2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的联系及不等式求解，通过回顾初中一次函数与一元一次方程、不等式的关系，以类比为学习支架，引导学生构建新知识脉络。 以园艺围矩形区域情境抽象出一元二次不等式，结合函数图象观察归纳三者联系，分层作业融入杂志定价应用实例，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界，提升学生逻辑推理与建模素养，助力教师落实课标，提高教学效率。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 设计时间 授课时间 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性． 3.能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数学运算和数学建模素养. 教材分析 函数、方程和不等式都是重要的教学内容，用函数的观点看方程和不等式是数学的基本思想方法.用函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中学习一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性. 函数观点是指运动变化观点、对应思想、联系的观点、数形结合思想等.对于二次函数c，当y=0时就得到一元二次方程于是，如果二次函数的图象与x轴有交点，那么交点的横坐标就是方程的根；反之也对.同样，当y<0）时就得到c<0,，当y>0时就得到，于是一元二次不等式的解集就是使二次函数值大于0（或者小于0）的自变量x所组成的集合．因此，可以利用二次函数的零点，借助函数图象求解一元二次不等式问题. 学情分析 在初中阶段，学生已经学习了配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程根的方法，但用二次函数的观点看一元二次方程、不等式的意识相对薄弱，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系，涉及从联系的角度看待所学的知识，因此是学生学习的一个难点.此外，对于解一元二次不等式，学生会借助方程的经验，有意识地进行降次，将解一元二次不等式问题转化为一元一次不等式（组）问题.因此学生对于利用二次函数来解一元二次不等式，会产生疑问. 单元教学目标 1.通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义. 2.能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的联系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，感悟数学的整体性. 3.能通过具体实例归纳出用函数方法求一元二次不等式的基本过程；能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养. 单元教学重点 难点 1.教学重点：用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法. 2.教学难点：建立二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时， 二次函数与一元二次方程、不等式； 第2课时，一元二次不等式的应用. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 拓展性目标：★★ 通过任务二，能通过具体实例归纳一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系． 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能通过具体实例，归纳借助二次函数求解一元二次不等式的基本过程，发展逻辑推理、数学运算素养. 课时学习重难点 教学重点：建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系，借助二次函数求解一元二次不等式. 教学难点：建立二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在初中，我们从一次函数的角度看待一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？ 2、 预习回顾：(回答思考的答案) 思考：如何解不等式 2x-6<0 ? 如何从一次函数的观点求解一元一次不等式 2x-6<0 ? 答：分为两步：①移项：2x<6 ，②系数化1：x<3 ； 从一次函数的观点求解一元一次不等式的步骤：①画出对应的一次函数 y=2x-6 的图象，② 解对应的一元一次方程 2x-6=0，得图象与x轴的交点(3,0)，③根据要求:y<0 ，观察图象写出一元一次不等式的解集:x<3. 3、 预习评估：(回答问题的答案，建议整理成表格) 问题：通过刚才的思考，一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间有什么联系？ 答: 目标一：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 任务一：能从实际情境中抽象出一元二次不等式 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是 24 m，围成的矩形区域的面积要大于20㎡，则这个矩形的边长为多少米？ 思考：怎样用数学符号表示该问题？对自变量的要求是什么？ 答：设这个矩形的一条边长为 m，则另一条边长为(12-)m.由题意，得(12-)>20,即 ，其中 0<<12 求得不等式的解集，就得到了问题的答案. 评估一：（学生能回答问题1的答案） 问题1：（1）类比一元一次不等式的形式，思考中的不等式有什么特点？ （2）类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗？你能给出这类不等式的一般形式吗？ 答：（1）一元一次不等式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的不等式， 是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次。 （2）可以定义为：一元二次不等式， 形式：+b+c>0（≥0）或+b+c<0（≤0），其中 ≠0 1.