模块四 平面向量综合训练试卷—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以平面向量双基为核心，融合勒洛三角形文化情境与新运算定义创新应用，通过梯度设计实现基础巩固与能力提升，适配一轮复习对知识网络构建的需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|基底性质、投影向量、夹角计算|第1题以勒洛三角形为背景，考查几何直观与向量运算| |多选|3/18|共线判定、新定义变换|第11题通过“R变换”考查逻辑推理与创新思维| |填空|3/15|数量积、基底共线|第14题结合动态线段考查函数思想与空间观念| |解答|5/77|夹角计算、几何应用、新定义证明|第19题定义向量新运算，融合三角形性质考查数学语言表达与论证能力|

2027届高考·数学·双基检测卷 模块四 模块：平面向量 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为( ) A. B. C. D. 2.已知，是平面内的一组基底向量.与，都不共线且，则x不能为( ) A.-1 B.0 C.1 D.e 3.已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 4.平面向量，，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 5.在四边形中，，，，，，E，F分别为，的中点，则( ) A. B.-3 C. D. 6.已知向量，，且与互相垂直，则实数( ) A. B. C. D.-5 7.设非零向量和的夹角为θ，则“”是“θ为钝角”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.设向量，，满足，，且与的夹角为，则的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分. 9.已知向量，，，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( ) A. B. C.1 D. 10.已知向量，，则下列说法正确的是( ) A.存在，使得 B.若，则 C.的最小值为2 D.若在上的投影向量的模为2，则 11.设对任意的平面向量进行一次“R变换”后得到一个新向量，对连续进行n次“R变换”得到的向量记作.设，为平面内的非零向量，则下列说法正确的是( ) A.对任意的，，恒成立 B.对任意的， C.若λ，，则 D.若，则的最小值为-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量与的夹角为，，，则________ 13.已知向量，是平面内的一组基底，若向量与共线，则_____. 14.如图，在中，，点E在线段AD上移动（异于端点），若，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知，，且与的夹角. （1）求的值; （2）当为何值时，向量与向量互相垂直? 16.（15分）已知向量，，，且; （1）求与的夹角; （2）若，求k的值. 17.（15分）已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标; （2）若，，求的最小值. 18.（17分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点. （1）若，求的值； （2）若AC交BN于点P，求线段MP的长. 19.（17分）在平面直角坐标系中，对于非零向量，，定义. （1）若，证明:; （2）已知向量，的夹角为，向量，的夹角为，若，证明:; （3）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边上，为角A的平分线，，，，，求. 答案 1.答案：C 解析：. 2.答案：B 解析：若，则，此时与共线，矛盾. 当x取-1，1，e时，都无法表示为或的数乘形式，与，都不共线，符合条件. 因此x不能为0. 3.答案：A 解析：因为，所以，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选A. 4.答案：C 解析：因为，， 所以，， 设与的夹角为θ，则， 所以， 所以. 5.答案：D 解析：     以A为原点、所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，设与y轴交于点M， 因为，，，，E，F分别为，的中点， 可得，， ，， 所以，，，，，， 所以，， ， 故选：D. 6.答案：A 解析：已知，，则，. 由与互相垂直，得， 即，化简得，解得. 7.答案：B 解析：因为，均为非零向量，所以等价于. 又，， 所以等价于，即. 因为，且， 所以等价于，即为钝角或平角， 所以，若θ为钝角可以推出，反之则不一定，有可能为平角. 因此是θ为钝角的必要不充分条件. 8.答案：A 解析：由题意得：，又， 所以， 设，，，如图所示， 由，所以，所以， 所以，所以O，A，B，C四点共圆， 又过点，，，三点的圆D的圆心在y轴上，所以， 连接，由，所以，解得， 所以过点，，，三点的圆D的方程为， 由，令，连接，，， 所以， 又点C在圆D上，且满足，所以，， 所以. 9.答案：ABD 解析：方法一：若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，即向量，不共线.由题意，得，，所以，所以.故选ABD. 方法二：A，B，C三点共线存在实数，使得，解得所以若点A，B，C能构成三角形，则，故选ABD. 10.答案：BCD 解析：对于A，若，则，无解，故A错误； 对于B，若，则向量，， 则， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2，故C正确； 对于D，在上的投影向量的模为， 故，解得，故D正确. 故选：BCD. 11.答案：ABD 解析：对于A，设，，则， ，故A正确； 对于B，设，则，， ， 故对，，故B正确； 对于C，因为对，，， 则，， 因当且仅当，方向相同时成立， 不能恒成立，故C错误； 对于D，设，，则，， 又因，不妨设，则， 故 ， 因，则，故的最小值为-5，即D正确. 12.答案：2 解析：， 又， 所以，则. 故答案为：2 13.答案：1 解析：因为向量，是平面内的一组基底，与共线， 所以，即 所以解得：， 故答案为：1. 14.答案： 解析：设，则.因为，所以，，所以.设，分析知在区间上单调递减，所以当时，，所以的取值范围是. 15.答案：（1）4 （2） 解析：（1）因为，，与的夹角， 所以. 又， 所以. （2）因为向量与向量互相垂直，所以， 所以， 由（1）知，又，，所以，， 所以. 16.答案：（1） （2） 解析：（1）因为向量，，，且， 所以，解得， 所以，，得， 所以， 即与夹角的余弦值为. 又因为， 所以，即与的夹角为. （2）由（1）知，，， 所以，， 所以，解得. 所以的值为 17.答案：（1）或 （2） 解析：（1）设，由，得，即， 而向量，的夹角为，则，又， 即，解得，于是，即有或， 所以的坐标是或. （2）由，得，即，因此，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 18.答案：（1） （2） 解析：（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，，. 由，得， 所以解得 因此. （2）设，因为B，P，N三点共线，所以， 则存在唯一实数m，使得， 则，可得，，即. 又A，P，C三点共线，且，， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段MP的长为. 19.答案：（1）见解析 （2）见解析 （3） 解析：（1）由，得， 即，整理得， 所以，即，所以. （2）因为 ，所以， 同理，， 则. （3）因为， 即，得到， 由余弦定理得， 解得，所以，又，解得，， 所以， 由（2）知. 学科网（北京）股份有限公司 $