课时作业(7) 等比数列的概念与通项公式（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(七) [基础达标练] 1．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为(　　 ) A．·2n　　　　　　 B．·2n－2 C．3·2n－2 D．3·2n－1 解析：选C　∵q3＝＝＝8， ∴q＝2，而a1＝＝， ∴an＝×2n－1＝3·2n－2． 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A．4 B．8 C．6 D．32 解析：选C　设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6． 3．2＋和2－的等比中项是(　　 ) A．1 B．－1 C．±1 D．2 解析：选C　设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1， ∴G＝±1． 4．(多选)下面四个选项中，正确的有(　　 ) A．由第1项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列 B．常数列b，…，b一定为等比数列 C．等比数列{an}中，若公比q＝1，则此数列各项相等 D．等比数列中，各项与公比都不能为零 解析：选CD　A错误，当乘以的常数为零时，不是等比数列；B错误，b＝0时不是等比数列；C，D正确，故选C、D． 5．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________． 解析：∵＝q2，∴q2＝＝4，即q＝±2． 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n； 当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n． 答案：(－2)n或－2n 6．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________． 解析：设等差数列的公差为d，则a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝＝＝1． 答案：1 7．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0(n∈N*)． (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)由题意，得a2＝，a3＝． (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)． 因为{an}的各项都为正数， 所以an＋1≠0，所以＝． 故{an}是首项为1，公比为的等比数列， 因此an＝(n∈N*)． 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)＝2an＋1－2an． ∴an＋1＝2an，又∵S1＝2a1＋1＝a1， ∴a1＝－1≠0． 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴＝2，∴{an}是等比数列， ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1． [能力提升练] 9．若2a，b，2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　 ) A．0 B．1 C．2 D．0或2 解析：选B　由题意，得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切． 10．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝(　　 ) A．2·3n－1＋1 B．3n－1－1 C．2·3n－1－1 D．2·3n＋1 解析：选C　等式两边同时加1，得an＋1＋1＝3(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝3为公比的等比数列，所以an＋1＝2×3n－1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1． 11．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 解析：依题意设原来的三个数依次为，a，aq． ∵·a·aq＝512∴a＝8． 又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝， ∴原来的三个数为4，8，16或16，8，4． ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28． 答案：28 12．在正项等比数列{an}中，若3a1，a3，2a2成等差数列，则公比q＝________，＝________． 解析：设正项等比数列{an}的公比q>0， ∵3a1，a3，2a2成等差数列， ∴2×a3＝3a1＋2a2，即a1q2＝3a1＋2a1q， ∴q2－2q－3＝0，q>0，解得q＝3． 则原式＝＝＝． 答案：3　 13．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项，若b2＝5，求bn． 解：∵{an}是等差数列， ∴a5＝a1＋4d，a8＝a1＋7d，a13＝a1＋12d， 又a5，a8，a13是等比数列{bn}中相邻的三项， ∴a＝a5a13，即(a1＋7d)2＝(a1＋4d)·(a1＋12d)， 解得d＝2a1． 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，则q＝＝＝，又b2＝b1q＝5，即b1＝5，解得b1＝3， ∴bn＝3·． [素养拓展练] 14．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N*)． (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解：(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9． (2)证明：∵an＋1＝3an－4n＋2， ∴an＋1－2n－2＝3an－6n， 即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)． 由(1)知a1－2＝－2＝，∴an－2n≠0，n∈N*． ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$