一元二次不等式： 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 +b+c>0 或 +b+c<0 . 其中,b,c均为常数，≠0. 目标二:能通过具体实例归纳一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系． 任务二：学生能能通过具体实例,回答问题2 类比一元一次方程、一元一次不等式、与一次函数之间的联系，通过以下问题理解 问题2： （1）如何求二次函数上纵坐标为 0 的点的坐标？ （2） 一元二次方程的实数根与二次函数图象上纵坐标为 0 的点的横坐标是什么关系？这个结论可以推广到一般吗？ （3） 二次函数上纵坐标为 0 的点将 x 轴分成三段．每一段（不包括该点）对应的函数图象有什么特点？函数值有什么特点？ （4） 不等式 的解集是什么？不等式的解集是什么？ 答：（1）令解得 =2 或=10，图像上纵坐标为 0 的点的坐标为（2，0）或（10，0）. （2） 相等,可以.（教师通过（2）给出二次函数零点的定义） 2.二次函数零点的定义： 一般地，对于二次函数，我们把满足的实数x叫做二次函数的零点.所以，二次函数的两个零点是 2 和 10 ． （3） 当 x<2或 x>10时，函数图象位于 x 轴上方，此时 y>0 ，即 当 2<x<10 时，函数图象位于 x 轴下方，此时y<0,，即 （4） 一元二次不等式 的解集是{x|2<x<10}，一元二次不等式 的解集是{x|x>10 或 x<2}. 评估二：学生能归纳出一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系． （小组讨论）思考：上述例子可以推广到求一般的一元二次不等式吗？ 对于一般的一元二次方程，一元二次不等式0 与相应的函数 之间是否也有类似的关系？ 答： 目标三： 能通过具体实例，归纳借助二次函数求解一元二次不等式的基本过程，发展逻辑推理、数学运算素养. 任务三：学生通过具体实例，归纳借助二次函数求解一元二次不等式的基本过程 例1. 求不等式 的解集. 分析:因为方程 =0 的根是函数 y= 的零点，所以先求出 =0 的根，再根据函数图象得到 的解集. 解: 对于方程 =0，因为△>0，所以它有两个实数根.解得x1=2，x2=3. 画出二次函数 y= 的图象(图2.3-2)，结合图象得不等式 >0的解集为{x|x<2，或x>3}. 评估三：（学生进一步理解一元二次不等式的本质） 例2. 求不等式 的解集. 解：对于方程 =0，因为 △=0，所以它有两个相等的实数根，解得x1=x2= . 画出二次函数 y= 的图象(图2.3-3)，结合图象得不等式>0 的解集为{x|x≠}. 例3. 求不等式的解集. 解：不等式可化为 < 0. 因为 △=8<0，所以方程=0 无实数根. 画出二次函数y=的图象(图2.3-4). 结合图象得不等式 < 0的解集为. 因此，原不等式的解集为. 问题3：（1）如何求二次项系数是负数（即<0)的一元二次不等式的解集？ （2）能否用框图表示求解一元二次不等式的过程？ 答：（1）先将<0 化简为 >0 ,再进行计算。 （2） 教师提出问题，要求学生回顾初中所学内容，并思考三者本质，为本节内容作铺垫. 学生在老师的引领下，类比一元一次不等式的定义，独立思考，尝试给出一元二次不等式的定义，教师帮助总结完善，得出完整的定义. 教师用信息技术画出函数的图象，并在函数图象上取一点P(x,y)让点P在抛物线上移动，学生观察图象，并回答随着点P的移动，它的横、纵坐标的变化情况. 教师引导学生观察图象 学生填写表格 、自主思考，再小组讨论，上台展示,教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识. 教师展示教科书例1的解答过程，带领学生总结求解一元二次不等式的步骤. 例2、 例3由学生独立思考并完成. 学生回答问题3，教师带领学生完善本节课内容，最后进行总结，形成思维导图。 通过具体的生活情境，导入本节课题，让学生了解一元二次不等式的现实意义，建立一元二次不等式的定义和一般形式，培养学生数学抽象素养. 通过回顾与巩固不等式的求解方法，提高学生的类比学习的能力。 通过问题串引导学生从具体的二次函数图象入手，了解一元二次方程的根与相应的函数图象之间的关系、能根据函数图象得到相应的一元二次不等式的解集，体会函数在判断方程根的情况及求不等式解集中的作用. 仿照上述过程填写“三个二次”之间的关系表格，也就是将具体一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的联系推广至一般情形，以二次函数为纽带，并借助函数图象与性质，判断一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式.在推广的过程中，体会数形结合和函数思想的应用，以及从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的基本方法，感悟数学的整体性、联系性. 提高学生分析问题、总结问题的能力 课堂小结 1.一元二次不等式的定义与形式； 2.一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的联系； 3.求解一元二次不等式的解题步骤. 学生作业 1.基础性作业：教科书第53页练习第1、2题； 答案：１. (１){ｘ|ｘ<－２或ｘ>３}(２){ｘ|－１≤ｘ≤ } (３){ｘ｜ｘ≠２}(４)⌀(５){ｘ|ｘ≤－１或ｘ≥ }(６)Ｒ 2. 2.提升性作业：教科书第55页习题2.3第2、3题； 2.(１)R ; (２) ｘ=3 . 3.Ｍ∩Ｎ＝{ｘ｜ｘ<－或ｘ>６}, Ｍ∪Ｎ＝{ｘ｜ｘ<－１或ｘ> } 3.拓展性作业:回顾教科书第2.1节的问题2： 某种杂志原以每本 2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高 0.1元，销售量就可能减少 2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 答：设提价后每本杂志的定价为 x 元，则销售总收入为 万元，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 20 化简得， 2-13x+20 ≤ 0 解得， 2.5 ≤ x ≤ 4 答：当每本杂志的定价在2.5元到4元（含两端）时，销售总收入不低于20万元。 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $