模块二 函数与导数综合训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数双基，以题串联性质应用、导数工具及综合问题，构建“概念-性质-应用”逻辑体系 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导数|19题（含构造函数解不等式、恒成立求参数等典例）|函数性质判断、导数应用（单调性/极值）、零点与不等式综合|从函数基本性质到导数工具应用，形成“性质-导数-综合问题”推理链条，发展运算能力与推理意识|

2027届高考·数学·双基检测卷 模块二 模块：函数与导数 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知函数恒过定点，则函数不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.若为偶函数，则( ). A. B.0 C. D.1 3.已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 4.已知，且，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5.已知为奇函数，与的图象关于直线对称，若，则( ) A.3 B. C.2 D. 6.已知定义在R上的函数，满足不等式，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.设，，，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 8.若对任意的，不等式恒成立，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分. 9.已知函数的定义域为，的导函数为，且对任意正数x均有，则下列结论中不正确的是( ) A.在上为增函数 B.在上为减函数 C.若，则 D.若，则 10.已知函数有三个不同的零点a，b，c，其中，则( ) A.m的取值范围为 B.存在实数m，使得a，b，c成等差数列 C.的取值范围为 D. 11.在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于M点，与x轴交于N点，其中，则( ) A.为的极大值点 B. C. D.设直线的斜率为k，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为_____. 13.已知，若恒成立，求实数a的取值范围为____. 14.已知函数，，其中，当两函数图象对应曲线存在2条公切线时，则a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数. （1）求的值； （2）证明：. 16.（15分）已知函数，. （1）当时，求的对称中心； （2）证明：有唯一零点. 17.（15分）已知函数. （1）求的极值； （2）证明：. 18.（17分）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，对任意，恒成立，求实数b的最大值. 19.（17分）已知函数 (1)当时，求的单调区间和最大值 (2)当时，设且，求证 答案 1.答案：B 解析：由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 2.答案：B 解析：因为为偶函数，则，，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选:B. 3.答案：A 解析：设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选:A 4.答案：B 解析：因为， 所以 ， 所以，所以关于对称， 又因为，（对称轴为，开口向上）在上分别为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，结合对称性可得， 两边平方后化简可得，解得或， 所以x的取值范围是. 故选：B. 5.答案：C 解析：由为奇函数，可得对定义域内任意x，满足， 令，变形得，即，因此的图象关于点中心对称， 由于与的图象关于直线对称，点关于的对称点为， 因此的图象关于点中心对称，满足， 已知，即，代入得. 6.答案：A 解析：令，则，，原函数化为， 令，显然， 即函数是奇函数，又函数，，都是R上的增函数， 因此函数是R上的增函数，不等式， 则， 于是，解得， 所以x的取值范围是. 故选：A 7.答案：A 解析：设函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 故，即， 所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递减，当时，， 故当时，， 即，所以， 设函数（令）， ， 当时，，故在上单调递增， 所以， 而， 所以， 综上所述，可得. 故选：A. 8.答案：A 解析：由已知可得对任意的恒成立， 设，则， 当时在上恒成立，在上单调递增， 又，在上，不合题意； 当时，可知在单调递减，在单调递增，要使， 在上恒成立，只要， 令，，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 又，， ，，故选A. 9.答案：ABC 解析：依题意，记，则当时，，是增函数.当时，有，，，①，同理有②，由①+②得，即，故选ABC. 10.答案：ABD 解析：由已知， 令，解得或， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 又函数有三个不同的零点a，b，c， ，解得，故A正确； 由题可知：， 若a，b，c成等差数列，且， ，解得，故B正确； 易得，则，故C错误； 由，， 则，故D正确. 11.答案：ACD 解析：对于A，由题意得， 因为，所以当时，，故； 当时，，故； 由此是的极大值点，故A正确； 对于B，令，则， 所以在上单调递增，由题意得，， 由不等式，取，得， 所以，由此， 又单调递增，所以，则，故B错误； 对于C，由题意，， 要证，只需证， 等价于，由，得， 所以只需证，由于，则成立，故C正确； 对于D，直线的斜率，， 要证，等价于， 等价于，因为，所以， 由于， 由B已证，即，且， 又，所以，所以，故D正确. 12.答案： 解析：由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下: 由图可知，当时，，则; 当时，，则; 当时，，则; 当时，，则; 所以不等式的解集为. 故答案为: 13.答案： 解析：令，求导得， 令，求导得. 当时，，此时在R上单调递增，由于， 所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以原不等式恒成立，所以符合题意； 时，原不等式矛盾，理由如下：时，，而，或； 故答案为：. 14.答案： 解析：结合函数图象，考虑两曲线相切的临界情况，设切点横坐标为，因为，，所以即所以.设，则，所以，代入①有，所以有.记函数，，易知函数在上单调递增.因为，所以.此时，所以实数a的取值范围是. 15.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1） ， 因此. （2）证明：， 当时，，即在上单调递增，所以， 又，所以，当时，， 故，当时，则，所以， 由（1），，所以， 又此时，所以. 综上，. 16.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）当时，， 设的对称中心为，则， 所以， 整理得， 所以解得 所以的对称中心为. （2）证明：由于，所以等价于， 设，则， 当且仅当时， 因此在上单调递增，即至多有一个零点，从而至多有一个零点. 又因为，， 故在内存在零点，综上所述，可知有唯一零点. 17.答案：（1）极小值为，无极大值 （2）证明见解析 解析：（1）易知函数的定义域为， 且， 令，可得. 可知当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 故在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）证明：当时，有恒成立. 当时，构造函数，则， 故在上单调递增， 于是，即，则， 由（1）可知，故，故. 综上所述，当时，. 18.答案：(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 解析：(1)函数的定义域为， 因为，则令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)若，则. 令， 则， 则在单调递减. 因为对任意的，恒成立， 所以， 即. 所以b的最大值为. 19.答案：(1)增区间，减区间，最大值1； (2)见解析 解析：(1)，，，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 则，综上，的增区间为，减区间为，最大值为1. (2)，，， 当，即，解得，则在内是增函数； 当，即，解得，则在内是减函数. 且，将取对数，得到， ，， ，，， 设， ， ，，，， ，， ，，， ， ， ，， ，是减函数，， ， ，，， ，，在内是减函数， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $