第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦平面向量与复数核心考点，以跨情境模拟题构建从概念辨析到几何应用的递进训练，渗透数学抽象与几何直观素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|12题（含多选10、11，解答18、19）|覆盖线性运算、数量积、几何图形应用（三角形/梯形），结合动态问题（如19题动点D）|从向量概念→坐标运算→几何意义，构建“代数表达-几何直观”双向转化逻辑| |复数|5题（含解答16）|涉及虚部、共轭复数、复平面位置判断，综合运算与参数范围问题|从复数概念→四则运算→几何表示，形成“数-形”对应认知链条|

第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 2．（5分）（2026·北京·三模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2026·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 4．（5分）（2026·宁夏·模拟预测）下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（  ） A． B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的虚部为 D． 5．（5分）（2026·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 6．（5分）（2026·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 8．（5分）（2026·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数，则下列选项正确的有（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 10．（6分）（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在上的投影向量的坐标为 11．（6分）（2026·江西南昌·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·河南·模拟预测）已知向量，若，则__________. 13．（5分）（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则__________. 14．（5分）（2026·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则__________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为__________．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值. 16．（15分）（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 17．（15分）（2026·湖南邵阳·三模）已知在中，点在边上，，，，． (1)求的长； (2)若，求，的值． 18．（17分）（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 19．（17分）（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C； (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·湖北·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【解答过程】，由得，解得． 故选：A． 2．（5分）（2026·北京·三模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的除法及共轭复数的定义即可求解． 【解答过程】，则， 所以的虚部为． 故选：B． 3．（5分）（2026·云南临沧·模拟预测）关于非零向量， ，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不是共线向量 【答案】C 【解题思路】由向量的模长，共线，相等的性质逐项判断即可. 【解答过程】对于A，向量不能比较大小，故A错； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错； 对于C，若，由向量相等的条件可得，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错. 故选：C． 4．（5分）（2026·宁夏·模拟预测）下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（  ） A． B．在复平面内对应的点在第三象限 C．的虚部为 D． 【答案】B 【解题思路】根据复数除法、模、坐标、虚部、乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故B错误； 对于C，，其中虚部为的系数，故C正确； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 故选：B． 5．（5分）（2026·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算求解即可. 【解答过程】由题意， . 故选：D. 6．（5分）（2026·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【解答过程】， . . . . . . 故选：C. 7．（5分）（2026·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【解答过程】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 8．（5分）（2026·甘肃酒泉·模拟预测）已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算求的值即可. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，， 则， 设，由得，， 所以 所以，所以， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数，则下列选项正确的有（   ） A． B．的共轭复数为 C．为实数 D．在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解题思路】对 A ，先对复数 分母有理化化简得到标准形式，再利用复数模长公式计算模长；对 B ，根据共轭复数定义（实部不变、虚部变号），由化简后的直接写出其共轭复数，判断正误；对 C ，先代入化简后的，计算并化简，再与相加，判断结果是否为实数；对 D ，计算得到新复数，根据复数与复平面内点的一一对应关系，写出对应点坐标，判断所在象限. 【解答过程】由题意， 对于A：，故A正确； 对于B： 的共轭复数为，故B错误； 对于C：，为实数，故C正确； 对于D：，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：ACD. 10．（6分）（2026·河北秦皇岛·二模）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若向量与的夹角为锐角，则 D．若，则向量在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【解题思路】根据共线向量的坐标表示，可判定A错误；根据向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定B正确；根据向量的数量积的运算公式，可判断C错误；根据投影向量的求法，可判定D正确. 【解答过程】对于A：由向量，可得， 若，可得，解得，所以A错误； 对于B：由选项A知：，若，可得， 解得，所以B正确； 对于C：若向量与的夹角为锐角，则满足，且向量与不共线， 由，解得， 若与共线，可得，解得， 所以向量与的夹角为锐角，则且，所以C错误； 对于D：当时，可得，则， 则向量在上的投影向量的坐标，所以D正确. 故选：BD. 11．（6分）（2026·江西南昌·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【解题思路】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【解答过程】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·河南·模拟预测）已知向量，若，则__________. 【答案】或3 【解题思路】利用向量垂直的坐标表示，列式计算得解. 【解答过程】向量，由，得， 所以或. 故答案为：或3. 13．（5分）（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则__________. 【答案】 【解题思路】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解. 【解答过程】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 故答案为：. 14．（5分）（2026·天津·一模）如图，在平行四边形中，，点E为中点，，点F为边上的点．若点F满足，且，则__________；若点F为线段上的动点，则的取值范围为__________．    【答案】； 【解题思路】由题意得，从而；对于第二问，设，首先分解，然后由数量积的运算律转换成关于的二次函数在闭区间上的值域即可求解. 【解答过程】由题意 所以， 设， ， ， ， ， 设，对称轴是， 故单调递增， 从而当点F为线段上的动点时，的取值范围为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量垂直的坐标表示，正弦二倍角公式即可求解； （2）由向量平行的坐标表示及两角和的正切公式即可求解. 【解答过程】（1）由，可得：， 化简可得：， 即； （2）由，可得， 即，显然， 即， 所以. 16．（15分）（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【解答过程】（1）因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. （2）因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 17．（15分）（2026·湖南邵阳·三模）已知在中，点在边上，，，，． (1)求的长； (2)若，求，的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求出，进而利用余弦定理求解； （2）根据余弦定理求出，进而得出，从而利用基底得出，进而求出． 【解答过程】（1）在中，，点在边上，则， ， 在中，， ． （2）在中，由余弦定理得， 则，故， 又， ． 18．（17分）（2026·陕西汉中·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【解题思路】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【解答过程】（1）∵，， . ∴. 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. （2）∵，∴，即. ∵为锐角三角形，∴，则， ∴，得. 由正弦定理得， ∴，. 又，故. ∵为锐角三角形，∴，解得. 的周长， ∵， ∴. ∵，∴， ∴， ∴， ∴，即周长的取值范围为. 19．（17分）（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C； (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1） 应用已知化简得出，再结合正弦定理边角转化应用余弦定理得出结合角的范围求角； （2）（ⅰ）应用平面向量的数量积运算律结合两角和差公式及正弦值域求解；（ⅱ）设，应用数乘运算及模长化简，最后结合基本不等式得出最小值. 【解答过程】（1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为， 所以， 即， 由正弦定理得，      所以， 又，所以． （2）（ⅰ）设，则，， ，       所以，，       又，所以，则的取值范围为．    （ⅱ）设（），则， 因为（）， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，，        所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $