3.2.1函数的单调性教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性的概念及判断证明方法，通过观察函数图象引导学生从直观趋势到数量特征，再抽象为符号语言，衔接初中函数性质，构建从具体到抽象的学习支架。 以问题链驱动教学，通过反例（两点不能确定单调性）强调“任意”的严谨性，培养数学抽象与逻辑推理素养。例3通过代数推理证明单调性提升数学运算能力，分层作业兼顾差异，助力教师精准教学，帮助学生深化概念理解与核心素养发展。

《函数的单调性》教学设计 一、教材分析 函数的单调性是高中数学人教A版必修第一册第三章第二节第一课时的内容，本节课的主要内容是函数单调性的概念和用图象和定义判断函数的单调性，函数的单调性是函数的基本性质之一，它既是函数的概念的延伸，也是接下来要学习的基本初等函数的基础，起到承上启下的作用，同时，它在导数、极限以及它们的综合问题中受到十分广泛的应用。在这个过程中涉及到的数学思想有数形结合和特殊到一般，它们起着启示和示范的作用。 二、学情分析 1、学生在初中阶段已经学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数的基本性质和简单应用； 2、学生能够直观地观察函数上升和下降的趋势； 3、学生缺乏用数学语言抽象函数单调性概念的能力，逻辑思维能力不高，代数推理论证能力弱。 三、教学目标 1、理解函数单调性的概念，基本掌握判断和证明函数单调性的方法； 2、通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建函数单调性的概念的过程，领会数形结合的数学思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力，培养数学抽象这一核心素养； 3、在函数单调性的学习过程中，让学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 四、教学重难点 1、函数单调性概念的理解和应用； 2、函数单调性的判定及证明。 5、 教学过程 过程一：问题探究 问题二：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律？ 【师生活动】教师引导学生观察图象特征，说出函数变化趋势，从整体感知函数性质，把握本单元的研究内容。明确本节课的学习任务，了解本节课的地位。 问题三：结合的函数图象及列表数据，说说如何理解“在轴右侧，函数图象从左到右是上升的”？它的数量特征是什么？请尝试借助符号语言归纳具体数值的变化的共同点。 数量特征是在轴右侧，随的增大而增大。符号语言是。 问题四：在区间上的，当时，有，一定能保证函数在区间上随的增大而增大吗？ 引导：这是在平面直角坐标系上的两个点。不难发现，当时，有。但是函数在区间内的变化趋势并不能确定，可能是先上升后下降，可能先下降后上升。 【追问】在两个点的基础上推广到个点，仍不能确定函数在区间内的变化趋势。因此，只有在区间上所有的，当时，都有，才能保证函数在区间上随的增大而增大。 【总结归纳】函数图象在区间从左到右上升，可以得出函数在区间上随的增大而增大，进一步用符号语言表达，在区间上任意的，当时，都有。我们就说函数在单调递增。 【师生活动】学生思考，类比完成，教师展示学生答案，并点评完善。 【设计意图】用符号语言表达函数单调性是本节课的重点和难点，所以由教师逐步引导学生进行语言的转换，然后在老师示范的基础上，由学生模仿完成其他几个具体例子的表达，感受如此定义的合理性，培养理性思维。 引导：已经刻画了二次函数在区间上单调递增的符号语言，类比一下，给出一般函数在区间上单调递增的符号语言吗？ 设函数的定义域为D，区间,如果，当时，都有，那么就说函数在区间I上单调递增。特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 【追问】仿照研究函数单调递增的方法，请试着给出函数单调递减的定义。 设函数的定义域为D，区间,如果，当时，都有，那么就说函数在区间I上单调递增。特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 如果函数在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫做的单调区间。 【师生活动】先由学生独立思考，口头作答，师生讨论，纠正,并指导学生阅读教材中的规范表述,老师板书单调性的定义，并投影展示增函数、减函数、单调区间等相关概念。 【设计意图】学生经历了多个具体函数单调性的符号语言表达，在此基础上归纳本质特征，给出单调性的定义。 【思考】 (1)设是区间I上某些自变量的值组成的集合，而且，当时，都有，我们能说函数在区间I上单调递增吗？你能举例说明吗？ (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数的例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 【设计意图】引导学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间面言的，是函数的局部性质，这种认识可以借助学过的图象来得到，是对函数单调性的直观、描述性的认识，进一步理解函数的单调性。 例1：如图是定义在[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出函数的单调区间。 【设计意图】这个练习可以让学生利用函数图象来得出函数的单调区间，进一步认识函数单调性是函数的局部性质。重点在于对于多个单调区间，不能用“并”连接，而应该用“，”或者“和”。 过程二：巩固提升 例2：根据定义，研究函数的单调性． 【设计意图】把对单调性的认识由感性认识上升到理性认识的高度，完成对概念的第二次认识，事实上也给出了证明单调性的方法，为之后的例题学习做好铺垫。 【追问总结】请同学们认真回顾例2解题过程，归纳用单调性定义研究或证明函数单调性的基本步骤。 【设计意图】通过追问，让学生总结出证明单调性的一般步骤。 例3：根据定义证明函数在区间上单调递增． 【设计意图】如果说前面的例2、例3学生还能够根据图象判断单调性的话，本题则必须利用单调性的定义，通过严格的代数推理证明单调性。同时本题对作差一变形一判号的要求也更高了，有助于培养学生逻辑推理、数学运算等素养。 过程三：归纳总结 1、小结 （1）函数单调性的概念 （2）利用定义证明函数单调性的步骤: （3）数学思想方法：数形结合，特殊到一般 【设计意图】教师注意暴露学生的思维过程，抓住学生的易错点、模糊点进行辨析，对证明过程纠正、完善，完成对函数单调性定义进一步深化理解。 2、作业 必做题：课本79页练习题的1-4题 选做题：研究函数的单调性。 【设计意图】尊重学生的差异性，布置差异性作业。 6、 教学反思 1、 在教学方法上，我采用了多媒体展示与实例分析相结合的方式，利用动态图象展示函数单调性的变化过程，使抽象的概念直观化，学生接受度较高。但是学生在从特殊到一般的思维能力不强，无法较容易地得出函数单调性需要对区间I上的任意，之间的大小关系。 2、 在研究函数的单调区间时，对于含有多个单调区间的函数，描述其单调区间时不能用“并”连接，而应该用“，”或者“和”。这一点学生不能理解，需要解释在并集中的，可能就不满足相应的大小关系。 3、 学生在老师的引导下推导出函数单调性的定义，但是利用函数单调性的定义去证明单调性却是一个大的难点。自己在教学过程中应该按照定义示范一遍，再带领学生从证明过程中去总结归纳利用定义证明单调性的步骤，这样让学生亲自思考，亲自总结的解答步骤才能让学生记忆地更深刻，也能在应用过程中进一步加深学生对函数单调性定义的理解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $