1.2.4 绝对值的几何意义 同步练习 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦绝对值几何意义，分层设计梯度清晰，知识巩固路径从概念理解到综合应用，培养几何直观与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|绝对值基本概念（到原点距离、与相反数关系）|以温度接近（单选1）、数轴点距离（填空9）等情境，直接考查定义，强化数感| |中档|绝对值几何意义应用（距离和、数轴位置关系）|通过数轴点距离和最小（单选8）、字母表示数绝对值范围（单选6），培养推理意识| |提升|综合应用与拓展（实际问题、多知识点结合）|结合行程记录（解答18）、数轴动点（解答22），深化模型观念，提升运算能力与创新意识|

第一章 有理数——绝对值的几何意义 一、单选题 1．在下列各温度中，最接近的是（     ） A． B． C． D． 2．点，，，在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与到原点的距离相等的点是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在数轴上，点A和点B所表示的两个有理数的绝对值相等，那么下列说法错误的是（     ） A．原点在点A和点B之间 B．点B表示的数一定是负数 C．点A表示的数一定是非负数 D．点A和点B所表示的两个数互为相反数 4．若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 5．若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 7．下列说法正确的有（   ）个． 绝对值越大的数越大； 非负数是零和正数的统称； 如果表示向东前进了，那么就表示向南前进了； 在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有个． A．个 B．个 C．个 D．个 8．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离可以表示为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．由此，可以理解为：数轴上的数x和1之间的距离与数x和2之间的距离的和．那么的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 10．如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 11．数轴上点A表示的数是x，点B表示的数是2，表示A，B两点间的距离，则的最小值为________． 12．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 13．如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 14．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，数轴上A、B两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． （1）求___； （2）的最小值是___． 15．我们知道，可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为a与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请完成： （1）若，则x＝_________； （2）的最小值是5，则_________． 三、解答题 16．已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 17．已知，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 18．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第几次记录时距A地最远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？ 19．某地加强高铁沿线环境整治，进行巡回检查维护．境内高铁线路呈东西走向，全长近．某天，巡护车辆从护路联防站出发，按向东为正方向行驶，当天的行驶记录如下（单位：km）：．如果车辆行驶每千米的耗油量为0.08L，问：当天巡护车辆耗油多少升？ 20．如图是长春市南北方向上地铁一号线的线路图，途中共设15个站点．某天，李华参加该线路上的志愿者服务活动，从红嘴子站出发，最后在A站结束服务活动．如果规定向北为正，向南为负，李华当天乘坐地铁的站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）： ，，，，，，，，． (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为千米，求这次李华志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 21．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 22．学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作是数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段．例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；的意义为数轴上表示数与的两点间的距离；若，则的值为或． (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，． 23．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉， 例如：． 观察上述式子的特征，解决下列问题． (1)尝试：把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①___________； ②___________； (2)当时，___________； (3)探究：计算． 24．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，表示数轴上数与数对应点之间的距离．例如：表示3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；，所以表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上点表示的数为，点表示的数为，则两点之间的距离可以表示为 ；若，则 ； (3)找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数有 个； 25．已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 有理数——绝对值的几何意义》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A C B B A 1．D 【分析】最接近即对应温度的绝对值最小，计算各选项温度的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：，，，， ∵ ， ∴ 最接近． 2．C 【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点P到原点的距离为3， ∴到原点的距离为3． ∴到原点的距离与到原点的距离相等的点是点P． 3．C 【分析】根据绝对值的几何意义以及互为相反数的性质即可作出判断． 【详解】解：因为在数轴上，点A和点B所表示的两个有理数的绝对值相等，所以点A和点B表示的数互为相反数， A、因为点A和点B表示的数互为相反数，且一正一负，所以原点必然在负数和正数之间，选项正确，不符合题意； B、由于点B在点A左侧，且两数互为相反数，所以点B表示较小的那个数，即负数，选项正确，不符合题意； C、点A表示的数一定是正数，虽然正数是非负数，但是因为“非负数”包含了正数和0，而点A不可能是0，选项错误，符合题意； D、绝对值相等且位置不同的两个有理数，必然互为相反数，选项正确，不符合题意． 4．A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 5．C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 6．B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 7．