16.1.2 幂的乘方与积的乘方 分层练习 2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦“幂的乘方与积的乘方”新授课，通过A/B/C三层设计实现从基础到拓展的知识巩固，融入推理能力与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层·基础夯实|单一知识点直接应用|4道选择，含中考题与数形结合题，强化概念理解| |B层·理解运用|多知识点综合运算|8题含填空/计算，结合教材变式，提升公式灵活运用能力| |C层·拓展挑战|跨知识点推理与创新应用|10题含解答/新定义题，设代数推理与微专题，发展推理与抽象能力|

16.1.2　幂的乘方与积的乘方　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：幂的乘方）(2024河南中考)计算(aᵃ)³的结果是（　　　　） A. a⁵　　　　B. a⁶ C. aᵃ⁺³　　　　D. a³ᵃ 2. [选择题]（知识点：幂的乘方）(2026广东惠州期中)下列计算正确的是（　　　　） A. (-aⁿ)²=aⁿ⁺²　　　　B. (a⁴)⁴=(a²)⁸ C. (a⁴)⁴=a⁴·a⁴　　　　D. (-a⁵)⁴=(-a⁴)⁵ 3. [选择题]（知识点：积的乘方）(2025吉林中考)计算(2a²)³的结果为（　　　　） A. 2a⁵　　　　B. 2a⁶ C. 8a⁵　　　　D. 8a⁶ 4. [选择题]（知识点：积的乘方）【学科特色·数形结合思想】(2026辽宁大连期末)下列各图中，能直观地解释“(3a)²=9a²”的是（　　　　） 二、B层·理解运用（课件中共 8 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：幂的乘方）(2026山东德州期中)如果a+3b-2=0，那么3ᵃ×27ᵇ的值为__________。 2. [计算题]（知识点：幂的乘方）计算：(1)(a³)²·(a⁴)³+(a²)⁵；(2)2x⁴+x²+(x³)²-5x⁶；(3)-(x³)⁴+3×(x²)⁴·x⁴。 解： 3. [选择题]（知识点：幂的乘方）(2025山东临沂质检)给出下列等式：①a²ᵐ=(a²)ᵐ；②a²ᵐ=(aᵐ)²；③a²ᵐ=(-aᵐ)²；④a²ᵐ=(-a²)ᵐ。其中正确的有（　　　　） A. 1个　　　　B. 2个 C. 3个　　　　D. 4个 4. [填空题]（知识点：幂的乘方）(2026上海浦东新区期中)已知2ᵃ=x，2ᵇ=y，则2²ᵃ⁺³ᵇ=__________(用含x和y的式子表示)。 5. [填空题]（知识点：幂的乘方）已知x²ⁿ=2，则(x³ⁿ)²-3(x²)²ⁿ=__________。 6. [填空题]（知识点：积的乘方）(2026河北邯郸月考)计算(-5×10⁴)³的结果，并用科学记数法表示为______________。 7. [计算题]（知识点：积的乘方）【学科特色·教材变式】计算：(1)(-2m²n)⁶+(-3m⁴n²)³；(2)2x·x²·x³+(-3x²)³+(-2x³)²。 解： 8. [填空题]（知识点：积的乘方）已知3ˣ⁺¹·2ˣ⁺¹=36ˣ⁻²，则x的值是__________。 三、C层·拓展挑战（课件中共 10 道题归入本层） 1. [计算题]（知识点：积的乘方）计算：(1)8²⁰²⁷×(-0.125)²⁰²⁷；(2)(2/3)²⁰²⁶×(3/2)²⁰²⁶×(-1)²⁰²⁶。 