模块九 计数原理与概率统计阶段双基检测卷——2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦计算原理与概率统计模块，以分层抽样、回归分析、分布列等核心知识点为载体，构建概念-应用-综合的递进逻辑，体现数据意识与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计算原理与概率统计|19题（含解答题16题、18题等）|基础概念应用（分层抽样）、数据处理（回归/频率分布）、综合模型构建（积分概率/集合随机变量）|从排列组合、二项式定理到抽样、分布、独立性检验，形成“原理推导-数据分析-模型应用”链条，培养推理能力与应用意识。

2027届高考·数学·双基检测卷 模块九 模块：计算原理与概率统计 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办了“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m名，高中生n名，经统计:名学生的平均成绩为74分，其中m名初中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为分，则( ) A.74 B.76 C.78 D.80 2.某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( ) A.30万元 B.32万元 C.36万元 D.40万元 3.已知集合，若函数满足对任意的均有，且.在所有函数构成的集合中随机取出一个元素，定义随机变量，则X的数学期望为( ) A. B.-1 C.0 D. 4.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( ) A.18种 B.27种 C.36种 D.54种 5.已知随机变量X服从标准正态分布，且，则( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.6 6.若，则( ) A.0 B.-1 C.81 D.80 7.天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定.若今日晴天，则次日晴天的概率为，阴天的概率为；若今日阴天，则次日晴天的概率为，阴天的概率为.已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为( ) A. B. C. D. 8.设随机变量X的分布列为，，且，则( ) A.数列是等比数列 B. C.数列前7项之和为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( ) A.利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C.样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D.用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10.已知随机事件A、B满足，，则( ) A. B. C.若，则 D.若A、B相互独立，则 11.若，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.展开式中的常数项为____. 13.在棱长均相等的直三棱柱中，甲，乙两人各从六个顶点中任意选取两个连成直线，这两条直线的夹角为的概率为_____. 14.高三1班54个人围成一圈做游戏，每人手中都有一个硬币.游戏开始时，每个人同时独立且等概率地选择将自己的硬币：保留或给左边的人或给右边的人，此后记手中没有硬币的人的个数为X，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）某商场进行抽奖促销活动，抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有“A”“B”“C”“D”.顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次.规定：若取出“D”字球，则停止取球.获奖规则如下：依次取到标有“A”“B”“C”“D”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“A”“B”“C”“D”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“A”“B”“C”三个字的球为三等奖. (1)求分别获得一、二、三等奖的概率； (2)设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 16.（15分）素有“滇黔锁钥”之称的黔西南州拥有丰富的旅游资源，尤其以“天下山峰何其多，唯有此处峰成林”——万峰林及“地球上一道美丽的伤疤”——马岭河峡谷闻名遐迩.某高校旅游管理专业学生暑假期间对前来黔西南州旅游的游客进行调查，为分析游客量与旅游消费的关系，收集了2026年1月至5月的数据统计如下: 月份 游客数量x（单位:百万人） 旅游消费总额y（单位:亿元） 1月 2.5 22 2月 3.5 33 3月 4 42 4月 4.5 47 5月 5.5 56 参考数据:，. （1）请根据上述数据，用最小二乘法求出关于的经验回归方程; （2）从2026年5月游客中获取了容量为200的样本，得到如下数据:参观万峰林的游客150名，参观马岭河峡谷的游客100名，既参观万峰林又参观马岭河峡谷的游客70名. （ⅰ）补充下面的列联表; 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 未参观 合计 （ⅱ）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷有关联? 附:，，， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17.（15分）俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组:第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示: （1）求样本中数据落在的频率; （2）求样本数据的第50百分位数; （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 18.（17分）共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下很好的商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.经市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎.使用共享电动车的概率为，使用共享单车的概率为.该公司为了促进消费，用户使用共享电动车一次积2分，使用共享单车一次积1分，积分可以兑换礼品.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立. (1)求某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分的概率P； (2)从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总积分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望； (3)记某市民已使用该公司共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为，比如：表示累计积分为1分的概率，表示累计积分为2分的概率，试探求与之间的关系，并求数列的通项公式. 19.（17分）设集合，，.