B 【分析】本题主要考查了绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴，根据绝对值，有理数的分类，相反意义的量，有理数与数轴等知识逐一分析即可，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值越大的数不一定大，如，但，故错误，不符合题意； 非负数是零和正数的统称，故正确，符合题意； 表示向东，则应表示向西，而非向南，故错误，不符合题意； 数轴上与之间的有理数有无数个，故错误，不符合题意； ∴只有正确，正确的个数为个， 故选：． 8．A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和，据此分析其最小值． 【详解】解：∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示1和2的点的距离之和， ∴当时，的值最小，为到的距离，即； ∴最小值是1； 故选A． 9．或 【分析】根据点到原点的距离得到A、B对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段的长度． 【详解】解：点到原点的距离是3，点到原点的距离是4， 点表示的数为或，点表示的数为或， 当A、B两点在原点同侧时：， 当A、B两点在原点异侧时：， 线段的长为或． 10．＜ 【详解】解：∵， ∴． 11． 【分析】先将转化为，根据题中对绝对值的定义结合当在点与之间时取得最小值来求解． 【详解】解：， 由题知，表示与之间的距离，表示与之间的距离， 当在和之间时（含端点），与的和最小，最小值为， ∴的最小值． 12． 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 13． 【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键． 由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数． 【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，， 又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，， ∴点B所表示的数为， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，分成、、三种情况分别讨论即可． 【详解】解：（1）∵表示，所对应的点之间的距离， ∴， 故答案为：． （2）可以看作对应的点到和对应的点的距离之和， 当时，则，， ∴ ∵， ∴； 当时，则，， ∴； 当时，则，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为， 故答案为：． 15． 5或 3或 【分析】本题考查绝对值几何意义，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用等知识，读懂题意，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）根据题意，由绝对值的几何意义列式求解即可得到答案； （2）根据题意，由绝对值的几何意义理解最小值的含义，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为， 或， 故答案为：5或； （2）由题意可知，可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 可理解为与三数在数轴上所对应的点的距离之和， 与2在数轴上的距离是，的最小值是5， ∴不在与2之间且与或与2对应点的距离为2， 当时，，解得． 当时，，解得． 综上可知，a的值为3或． 故答案为：3或． 16．(1)5 (2)画图见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． 17．(1)14 (2)14或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加法运算和乘法运算： （1）根据绝对值的意义，结合，，得到，再进行加法运算即可； （2）根据有理数乘法的符号法则，得到同号，得到或，再进行加法运算即可． 【详解】（1）解：∵，，且，， ∴， ∴； （2）∵，，且， ∴或， ∴或． 18．(1)第五次 (2)10.2升 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数的实际应用及绝对值的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则、正负数的意义、绝对值的意义，即可解决问题． （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）把所有行驶记录的绝对值相加再加上回到A地的1千米的和，乘以0.3计算即可得解． 【详解】（1）解：第一次距A地千米； 第二次：千米； 第三次：千米； 第四次：千米； 第五次：千米； 第六次：千米； 第七次：千米． ∴第五次记录时离A地最远； （2）解：从出发到收工汽车行驶的总路程： （）， 从出发到回到A地共耗油：（升）． 答：从出发到收工共耗油10.2升． 19．当天巡护车辆耗油升． 【分析】车辆行驶的总路程决定了耗油量，而不仅仅是最终的位移．因此，需要将所有行驶记录的绝对值相加得到总行驶距离，再乘以单位油耗． 【详解】解：将每个行驶记录的绝对值相加： 总耗油量总路程单位油耗：． 20．(1)市政府； (2)千米． 【分析】此题考查了正数和负数的意义，绝对值的意义，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算结合正数与负数即可求解； （2）根据绝对值的意义和有理数的加法可得一共的站数，再乘以即可求解． 【详解】（1）解：， 则A站是市政府； （2）（千米）， 答：这次李华志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米． 21．(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 22．(1)或，或 (2)①，；②或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，正确理解题意是解题的关键． （1）由，可得或，，解之可得出的值；由，可得出或，解之可得出的值； （2）①根据题意，结合图中点在点的右侧，点在点的右侧，即可求解； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，进而列出方程，求解后即可得到值． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； ∵， ∴或， 解得或； 故答案为：或；或． （2）解：①∵点在数轴上表示的数是，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； ∵点在数轴上表示的数是7，，且点在点的右侧， ∴点在数轴上表示的数是； 故答案为：，； ②∵线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，线段以个单位长度/秒的速度也向左匀速运动， 点在数轴上表示的数是；点在数轴上表示的数是7； 故运动时间为秒时， 点在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∵， ∴根据题意列一元一次方程得，， 整理，得， 故或， 解得或． 23．(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减计算，熟知去绝对值的方法是解题的关键． （1）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （2）负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值即可； （3）先根据（2）的方法去绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：①；②； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴； 故答案为：； （3）解： ． 24．(1) (2)；或 (3)4 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，有理数的运算，理解题意，并灵活运用所学知识解决有关数轴上两点之间距离问题是解答的关键． （1）根据两点之间的距离公式求解即可； （2）用两点之间的距离公式表示即可； （3）先求出的取值范围，然后得出整数的值即可； 【详解】（1）解：根据题意，； 故答案为：5； （2）解：根据题意，数轴上表示和的两点，之间的距离是； 若， 则， 或． 故答案为：；2或； （3）解：根据题意得：表示数轴上表示数的点到表示数和数1的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为， 当时，， 满足条件的所有整数为，，0，1． 故答案为：4． 25．(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $