2-3y+2)(3y+2+3y-2)=4×6y=24y 答案：24y (2) (a - 1)(a + 1) - (a - 分析：前半部分用平方差，后半部分用完全平方，再相减。 计算： 答案：4a - 5 (3) (2x + 分析：逆用，其中A=2x+3，B=x-3，简化计算。 计算：[(2x + 3) + (x - 答案： (4) (m + 分析：前半部分用完全平方，后半部分用平方差，再相减。 计算： 答案：4mn + 二、能力突破 1. 已知条件求值 核心思路：利用完全平方变形公式：Ââ��2ab，将未知代数式转化为已知条件。 (1) 若m - n = 3，mn = 2，求 分析：用（因，移项得）。 计算：×2 = 9 + 4 = 13 答案：13 (2) 若，求x + 和 分析：先求x + ：等式两边除以x（xâ� 0，因x=0时左边 = 1≠0），得x + 3 + ；再用求后者。 计算：① x + ： ② ： 答案：x + ； (3) 已知(a + ，(a - ，求和ab 分析：用 “两式相加求”“两式相减求ab”：；。 计算：① ： ② ab： 答案：；ab=1 2. 多项式底数展开与求解 核心思路：三项式底数先凑 “整体”，含平方的方程先开方再求解（注意开方有正负）。 (1) (2a + b - 分析：将(2a + b)看成整体A，则原式 =(A - ，先展开再代入A。 计算：(2a + 答案： (2) (3x - y + 2)(3x - y - 2) 分析：凑平方差(M + N)(M - ，其中M=3x - y，N=2，再展开。 计算：(3x - 答案： (3) 已知(2x - ，求x 分析：平方等于 9 的数有3和-3，故分两种情况解方程。 计算：① 2x - 1 = 3 ② 2x - 1 = -3 答案：x=2或x=-1 三、拓展深化 1. 非负性与配方结合 核心思路：将原式拆项配方，转化为 “两个完全平方和为 0”，利用平方非负性（各平方项均为 0）列方程。 已知，求x + y 分析：拆项配方：，，代入原式凑完全平方。 计算：① 配方：(x - ② 非负性：x - 2 = 0 ；y + 3 = 0 ③ 求x + y：2 + (-3) = -1 答案：-1 2. 完全平方式参数求解 核心思路：完全平方式有和，先确定A、B，再求中间项系数k。 若 kx + 9是完全平方式，求k 分析：，，故A=2x，B=3，中间项kx=±2AB=±2×2x×3=±12x。 计算：kx=±12x ±12 答案：k=12或k=-12（或k=±12） 3. 实际应用（正方形面积差） 核心思路：面积差 = 新面积 - 原面积，先求新边长（原边长 + 3），再用完全平方表示面积并化简。 正方形边长(2x + 5)，边长增加 3，求面积增加量 分析：新边长 =(2x + 5) + 3 = 2x + 8，新面积 =(2x + ，原面积 =(2x + ，作差化简。 计算：① 面积差：(2x + ② 逆用平方差：(2x+8-2x-5)(2x+8+2x+5)=3×(4x + 13)=12x + 39 答案：12x + 39（单位：平方米） 4. 公式逆用进阶（配方求参数） 核心思路：拆项分组，将式子转化为 “完全平方 + 常数”，利用非负性求参数。 若，求a、b 分析：分组配方：，剩余，凑两个完全平方和。 计算：① 分组配方：(a + ② 非负性：a + b = 0，b - 2 = 0 ③ 求a：a + 2 = 0 答案：a=-2，b=2 5. 规律探究（完全平方等式） 核心思路：观察等式左边 “(n + ”，右边 “”，证明时展开左边或右边验证相等。 第n个等式及证明 分析：等式规律：左边(n + ，右边（或×n + 4，贴合已知格式）。 证明：左边展开：(n + ，与右边相等，故等式成立。 答案：第n个等式为(n + ；证明见上述分析。 6. 综合计算（求代数式值） 核心思路：先分别化简A、B，再代入求A - B。 已知，B=(x+2)(x-2)-x(x-4)，求时A - B 计算：① 化简A：逆用平方差(x+3-x+3)(x+3+x-3)=6×2x=12x ② 化简B： ③ 求A - B：12x - (4x - 4)=8x + 4 ④ 代入：8× 答案：8 7. 分类讨论（解方程） 核心思路：平方相等的两个数，要么相等，要么互为相反数，分两种情况求解。 已知(x - ，求x 计算：① 情况 1：x - 1 = x + 3，化简得-1=3，无解； ② 情况 2：x - 1 = -(x + 3)，化简得x - 1 = -x - 3 答案：x=-1 参考答案（简版） 一、1. ； 2. (1) 改正： 改正： 改正：； 3. (1)6x+9 (2)-4y+2 ； 二、1. (1)10 (2)34； 2. ； 三、1. 144（m=3,n=5） 2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $