1.2 集合间的基本关系（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合间的基本关系”，通过类比实数大小与相等关系导入，引导学生从实例中抽象出子集、真子集、相等关系等概念，搭建新旧知识联系的学习支架。 此设计以任务驱动（如小组讨论空集概念、探究子集个数规律）和三种语言（自然语言、符号语言、Venn图）结合为特色，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识，帮助学生突破空集理解难点，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率与学生数学素养。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 1.2 集合间的基本关系 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。 2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。 教材分析 通过类比实数的大小关系和运算，可以启发集合间基本关系和运算的研究思路.教科书通过类比实数间的大小、相等关系，在具体实例中归纳出了集合间的包含、相等关系。 本单元是高中数学的第一单元，按照“集合的含义→表示→基本关系→基本运算”的顺序展开，体现了类比、分类讨论的数学思想方法，本单元还进行了“符号化”，建立了符号表示与数学意义之间的联系.Venn图和数轴则是梳理集合的基本关系和基本运算的有效工具，体现了数形结合的思想方法. 学情分析 1.学生在初中已经接触过集合，对点集、数集有了一定的感性认识．本单元的新概念、新符号较多如元素与集合、属于与包含、交集、并集、全集、补集等，抽象程度较高，学生会有一定的困难. 2.对于空集的理解存在困难．空集概念很抽象,不含任何元素,是任何集合的子集，这一特殊性使得学生在具体情境中，往往遗漏了要考虑给定的集合是否为空集.为此，需要通过典型事例帮助学生加深空集含义的理解，逐步形成相应的思维习惯. 单元教学目标 1.集合的概念与表示 ①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. ②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. ③在具体情境中，了解全集与空集的含义. 2.集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. ③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 单元教学重点 难点 构建集合的符号语言体系，集合的基本关系和运算. 单元课时分配 本单元分为4课时: 第1课时， 集合的概念与表示； 第2课时， 集合间的基本关系； 第3、4课时，集合的基本运算. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，类比数的大小、相等关系，能判断两个集合是否有包含与相等关系，能写出给定集合的子集，发展数学抽象素养. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能说出空集的含义，知道空集是任何集合的子集． 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能用三种语言表达集合间的基本关系，感受数学的简洁美. 课时学习重难点 教学重点：集合之间包含与相等的含义，用集合语言表达集合间的基本关系． 教学难点：对空集的理解，区分“属于”和“包含”的概念和符号表示． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 我们知道，两个实数之间有大小关系、相等关系，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ 2、 预习课本：(通过阅读课本，思考问题1的答案) 问题1:观察下面两个例子，你能发现它们之间的关系吗？ (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; (2)C为我们班全体女生组成的集合，D为我们班全体同学组成的集合． 答：发现（1）集合A中的任何一个元素都是集合B的元素; （2）集合C中的任何一个元素都是集合D的元素。 预习评估：（学生能说出总结出子集的定义). 1.子集的定义：对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.符号语言：A⊆B(或B⊇A)．通俗来讲，谁“大”开口就朝谁，与大于、小于符号类似. 图1.1-1． 为了更直观地理解包含关系，数学上经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做Venn图. 集合A与集合B的包含关系可以表示为图1.1-1． 三、目标一： 学生通过自主探究，类比数的大小、相等关系，能判断两个集合是否有相等关系，能写出给定集合的子集，发展数学抽象素养。 任务一： 阅读课本7~8页回答问题2、3，总结集合间的关系 问题2 E={x|x是两条边相等的三角形｝；F={x|x是等腰三角形｝.集合E和集合F存在包含关系吗？你可以类比到实数中的什么关系吗？ 答：根据上节课的知识，两个集合的元素完全相同，这两个集合相等.同时，根据子集的定义，E⊆F且F⊆E。 2.相等的集合：如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中任意一个元素都是集合A中的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.即若A⊆B且B⊆A，则A=B. 则由此也可得，任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。 追问1 由“若A⊆B且B⊆A，则，你能联想到两个数之间的什么关系？ 答：“若a≤b,.b≤a，则” 追问2 可见A⊆B中包含A=B的情况．是否有更准确的符号表示（1）和（2）的关系呢？请大家阅读教科书第8页的第一、二段． 答：真子集 3.真子集： 如果集合AB，但存在元素x∈B，且x∉A，就称 集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). 评估一：（学生能说出总结出集合的关系). 问题1：与实数类比，“若a≤b,b≤a，则”，我们得到集合“若A⊆B且B⊆A，则的结论.你能类比实数的关系，得出更多集合间基本关系的结论吗？（填写表格） 答： 问题2：我们已经学习了两种关系，“属于”和“包含”， {a}⊆A与a∈A有什么区别吗？ 答：前者是集合间的关系，后者是元素与集合间的关系。 四、目标二： 能说出空集的含义，知道空集是任何集合的子集． 任务二： （小组讨论）阅读教科书第8页的第三、四段，并回答下列问题： （1）什么是空集？它的符号是什么？你能举出几个空集的例子吗？ （2）你能结合空集的规定和真子集的概念说明“空集是任何集合的真子集”的合理性吗？ 答： （1）不含任何元素的集合叫做空集，记为；方程无解时，解集为空集。（也可以不等式无解时的解集等） （2）空集不是任何集合的真子集，应该改为“空集是任何集合的子集”或者“空集是任何非空集合的真子集”。 4.空集的定义： 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为, 并规定:空集是任何集合的子集. 评估二：会根据具体关系选择合适的符号语言 练习： 用适当的符号填空： (1)a______{a,b,c}; (2）； (3) (4){0,1}______N; (5)；(6){2,1} 五、目标三： 能用三种语言表达集合间的基本关系，感受数学的简洁美. 任务三：通过习题的练习，体会符号语言的简洁美 例1.写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集． 答：集合{a，b)的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}. 真子集为，{a}，{b}. 例2.判断下列各题中集合A是不是集合B的子集,并说明理由： (1)A={1,2,3}，B={x |x是8的约数｝； (2)A={x |x是长方形｝，B={x |x是两条对角线相等的平行四边形｝. 答：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集. 评估三： 练习：将下列表格补充完整，说一说，子集的个数和元素的个数有什么关系，真子集呢？ 答：（1） （2）设集合的元素个数为n，则子集个数为2n，真子集个数为2n-1． 通过阅读课本，回答问题1，能说出子集的定义，教会学生通过阅读和预习解决和研究问题。 先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结，给子集的定义，Venn图等概念. 教师引导学生联想。 学生通过阅读教科书，得出真子集的定义 学生独立思考后完成第二列，教师补充 学生阅读教科书，先自主思考，再小组合作，回答问题，教师可以多提问，再进行补充，让学生通过举例子加深对空集的理解. 学生独立思考作答，教师核对总结。 教师引导学生完成，要理解子集、真子集的概念，还需要分类讨论，要按照一定的标准和顺序，不重不漏，比如按照元素个数分类等.同时要注意不要遗漏空集和集合本身. 由学生自主完成，教师适当补充. 提高学生的类比学习与发散思维的能力。 通过具体实例，引导学生感知集合间具有的关系与元素有关. 通过类比两个实数的关系，结合具体实例的分析，学生能更直观地理解集合之间的包含关系，以及包含与相等关系之间的联系 通过类比两个实数的关系，结合具体实例的分析，学生能更直观地理解集合之间的包含关系，以及包含与相等关系之间的联系. 理解集合之间的关系以及对应性质.辨析“属于”与“包含”的区别. 巩固集合之间包含关系的定义，掌握子集和真子集的定义，并进一步明确判断两个集合基本关系的方法——定义法. 提高学生分析问题、总结问题的能力 课堂小结 学生作业 1.基础性作业：教科书第8~9页：练习第1、2、3题； 答案：１. ⌀，{ａ}，{ｂ}，{ｃ}，{ａ，ｂ}，{ａ，ｃ}，{ｂ， ｃ}，{ａ，ｂ，ｃ}. 2. ( １) ∈( ２) ∈( ３) ＝ ( ４) ⫋ (５)⫋ (６)＝ 3. (１)Ａ⫋Ｂ. (２) Ａ⫌Ｂ. (３) Ａ ＝ Ｂ. 2.提升性作业：教科书第9页习题1.2：第1、2、3、4、5（1）题． 答案：１. (１)∉,∉,⫋,⫋ (２)∈,⫋,⫋, ＝ (３)⫋,⫌ ; ２.Ｄ⫋Ｃ⫋Ｂ⫋Ａ; ３.解析 (答案不唯一) (１){ ｘ｜ｘ是立德中学高一一班的学生}. (２){ｘ｜ｘ是等边三角形}. (３)⌀. (４){４}. ４. Ｄ⫋Ｃ 5.(1) ａ－ｂ ＝ ０. 3.拓展性作业:教科书第9页习题1.2：5（2）题． 答案：5（2）ａ≥２. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $