2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及解法，通过矩形花圃面积问题导入，引导学生从实际情境抽象出不等式，连接二次函数图象与方程根，搭建从具体到抽象的学习支架。 以数形结合思想为主线，采用问题引导与图象探究法，落实直观想象与数学抽象素养，如“三个二次”关系表助学生理解解集几何意义，变式练习强化a<0时的转化，提升学生逻辑推理能力，为教师提供清晰教学流程与分层训练素材。

数学 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计-2026-2027学年 高一 人教A版 必修第一册 教学目标 课题名称 二次函数与一元二次方程、不等式 课 型 新授课 课时数 1 授课时间 教学目标 1. 素养目标：通过对二次函数图象与一元二次方程、不等式关系的探究，培养学生直观想象与数学抽象素养。2. 知识目标：理解一元二次不等式的概念与一般形式，掌握二次函数零点的定义，能运用Δ三种情形求解一元二次不等式。 教学重点 从二次函数观点看一元二次方程与不等式的关系，一元二次不等式的解法与解集。 教学难点 Δ三种情形下解集的确定（尤其Δ=0与Δ<0时），含参数或实际背景下对解集范围的取舍。 教学方法 问题引导法、图象探究法、讲练结合法。 教学准备 多媒体课件、直尺。 教学过程 一、情境导入；二、探究新知；三、巩固练习；四、课堂小结；五、作业布置。 板书设计 课题；一元二次不等式定义；三个二次关系表；例题演算；小结。 作业布置 教材课后习题。 教学反思 关注数形结合思想的落实情况。 备注 教学方法 1. 教师活动：教师以实际问题为切入点引发认知冲突，引导学生观察二次函数图象与x轴的相对位置，归纳出“三个二次”的内在联系，并通过分层例题示范解算流程。 2. 学生活动：学生在教师引导下动手作图、计算判别式、讨论根的分布，独立完成变式练习并上台板演，经历从直观感知到代数求解的完整过程。 3. 设计意图：以数形结合思想贯穿始终，促使学生理解不等式解集的几何意义，避免机械记忆口诀，提升逻辑推理与运算求解能力。 教学过程 一、情境导入 1. 教师活动：某园林队计划用32 m长的栅栏围成一块矩形花圃，要求花圃面积大于60 m²。设垂直于墙的一边长为x m，教师引导学生列出面积不等式 x(32−2x)>60，化简得 x²−16x+30<0。 2. 学生活动：学生根据周长与面积关系列出不等式，发现该不等式只含一个未知数且最高次数为2，产生探究其解法的内在需求。 3. 设计意图：从真实生活情境抽象出数学模型，让学生体会一元二次不等式的现实背景，自然引出本课课题。 二、探究新知 1. 教师活动：教师给出定义——一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。其一般形式是 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0。随后教师指出：对于二次函数 y=ax²+bx+c，使 ax²+bx+c=0 的实数x叫做二次函数 y=ax²+bx+c 的零点。 2. 学生活动：学生回顾二次函数 y=x²−16x+30 的图象，求出对应方程 x²−16x+30=0 的根 x=8±（近似为2.17与13.83），观察图象在x轴下方的区间，得出不等式 x²−16x+30<0 的解集为 {x|8−<x<8+}。 3. 设计意图：通过具体函数将方程的根、函数的零点与不等式的解集三者打通，帮助学生建立数形结合的认知框架。 4. 教师活动：教师系统梳理“三个二次”的关系。对于一元二次方程 ax²+bx+c=0（a>0），设 Δ=b²−4ac：当 Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根 ，（<），ax²+bx+c>0 的解集为 ，ax²+bx+c<0 的解集为 ；当 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根 ==−，ax²+bx+c>0 的解集为 ，ax²+bx+c<0 的解集为 ∅；当 Δ<0 时，方程没有实数根，ax²+bx+c>0 的解集为 R，ax²+bx+c<0 的解集为 ∅。教师强调：对于二次项系数是负数（即a<0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解。 5. 学生活动：学生填写“三个二次”关系对照表，归纳求解程序：将原不等式化成 ax²+bx+c>0（a>0）的形式→计算 Δ=b²−4ac→按 Δ>0、Δ=0、Δ<0 三种情况写出解集。 6. 设计意图：以分类讨论思想统摄三种判别式情形，使学生在理解几何意义的基础上掌握代数求解程序。 三、巩固练习 1. 教师活动：教师出示例题——解不等式 x²−5x−6>0。 2. 学生活动：学生计算 Δ=(−5)²−4×1×(−6)=25+24=49>0，方程 x²−5x−6=0 的根为 x=−1 或 x=6。因为 a=1>0，抛物线开口向上，所以不等式 x²−5x−6>0 的解集为 {x|x<−1，或x>6}。 3. 教师活动：教师出示变式题——解不等式 −2x²+x+1≥0。提示学生先将二次项系数化为正数。 4. 学生活动：学生将不等式两边同乘−1，得 2x²−x−1≤0。计算 Δ=(−1)²−4×2×(−1)=1+8=9>0，方程 2x²−x−1=0 的根为 x=− 或 x=1。因为 a=2>0，抛物线开口向上，结合图象取两根之间（含端点），所以原不等式的解集为 。 5. 设计意图：例题由直接套用过渡到系数化正的变式，覆盖含等号与不含等号的细节差异，强化规范求解步骤。 四、课堂小结 1. 教师活动：教师请学生口述一元二次不等式的求解步骤与三种判别式情形对应的解集结论。 2. 学生活动：学生回答：先化二次项系数为正，再算 Δ，依据 Δ>0、Δ=0、Δ<0 分别写出解集；口诀“大于取两边，小于取中间”仅在 Δ>0 且 a>0 时适用，其余情形需结合图象判定。 3. 设计意图：通过学生自主复述检验课堂目标达成度，教师即时纠正表述偏差，深化数形结合思想。 课堂小结 1. 本课核心是建立二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的联系，其中二次函数的图象是桥梁，方程的根（即函数的零点）是分界点，不等式的解集由图象相对于x轴的位置决定。 2. 求解一元二次不等式的一般程序：将原不等式化成 ax²+bx+c>0（a>0）的形式→计算 Δ=b²−4ac→按 Δ>0、Δ=0、Δ<0 三种情况写出解集。当 a<0 时，先两边同乘−1化为 a>0 再求解。 3. 易错提醒：① Δ=0 时，ax²+bx+c<0（a>0）的解集为 ∅ 而非单元素集；② 不等式含等号时解集端点用方括号，不含等号时用圆括号；③ 系数化正时务必注意不等号方向是否改变。 板书设计 1. 课题：二次函数与一元二次方程、不等式 2. 一元二次不等式定义及一般形式 ax²+bx+c>0 或 ax²+bx+c<0（a≠0） 3. 二次函数零点：使 ax²+bx+c=0 的实数x 4. “三个二次”关系表（Δ>0 / Δ=0 / Δ<0 三行） 5. 例题：解 x²−5x−6>0 → Δ=49>0，根 x=−1 或 x=6 → 解集 {x|x<−1，或x>6} 6. 变式：解 −2x²+x+1≥0 → 化为 2x²−x−1≤0 → Δ=9>0，根 x=− 或 x=1 → 解集 7. 小结：求解程序与易错提醒 作业布置 1. 解下列不等式：① x²−7x+10≤0；② 3x²−6x+4>0。 答案：① 方程 x²−7x+10=0 的根为 x=2 或 x=5，a=1>0，Δ>0，解集为 {x|2≤x≤5}。② Δ=(−6)²−4×3×4=36−48=−12<0，a=3>0，方程无实数根，解集为 R。 2. 某工厂生产一种产品，每件成本为40元。经市场调研，若定价为x元（x>40），则日销售量为 (200−2x) 件。要使日利润不低于1200元，求定价x的取值范围。 答案：日利润为 (x−40)(200−2x)≥1200，化简得 x²−140x+4600≤0。方程 x²−140x+4600=0 的根为 x={140±}/2={140±}/2={140±}/2={140±20}/2=70±10。因为 a=1>0，Δ>0，所以解集为 {x|70−10≤x≤70+10}。又因 x>40 且 70−10≈52.68>40，故定价x的取值范围为 {x|70−10≤x≤70+10}。 教学反思 1. 本节课以实际问题导入，学生能较快接受一元二次不等式的概念，但在将面积关系化简为标准形式时部分学生出现展开符号错误，后续需加强代数变形基本功训练。 2. 在“三个二次”关系的探究中，数形结合的切入点效果良好，多数学生能自主发现图象与x轴位置关系对解集的决定作用。但 Δ=0 与 Δ<0 两种情形下“小于零”的解集为 ∅ 这一结论，个别学生仍存在疑虑，下一课时应增加针对性练习予以巩固。 3. 变式题中系数化正的操作，部分学生忘记改变不等号方向，反映出对不等式性质掌握不够扎实，后续教学需在复习等式与不等式性质差异时重点强调。 学科网（北京）股份有限公司 $