解： 2. [选择题]（知识点：幂的乘方）(2024河北中考,★★☆)若a，b是正整数，且满足8×2ᵃ=(2ᵇ)⁸，则a与b的关系正确的是（　　） A. a+3=8b　　　　B. 3a=8b C. a+3=b⁸　　　　D. 3a=8+b 3. [选择题]（知识点：幂的乘方）(2026四川德阳期中,★★☆)已知9ˣ=a，3ʸ=b，27ᶻ=ab，那么x，y，z满足的等量关系是（　　） A. 2x+y=z　　　　B. xy=3z C. 2x+y=3z　　　　D. 2xy=z 4. [填空题]（知识点：积的乘方）(★★☆)若3ˣ×4ʸ=18，4ˣ×3ʸ=8，则x+y=__________。 5. [填空题]（知识点：积的乘方）(2026天津红桥期中,★★☆)若(kaᵐ⁻ⁿbᵐ⁺ⁿ)⁴=16a⁸b¹⁶，则k+m+n=__________。 6. [解答题]（知识点：幂的乘方）【聚焦中考·代数推理】(2026江苏南通月考,★★★)设n为正整数，若64ⁿ-7ⁿ能被57整除，试说明8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²(n为正整数)能被57整除。 解： 7. [解答题]（知识点：幂的乘方）【核心素养·推理能力】(2026湖北武汉期中)规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果aᶜ=b，那么(a，b)=c。例如：因为2³=8，所以(2，8)=3。(1)根据上述规定，填空：(3，9)=________；(2)试解决下列问题：①计算：(8，1000)-(32，100000)；②若令(3，2)=a，(3，5)=b，(3，10)=c，试探索(3，2)+(3，5)与(3，10)的大小关系。 解： 8. [选择题]（知识点：幂的乘方）微专题：利用幂的乘方的性质比较大小。1.已知a=81³¹，b=27⁴¹，c=9⁶¹，则a，b，c的大小关系是（　　　　） A. a＞b＞c　　　　B. a＞c＞b C. a＜c＜b　　　　D. b＞c＞a 9. [填空题]（知识点：幂的乘方）2.【学科特色·多解法】比较大小：3²⁰________9¹⁵(填“＞”“＜”或“=”)。 10. [填空题]（知识点：幂的乘方）3.设a=2⁵⁵，b=3³³，c=4²²，则a，b，c的大小关系是____________。 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：D 解析：原式=(aᵃ)³=a³ᵃ。故选D。 2. 答案：B 解析：(-aⁿ)²=a²ⁿ；(a⁴)⁴=a¹⁶=(a²)⁸；(a⁴)⁴=a¹⁶，a⁴·a⁴=a⁸，不等；(-a⁵)⁴=(a⁴)⁵≠(-a⁴)⁵。故选B。 3. 答案：D 解析：(2a²)³=2³·(a²)³=8a⁶。故选D。 4. 答案：C 解析：A中图形的面积为a·3a=3a²；B中图形的面积为3×3a=9a；C中图形的面积为(3a)²=9a²；D中图形的面积为(3×3)×3a=27a。故选C。 二、B层·理解运用 1. 答案：9 解析：∵a+3b-2=0，∴a+3b=2，∴3ᵃ×27ᵇ=3ᵃ×(3³)ᵇ=3ᵃ⁺³ᵇ=3²=9。故答案为9。 2. 答案：(1)a¹⁸+a¹⁰；(2)-4x⁶+2x⁴+x²；(3)2x¹² 解析：(1)原式=a⁶·a¹²+a¹⁰=a¹⁸+a¹⁰。(2)原式=2x⁴+x²+x⁶-5x⁶=-4x⁶+2x⁴+x²。(3)原式=-x¹²+3×x⁸·x⁴=-x¹²+3x¹²=2x¹²。 3. 答案：C 解析：①a²ᵐ=(a²)ᵐ，正确；②a²ᵐ=(aᵐ)²，正确；③a²ᵐ=(-aᵐ)²，正确；④当m为奇数时不成立，故④错误。故正确的有①②③，共3个。故选C。 4. 答案：x²y³ 解析：2²ᵃ⁺³ᵇ=2²ᵃ×2³ᵇ=(2ᵃ)²×(2ᵇ)³=x²y³。 5. 答案：-4 解析：原式=x⁶ⁿ-3x⁴ⁿ=(x²ⁿ)³-3(x²ⁿ)²，∵x²ⁿ=2，∴原式=2³-3×2²=-4。 6. 答案：-1.25×10¹⁴ 解析：(-5×10⁴)³=(-5)³×(10⁴)³=-125×10¹²=-1.25×10¹⁴。 7. 答案：(1)37m¹²n⁶；(2)-19x⁶ 解析：(1)原式=(-2)⁶·m¹²n⁶+(-3)³·m¹²n⁶=64m¹²n⁶-27m¹²n⁶=37m¹²n⁶。(2)原式=2x⁶-27x⁶+4x⁶=-21x⁶。 8. 答案：5 解析：∵3ˣ⁺¹·2ˣ⁺¹=(3×2)ˣ⁺¹=6ˣ⁺¹，36ˣ⁻²=(6²)ˣ⁻²=6²ˣ⁻⁴，∴6ˣ⁺¹=6²ˣ⁻⁴，∴x+1=2x-4，解得x=5。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：(1)-1；(2)1 解析：(1)原式=(-8×0.125)²⁰²⁷=(-1)²⁰²⁷=-1。(2)原式=(2/3×3/2)²⁰²⁶×1=1。 2. 答案：A 解析：根据已知得8×2ᵃ=(2ᵇ)⁸，∴2³×2ᵃ=2⁸ᵇ，即2ᵃ⁺³=2⁸ᵇ，∴a+3=8b。故选A。 3. 答案：C 解析：∵9ˣ=a，27ᶻ=ab，∴3²ˣ=a，3³ᶻ=ab，∵3ʸ=b，∴3²ˣ·3ʸ=3³ᶻ，即2x+y=3z。故选C。 4. 答案：2 解析：由题意得3ˣ×4ʸ×4ˣ×3ʸ=18×8，∴(3×4)ˣ×(4×3)ʸ=144，即12ˣ×12ʸ=12²，∴12ˣ⁺ʸ=12²，x+y=2。 5. 答案：6或2 解析：∵(kaᵐ⁻ⁿbᵐ⁺ⁿ)⁴=k⁴a⁴⁽ᵐ⁻ⁿ⁾b⁴⁽ᵐ⁺ⁿ⁾=16a⁸b¹⁶，∴k⁴=16，m+n=4，k=2或-2，当k=2时，k+m+n=2+4=6；当k=-2时，k+m+n=-2+4=2。故答案为6或2。 6. 答案：见解析 解析：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，∴设64ⁿ-7ⁿ=57m(m为正整数)，∴64ⁿ=57m+7ⁿ，∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8×64ⁿ+49×7ⁿ=8×(57m+7ⁿ)+49×7ⁿ=8×57m+8×7ⁿ+49×7ⁿ=8×57m+57×7ⁿ=57(8m+7ⁿ)，∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²能被57整除。 7. 答案：(1)2；(2)①0；②相等 解析：(1)2。(2)①原式=(2³，10³)-(2⁵，10⁵)=(2，10)-(2，10)=0。②∵(3，2)=a，(3，5)=b，(3，10)=c，∴3ᵃ=2，3ᵇ=5，3ᶜ=10，∵2×5=10，∴3ᵃ×3ᵇ=3ᶜ，∴3ᵃ⁺ᵇ=3ᶜ，∴a+b=c，即(3，2)+(3，5)=(3，10)，两者相等。 8. 答案：A 解析：a=81³¹=(3⁴)³¹=3¹²⁴，b=27⁴¹=(3³)⁴¹=3¹²³，c=9⁶¹=(3²)⁶¹=3¹²²，∵124＞123＞122，3＞1，∴a＞b＞c。故选A。 9. 答案：＜ 解析：9¹⁵=(3²)¹⁵=3³⁰，∵20＜30，3＞1，∴3²⁰＜3³⁰，即3²⁰＜9¹⁵。 10. 答案：a＞b＞c 解析：a=2⁵⁵=(2⁵)¹¹=32¹¹，b=3³³=(3³)¹¹=27¹¹，c=4²²=(4²)¹¹=16¹¹，∵32＞27＞16＞1，∴a＞b＞c。 学科网（北京）股份有限公司 $