从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a，b，c.定义随机变量X： (1)若，求X的分布列； (2)求； (3)若随机变量，证明：. 答案 1.答案：D 解析：由题意，得可得，解得. 故选:D. 2.答案：D 解析：，， 因过点，故，得， 故当时，，得， 故选：D 3.答案：A 解析：根据题意，的所有情况共有6种（以下按的顺序列出） ，，，，，， 从而X的取值可能为-3，-2，-1，0，对应的概率分别为，，，， X的数学期望为，选A. 4.答案：A 解析：6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法， 再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法， 所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中， 若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法. 5.答案：B 解析：由题意，随机变量服从标准正态分布，则， 因为，所以， 则， 所以. 故选:B. 6.答案：B 解析：由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 7.答案：B 解析：设事件：今天晴天；：明天晴天，：明天阴天；：后天晴天，：后天阴天. 已知，，，，. 由全概率公式得， . 8.答案：D 解析：因为，， 则当时，， 代入得，化简得； 由递推式：，即； 由分布列概率总和为1可得：，，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 9.答案：BD 解析：利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误; 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确; 线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误; 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确; 故选:BD. 10.答案：CD 解析：对于选项A，， 只有当事件A、B互斥时，，才有， 题意没说明A、B互斥，所以不一定为0，故A错误； 对于选项B，当事件A、B相互独立时，，故B错误； 对于选项C，若，则，所以，故C正确； 对于选项D，若A、B相互独立，则、相互独立， 又因为，， 所以，故D正确. 11.答案：ACD 解析：选项A:等式右侧最高次为，因此左侧的系数必为0: 中，项的系数为; 的最高次为，要抵消项，只能即， 且，得，选项A正确; 选项B:令，代入左侧得: ，选项B错误; 选项C:令，代入左侧得: 即右侧满足:， 因此:，选项C正确; 选项D:设，， 令代入左侧: 右侧满足:，结合时的结论， 两式相减得:，因此选项D正确. 12.答案：240 解析：展开式的通项公式为， 令得，， 故答案为：240. 13.答案： 解析：如图，夹角为的两条直线只能是侧面的一条对角线和这个侧面的四条边或是另一条侧棱， 例如直线与直线，，，，的夹角均为， 其中面对角线有6条，共对， 甲，乙两人的所有取法为，故其概率为. 故答案为：. 14.答案：16 解析：54个人围成一圈，设为指示随机变量：， 则手中没有硬币的人的个数， 依题意，， 由期望的线性性质：， 每个人有3种等概率选择：保留，给左边，给右边，每种概率都是， 要让第i人手里没有硬币，则有三种情况： 自己不保留硬币，即自己选择左或右，概率为； 右边的人不给自己，即右边人不选向左，概率为； 左边的人不给自己，即左边人不选向右，概率为， 三个人独立，所以， 所以， 故。 15.答案：(1)，， (2) ξ 1 2 3 4 P 解析：(1)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件E，F，G. 则一等奖的情况有“A，B，C，D”，， 二等奖的情况有前3次恰好是“A”“B”“C”的全排列，最后1次为“D”， 再减去“一等奖”的1次，基本事件有个，， 三等奖的情况有：“A”“A”“B”“C”；“A”“B”“B”“C”；“A”“B”“C”“C”三种情况， . (2)设摸球的次数为ξ，则ξ的可能取值为1、2、3、4. ，，， . 故取球次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 数学期望. 16.答案：（1） （2）（ⅰ） 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联 解析：（1），， ，则， 则y关于x的经验回归方程为; （2）（ⅰ）将所给数据进行整理，得到如下列联表: 马岭河峡谷 万峰林 合计 参观 未参观 参观 70 30 100 未参观 80 20 100 合计 150 50 200 （ⅱ）设零假设:游客参观万峰林与参观马岭河峡谷独立， 根据列联表中的数据，经计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为游客参观万峰林与参观马岭河峡谷无关联. 17.答案：（1）0.4 （2）52.5 （3） 解析：（1）由频率分布直方图可得:组距为10，所以: ， 得:，故样本中数据落在的频率为:. （2）设第50百分位数为x，易得x位于50和60之间， 则有: 解得:. （3）分组人数为:人; 分组人数为:人， 利用分层抽样的方法易得: 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即: 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组;2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为:. 18.答案：(1) (2)ξ的分布列为 ξ 3 4 5 6 P (3)， 解析：(1)设事件A为“某市民使用了3次共享交通工具后积分为5分”，则 . (2)依题意：随机变量ξ的可能取值为3，4，5，6，则 ，， ，. ξ的分布列为 ξ 3 4 5 6 P 所以数学期望. (3)方法1：使用共享交通工具的累计积分恰为n分的概率为， 积分跳过n分的情况只有先积分，再积2分，概率为，其中， 因为，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 方法2：由题意可知， 则，因为， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 19.答案：(1) X的分布列为： X 0 1 2 P (2) (3)见解析 解析：(1)当时，集合，从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a，b，c， 总的取法数为， 分别是，，，，，，，，，， 由于随机变量 当时，即且，满足的组合只有，所以； 当时，即且，满足的组合只有，，，所以； 当时，； 所以，当时，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P (2)对于一般的，从集合中一次取出3个不同的数， 总取法数为， 当时，即且，所以且， 令，，由于，且，，则， 从个数选出3个不同的数的方法数为，因此满足条件的组合数为， 所以； 当时，即且，所以a，b，c是三个连续的整数，即a，，， a可以取1，2，3，…，，共种选择，所以； 当时，； 因此，. (3)由于随机变量，所以，， 因此， 由(2)可知，由于，所以， 要证明，即证明，即需证， ①先证明： 令， 当时，；当时，， 令函数，则，当时，，所以在时单调递增且， 所以随着的增大，也逐渐增大， 因此对于，有，即； ②再证明： 由于，且，对任意都成立， 所以； 综上所述，，即. 学科网（北京）股份有限公司 $