复数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以复数核心概念为起点，通过十大题型系统覆盖从概念辨析到运算应用的全链条，依托各地模拟题实现基础巩固与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的概念|5题（安徽多地模拟）|实部虚部辨析、纯虚数分类|从复数定义出发，构建数系扩充认知基础| |求复数的模|5题（山东、上海等）|直接计算与方程结合求模|概念到量化表征，体现数学抽象能力| |复数的几何意义|4题（湖南、云南等）|象限判断、对称问题、解三角形|代数形式与几何直观的转化，培养空间观念| |四则运算|各5-6题|加减乘除基础运算与综合应用|从简单运算到复杂变形，提升运算能力| |乘方与方程|4-5题|i的周期性、复数方程求解|运算规律延伸，体现逻辑推理| |共轭复数与求参|4-5题|共轭性质应用、参数范围确定|概念深化与代数推理结合，发展理性思维|

2027年全国高三数学专项训练 复数 【考点一】复数的概念（实部、虚部、分类） 【考点六】复数的乘方 【考点二】求复数的模 【考点七】复数范围内方程的根 【考点三】复数的几何意义 【考点八】复数的除法运算 【考点四】复数的加减运算 【考点九】共轭复数的概念及计算 【考点五】复数代数形式的乘法运算 【考点十】复数的求参问题 【培优专练】 【题型一】复数的概念（实部、虚部、分类） 1.（2026·安徽合肥·一模）复数z=2-3i的虚部为（ ） A. 3 B. -3 C. 3i D. -3i 2.（2025·安徽芜湖·二模）若复数z=(m²-1)+(m-1)i为纯虚数，则实数m=（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 0 3.（2026·安徽蚌埠·三模）复数z=的实部为 ________________。 4.（2025·安徽马鞍山·模拟）若复数z=a²-a-2+(a²-3a+2)i为实数，则实数a= ________________。 5.（2026·安徽淮南·一模）下列复数中，是纯虚数的是（ ） A. 1+i B. i² C. (1+i)² D. 1/i 【题型二】求复数的模 1.（2026·山东烟台·二模）已知复数z=，则|z|=（ ） A. B. 2 C. D. 5 2.（2025·上海徐汇·一模）设复数z=2+i（其中i为虚数单位），则|z|= ________________。 3.（2026·湖南湘潭·二模）|2-3i|= ________________。 4.（2026·上海杨浦·模拟预测）若复数z满足：z²=4+3i，则|z|= ________________。 5.（2025·广东广州·三模）若复数z满足z(1+i)=|1-i|，则z=（ ） A. B. 1 C. D. 2 【题型三】复数的几何意义 1.（2026·湖南邵阳·模拟预测）i是虚数单位，复数3-2i在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.（2026·云南曲靖·二模）在复平面内，复数z₁对应的点与复数z₂=1+2i对应的点关于直线y=x对称，则z₁=（ ） A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. 1-2i 3.（2025·广东·模拟预测）设m∈R，复平面内表示复数z=2m+(m-3)i的点在直线x+y=0上，则z=（ ） A. 2+2i B. 2-2i C. -2-2i D. -2+2i 4.（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点A、B、C对应的复数分别为z_A=0、z_B=6、z_C=4+3i，其中i是虚数单位。 (1)求cos∠ACB的值； (2)若复数z满足|z-z_A|=|z-z_B|=|z-z_C|，求z。 【题型四】复数的加减运算 1.（2025·广西河池·三模）若z₁=2+2i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|=（ ） A. B. C. 3 D. 2.（2025·云南大理·模拟预测）已知复数z满足z+2z̄=3+i，则z的虚部为（ ） A. -i B. i C. -1 D. 1 3.（2026·上海·模拟预测）若z+1+i=3i（i是虚数单位），则复数z的虚部是 ________________。 4.（2026·湖南株洲·模拟预测）设复数z₁=1-i，z₂=1+i（i是虚数单位），则z₁+z₂= ________________。 5.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知z₁+z₂=2+i，z₁-z₂=-2+i，则|3z₁+2z₂|= ________________。 【题型五】复数代数形式的乘法运算 1.（2026·青海西宁·模拟预测）(-8-7i)(-3i)=（ ） A. -21+24i B. -21-24i C. 21+24i D. 21-24i 2.（2026·河北·三模）若z=1+i（i为虚数单位），则z²-2z=（ ） A. 2i B. -2 C. i D. 1 3.（2026·海南三亚·一模）z=(1-i)(2+i)，z在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.（2026·天津河西·三模）已知i是虚数单位，则|(1+2i)(1-i)|= ________________。 5.（2026·浙江宁波·三模）复数z=(1+i)()，则|z|= ________________。 6.（2026·天津河北·一模）已知(a+bi)i=4-2i（a,b∈R），则a-b= ________________。 【题型六】复数的乘方 1.（2026·陕西·三模）已知复数z=(1+i)（i为虚数单位），则z²⁰²⁶=（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 2.（2026·山西忻州·模拟预测）已知复数z=(1-2i)²，则|z|=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3.（2026·陕西商洛·三模）若复数z=i²⁰²⁶-i，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.（2025·江苏苏州·模拟）i为虚数单位，i+i²+i³+…+i²⁰²⁶= ________________。 5.（2026·安徽安庆·二模）设复数z=，则z²+z³+z⁴= ________________。 【题型七】复数范围内方程的根 1.（2026·安徽阜阳·一模）方程x²+2x+2=0在复数范围内的根为（ ） A. -1±i B. 1±i C. -1±2i D. 1±2i 2.（2025·安徽铜陵·二模）若1+i是关于x的方程x²+px+q=0的一个根（p,q∈R），则p+q=（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 3.（2026·安徽宿州·三模）在复数范围内，方程x³=1的所有根为 ________________。 4.（2025·安徽淮北·模拟）若复数z满足z²+2z+5=0，则|z|= ________________。 【题型八】复数的除法运算 1.（2026·安徽黄山·一模）复数z=的共轭复数是（ ） A. 1+2i B. 1-2i C. 2+i D. 2-i 2.（2025·安徽六安·二模）设i为虚数单位，复数z=，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.（2026·安徽池州·三模）计算：= ________________。 4.（2025·安徽滁州·模拟）若复数z满足(1-i)z=2+i，则z的虚部为 ________________。 5.（2026·安徽宣城·一模）已知复数z=（a∈R）为纯虚数，则a=（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【题型九】共轭复数的概念及计算 1.（2026·安徽亳州·二模）复数z=1-2i的共轭复数z̄=（ ） A. 1+2i B. 1-2i C. -1+2i D. -1-2i 2.（2025·安徽合肥·三模）若复数z满足z+z̄=4，z·z̄=8，则z=（ ） A. 2±2i B. 2±i C. 1±2i D. 1±i 3.（2026·安徽芜湖·一模）已知复数z=，则z·z̄= ________________。 4.（2025·安徽蚌埠·二模）若复数z满足z(1+i)=|1-i|²，则z̄= ________________。 【题型十】复数的求参问题 1.（2026·安徽淮南·二模）若复数z=（a∈R）为实数，则a=（ ） A. B. 6 C. D. 2 2.（2025·安徽马鞍山·三模）已知复数z=(m²-4)+(m-2)i为纯虚数，则实数m= ________________。 3.（2026·安徽淮北·一模）若复数z=1+ai（a∈R）满足|z|≤2，则a的取值范围是 ________________。 4.（2025·安徽铜陵·模拟）若复数z=（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围是（ ） A. a<-1 B. -1<a<1 C. a>1 D. a>0 5.（2026·安徽安庆·三模）已知复数z₁=a+2i，z₂=3-4i（a∈R），若为纯虚数，则a= ________________。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年全国高三数学专项训练 复数参考答案与解析 【题型一】复数的概念（实部、虚部、分类） 1. 【答案】B 【解析】复数z=a+bi（a,b∈R）中，a为实部，b为虚部（注意虚部是实数b，不是bi）。z=2-3i中，虚部为-3，故选B。 2. 【答案】B 【解析】纯虚数满足实部为0且虚部不为0。由m²-1=0得m=±1，由m-1≠0得m≠1，故m=-1，选B。 3. 【答案】0 【解析】z=，分子分母同乘(1+i)，得z====i。故z=i，实部为0。 4. 【答案】1或2 【解析】复数为实数，则虚部为0，即a²-3a+2=0，解得(a-1)(a-2)=0，故a=1或a=2。 5. 【答案】C 【解析】纯虚数满足实部为0且虚部不为0。A：1+i实部为1；B：i²=-1是实数；C：(1+i)²=1+2i+i²=2i，实部为0虚部为2，是纯虚数；D：1/i=-i也是纯虚数。本题选C。 【题型二】求复数的模 1. 【答案】A 【解析】z====1-i，故|z|==，选A。 2. 【答案】 【解析】z=2+i，|z|==。 3. 【答案】 【解析】|2-3i|===。 4. 【答案】 【解析】由z²=4+3i，设z=a+bi，则z²=(a²-b²)+2abi=4+3i，故a²-b²=4，2ab=3。|z|²=a²+b²，(a²+b²)²=(a²-b²)²+(2ab)²=16+9=25，故a²+b²=5，|z|=。 5. 【答案】A 【解析】|1-i|==，故z(1+i)=，z=== - i，选A。 【题型三】复数的几何意义 1. 【答案】D 【解析】复数3-2i在复平面内对应点(3,-2)，横坐标为正，纵坐标为负，位于第四象限，选D。 2. 【答案】A 【解析】z₂=1+2i对应点(1,2)，关于直线y=x对称的点为(2,1)，对应复数z₁=2+i，选A。 3. 【答案】B 【解析】z=2m+(m-3)i对应点(2m, m-3)，在直线x+y=0上，故2m+(m-3)=0，3m=3，m=1。z=2×1+(1-3)i=2-2i，选B。 4. 【答案】(1) ；(2) z=3+i 【解析】(1) A(0,0)，B(6,0)，C(4,3)。向量CA=(-4,-3)，向量CB=(2,-3)。cos∠ACB====。(2) |z-z_A|=|z-z_B|=|z-z_C|表示z到A、B、C三点距离相等，即三角形ABC的外心。AB中点为(3,0)，AB中垂线为x=3。设外心为(3,y)，则9+y²=1+(y-3)²，解得y=。故z=3+i。 【题型四】复数的加减运算 1. 【答案】A 【解析】z₁+z₂=(2+2i)+(1-i)=3+i，|z₁+z₂|==，选A。 2. 【答案】D 【解析】设z=a+bi，则z̄=a-bi。z+2z̄=(a+bi)+2(a-bi)=3a-bi=3+i，故3a=3，-b=1，解得a=1，b=-1。z=1-i，虚部为-1，选D。 3. 【答案】2 【解析】由z+1+i=3i，得z=3i-1-i=-1+2i，虚部为2。 4. 【答案】2 【解析】z₁+z₂=(1-i)+(1+i)=2。 5. 【答案】5 【解析】由z₁+z₂=2+i，z₁-z₂=-2+i，两式相加得2z₁=2i，z₁=i，z₂=2。3z₁+2z₂=3i+4=4+3i，|4+3i|==5。 【题型五】复数代数形式的乘法运算 1. 【答案】A 【解析】(-8-7i)(-3i)=(-8)(-3i)+(-7i)(-3i)=24i+21i²=24i-21=-21+24i，选A。 2. 【答案】B 【解析】z=1+i，z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i，2z=2(1+i)=2+2i，z²-2z=2i-(2+2i)=-2，选B。 3. 【答案】D 【解析】z=(1-i)(2+i)=2+i-2i-i²=2-i+1=3-i，对应点(3,-1)，位于第四象限，选D。 4. 【答案】 【解析】|(1+2i)(1-i)|=|1+2i|×|1-i|=×=×=。 5. 【答案】 【解析】|1+i|=，||==1，故|z|=×1=。 6. 【答案】2 【解析】(a+bi)i=ai+bi²=-b+ai=4-2i，故-b=4，a=-2，解得a=-2，b=-4。a-b=-2-(-4)=2。 【题型六】复数的乘方 1. 【答案】C 【解析】z=(1+i)，z²=()²(1+i)²=×2i=i。z⁴=(z²)²=i²=-1。2026=4×506+2，故z²⁰²⁶=(z⁴)^506×z²=(-1)^506×i=i，选C。 2. 【答案】C 【解析】z=(1-2i)²=1-4i+4i²=1-4i-4=-3-4i，|z|===5，选C。 3. 【答案】C 【解析】i的幂次周期为4：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1。2026=4×506+2，故i²⁰²⁶=i²=-1。z=i²⁰²⁶-i=-1-i，对应点(-1,-1)，位于第三象限，选C。 4. 【答案】-1+i 【解析】i+i²+i³+i⁴=i-1-i+1=0，周期为4。2026=4×506+2，故前2024项和为0，剩余i²⁰²⁵+i²⁰²⁶=i¹+i²=i-1=-1+i。 5. 【答案】i 【解析】z=====-i。z²=(-i)²=-1，z³=(-i)³=i，z⁴=(-i)⁴=1。z²+z³+z⁴=-1+i+1=i。 【题型七】复数范围内方程的根 1. 【答案】A 【解析】x²+2x+2=0，判别式Δ=4-8=-4<0，x===-1±i，选A。 2. 【答案】B 【解析】实系数方程的虚根共轭成对，若1+i是根，则1-i也是根。由韦达定理，p=-[(1+i)+(1-i)]=-2，q=(1+i)(1-i)=1-i²=2。p+q=-2+2=0，选B。 3. 【答案】1，-±i 【解析】x³=1即x³-1=0，(x-1)(x²+x+1)=0。x=1或x²+x+1=0，x===-±i。故三根为1，-+i，--i。 4. 【答案】 【解析】设z=a+bi，z²+2z+5=(a²-b²+2a+5)+(2ab+2b)i=0，故a²-b²+2a+5=0，2b(a+1)=0。若b=0，则a²+2a+5=0无实根；故a=-1，代入得1-b²-2+5=0，b²=4，b=±2。z=-1±2i，|z|==。 【题型八】复数的除法运算 1. 【答案】B 【解析】z=====1+2i。共轭复数z̄=1-2i，选B。 2. 【答案】A 【解析】z=====1+i，对应点(1,1)，位于第一象限，选A。 3. 【答案】-1+i 【解析】======-1+i。 4. 【答案】 【解析】(1-i)z=2+i，z=====+i，虚部为。 5. 【答案】A 【解析】z====。z为纯虚数，实部为0且虚部不为0，故=0，a=-2；虚部==1≠0，符合。选A。 【题型九】共轭复数的概念及计算 1. 【答案】A 【解析】z=1-2i，共轭复数z̄=1+2i（实部不变，虚部取相反数），选A。 2. 【答案】A 【解析】设z=a+bi，则z̄=a-bi。z+z̄=2a=4，故a=2。z·z̄=a²+b²=8，故4+b²=8，b²=4，b=±2。z=2±2i，选A。 3. 【答案】2 【解析】z====i(1+i)=i+i²=-1+i。z·z̄=|z|²=(-1)²+1²=2。 4. 【答案】1+i 【解析】|1-i|²=()²=2，故z(1+i)=2，z====1-i。z̄=1+i。 【题型十】复数的求参问题 1. 【答案】A 【解析】z====。z为实数，虚部为0，故=0，a=。选A。 2. 【答案】-2 【解析】z=(m²-4)+(m-2)i为纯虚数，实部为0且虚部不为0。m²-4=0→m=±2，m-2≠0→m≠2，故m=-2。 3. 【答案】[-, ] 【解析】z=1+ai，|z|=≤2，故1+a²≤4，a²≤3，-≤a≤。 4. 【答案】C 【解析】z====。对应点(, )在第二象限，故<0且>0，解得a>1且a>-1，即a>1，选C。 5. 【答案】 【解析】====。为纯虚数，实部为0且虚部不为0，故=0，a=；虚部==≠0，符合。 学科网（北京）股份有限公司 $