计数原理与概率小题练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦计数原理与概率核心考点，通过典型例题系统呈现对立事件转化、条件概率计算、分类分步计数等解题方法，构建“概念-方法-应用”的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率基础|6题（含2道模拟题）|对立事件概率转化、条件概率公式、事件独立性判断|从事件关系（对立/互斥/独立）概念出发，推导概率计算公式，结合实际情境应用| |计数原理|3题（含2道模拟题）|分类加法计数、分步乘法计数、相邻问题捆绑法|以“幸运数”“排队合影”为载体，体现计数原理在实际问题中的综合应用| |二项式定理|2题|展开式通项公式、系数与二项式系数辨析|从二项式展开式结构切入，关联系数计算与组合数性质|

必刷小题19　计数原理与概率 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·太原模拟)由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据. 车辆 甲 乙 丙 丁 抽检数量/个 35 60 50 55 合格数量/个 32 56 47 53 若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为(　　) A.0.06 B.0.08 C.0.1 D.0.12 2.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为(　　) A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.14 3.(2025·温州模拟)设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)+P(B)=1”是“事件A，B互为对立事件”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是(　　) A.恰好两件正品与恰好四件正品 B.至少三件正品与全部正品 C.至少一件正品与全部次品 D.至少一件正品与至少一件次品 5.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是(　　) A. B. C. D. 6.(2024·衡水模拟)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为(　　) A. B. C. D. 7.(2024·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A.32个 B.28个 C.27个 D.24个 8.(2025·重庆模拟)假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定成立的是(　　) A.P(B)=P(B|A) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A|B)+P(|B)=1 D.P(AB)≥P(B|A) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.二项式的展开式中(　　) A.前三项系数之和为22 B.二项式系数最大的项是第4项 C.常数项为15 D.所有项的系数之和为0 10.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P()=0.3，则下列结论一定正确的是(　　) A.P(A)=0.18 B.A，B不可能为互斥事件 C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立 D.若，B相互独立，则P(+)=0.7 11.五一假期过后，车主小王选择去某市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为；如果小王第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为，则下列结论正确的是(　　) A.小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为 B.小王第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率大 C.若小王第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为 D.若小王第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·苏州模拟)(2+x-x2)(1-x)5的展开式中x2的系数为　　　　　　.  13.A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=，P(A)=，P(A+B)=，则P(A)=　　　　　.  14.(2025·贵港模拟)某马拉松比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有　　　　　种.  答案 必刷小题19　计数原理与概率 (分值：73分) 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2024·太原模拟)由于天气原因，夏季相关部门加大对水果储运环节的抽检力度，坚决杜绝腐烂变质的水果流入市场，下表是对运到仓储点的某种水果进行抽检后得到的数据. 车辆 甲 乙 丙 丁 抽检数量/个 35 60 50 55 合格数量/个 32 56 47 53 若从运到仓储点的四车水果中随机抽出一个，则估计这个水果不能上市的概率为(　　) A.0.06 B.0.08 C.0.1 D.0.12 答案　A 解析　由题意可知，该种水果合格的概率为=0.94，则随机抽出一个，估计其不能上市的概率为0.06. 2.已知一个系统由A，B两个部件并联组成，当A或B正常工作时，系统就能正常工作，若A正常工作的概率为0.65，B正常工作的概率为0.6，则该系统正常工作的概率为(　　) A.0.86 B.0.75 C.0.47 D.0.14 答案　A 解析　根据题意，A，B两个部件都不能正常工作的概率为(1-0.65)×(1-0.6)=0.14，所以该系统正常工作的概率为1-0.14=0.86. 3.(2025·温州模拟)设A，B为同一试验中的两个随机事件，则“P(A)+P(B)=1”是“事件A，B互为对立事件”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若A，B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到P(A)+P(B)=1，故条件是必要的；若试验的样本点含3个及以上，其中A，B表示概率为的两个不同事件，则A，B不互为对立事件，此时P(A)+P(B)=+=1，故条件不是充分的. 4.现有一批产品共9件，已知其中5件正品和4件次品，现从中选4件产品进行检测，则下列事件中互为对立事件的是(　　) A.恰好两件正品与恰好四件正品 B.至少三件正品与全部正品 C.至少一件正品与全部次品 D.至少一件正品与至少一件次品 答案　C 解析　根据题意，选项A中事件为互斥事件，不是对立事件；选项B，D中事件可能同时发生，全部正品是至少三件正品的子事件；选项C中事件为对立事件，全部次品不能存在有正品的事件. 5.甲、乙等四个人一起随机手牵手围成一圈做游戏，甲与乙牵手的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以甲为中心，其他三人的位置是甲的左边、右边、对面，共有种情况，其中乙在甲的左边或右边，即甲与乙能牵手有2种情况，所以所求概率为P==. 6.(2024·衡水模拟)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件A，B，C，每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件D， 则P(D)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=××+××+××=， P(AD)=P(AC)+P(AB)=××+××=，则P(A|D)===. 7.(2024·大同模拟)某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”(如2 024是“幸运数”)，并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(　　) A.32个 B.28个 C.27个 D.24个 答案　B 解析　依题意，首位数字为2的“幸运数”中其他三位数字的组合有以下七类： ①“0，0，6”组合，有种，②“0，1，5”组合，有种，③“0，2，4”组合，有种，④“0，3，3”组合，有种，⑤“1，1，4”组合，有种，⑥“1，2，3”组合，有种，⑦“2，2，2”组合，有1种. 由分类加法计数原理，首位数字为2的“幸运数”共有3+3+1=9+18+1=28(个). 8.(2025·重庆模拟)假设A，B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论一定成立的是(　　) A.P(B)=P(B|A) B.P(AB)=P(A)P(B) C.P(A|B)+P(|B)=1 D.P(AB)≥P(B|A) 答案　C 解析　若要P(B)=P(B|A)=成立，需要P(AB)=P(A)P(B)，即P(B)=P(B|A)成立的条件为A，B是相互独立事件，故A错误； P(AB)=P(A)P(B)成立的条件为A，B是相互独立事件，故B错误； P(A|B)表示在B事件发生的情况下A事件发生的概率，P(|B)表示在B事件发生的情况下事件发生的概率，所以P(A|B)+P(|B)=1，故C正确； 由P(B|A)=，0<P(A)≤1，可知P(AB)≤P(B|A)，故D错误. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.二项式的展开式中(　　) A.前三项系数之和为22 B.二项式系数最大的项是第4项 C.常数项为15 D.所有项的系数之和为0 答案　BCD 解析　二项式展开式的通项为 Tk+1=·=(-1)k(k=0，1，2，…，6)，前三项的系数之和为(-1)0+(-1)1+(-1)2=10，A错误； 二项式系数(k=0，1，2，…，6)中最大的是，恰好是第4项，B正确； 要求常数项，通项公式中应满足3-=0，得k=2，即T3=(-1)2x0=15，C正确； 将x=1代入，可得所有项的系数之和为0，D正确. 10.已知A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=0.6，P()=0.3，则下列结论一定正确的是(　　) A.P(A)=0.18 B.A，B不可能为互斥事件 C.若P(AB)=0.42，则事件A，B相互独立 D.若，B相互独立，则P(+)=0.7 答案　BC 解析　若P(A)=0.18=P(A)P()，则事件A，相互独立，无法确定，故A错误； 若A，B为互斥事件，则P(AB)=0，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.6+1-0.3=1.3>1，故A，B不可能为互斥事件，故B正确； 若P(AB)=0.42=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，故C正确； 若，B相互独立，则，相互独立，所以P(+)=P()+P()-P()=0.4+0.3-0.4×0.3=0.58，故D错误. 11.五一假期过后，车主小王选择去某市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小王第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为；如果小王第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为，则下列结论正确的是(　　) A.小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为 B.小王第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率大 C.若小王第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为 D.若小王第二次去了B洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为 答案　AC 解析　记第i次去A洗车店为事件Ai，第i次去B洗车店为事件Bi，i=1，2， 由题意可知，P(A1)=，P(B1)=， P(A2|A1)=，P(B2|A1)=， P(A2|B1)=，P(B2|B1)=， 对于A，P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=×=，故A正确； 对于B，P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=×+×=， P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=×+×=，故B错误； 对于C，P(A1|A2)====，故C正确； 对于D，P(A1|B2)====，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2024·苏州模拟)(2+x-x2)(1-x)5的展开式中x2的系数为　　　　　　.  答案　14 解析　因为(1-x)5的展开式的通项公式为Tk+1=(-x)k=(-1)kxk， 其中T3=x2=10x2，T2=-x1=-5x，T1==1， 故(2+x-x2)(1-x)5的展开式中x2的系数为2×10+1×(-5)-1×1=14. 13.A，B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=，P(A)=，P(A+B)=，则P(A)=　　　　　.  答案　 解析　由P(A)=，有P(AB)=P(A)P(B)=×=， 又由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，有P(A)+-=， 可得P(A)=. 14.(2025·贵港模拟)某马拉松比赛结束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右相邻，则不同的排列方法共有　　　　　种.  答案　8 640 解析　根据题意，只能一排3男1女，另一排2男2女，且相邻的2位男运动员在“3男1女”这一排中. 先确定“3男1女”这一排，5男选3人，3女选1人，所选3男选2人相邻，与余下的1男安排在1女的两侧，不同的排列方法有=360(种)； 再确定“2男2女”这一排，2男先排好有种，2女相邻并安排在2男之间有1×种，或2女放在2男成排的两空有2×种方式，不同的排列方法有3=12(种)， 因此，不同的排列方法种数为2×360×12=8 640. 1 学科网（北京）股份有限公司 $