3.1.1 函数的概念 第1课时 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的概念（第一课时）”，从初中“变量说”函数概念过渡到高中“对应关系说”，通过列车运行、工资计算等生活实例及认知冲突问题导入，搭建旧知到新知的学习支架。 这份资料通过归纳实例共性抽象出函数定义，培养数学抽象与逻辑推理素养，用解析式、图象、表格等多种形式呈现对应关系，帮助学生把握三要素，提升符号意识，既为教师提供清晰教学路径，又让学生经历概念建构，夯实数学基础。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.1.1 函数的概念(第一课时) 设计时间 授课时间 课标要求 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用，了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教材分析 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中各种变化关系及其规律的基本模型和工具.函数贯穿于整个高中数学课程，是学习方程、不等式、数列、导数等内容的基础和工具；函数在自然科学如物理学、化学、生物学、天文学都有着广泛的应用；函数是高等数学中最基本的研究对象；函数是数学建模的重要基础. 学生在初中学习了函数的“变量说”，这个层次的概念中的“变化过程”“变量”具有明显的物理背景的色彩，对研究有一定的限制，所以需要将函数概念进一步抽象到“对应关系说”.“对应关系说”表明函数的本质是两个非空数集之间的对应关系，明确了定义域、值域和对应法则，引入了抽象符号f(x). 从“变量说”到“对应关系说”，要通过典型和丰富的现实情境，先用“变量说”判断是否有函数关系，再用两个非空数集之间元素的对应关系这种“话语方式”来描述每个情境中的函数关系，最后归纳共同特征，给出形式化的函数定义，并用符号y=f(x),x∈A来表示.在这个过程中发展学生的数学抽象、逻辑推理素养，培养学生用符号语言描述数学对象的意识. 学情分析 1.初中的函数概念强调在变化过程中两个变量的对应关系，没有强调自变量范围．学生很难理解为什么要研究自变量范围、为什么要引入新的函数概念.所以教学中要通过恰当例子的比较，让学生感悟到必须关注自变量的取值范围，体会建立新的概念的必要性. 2.“对应关系说”关注自变量的范围，使用集合语言、逻辑用语描述对应关系，对学生而言是全新的表达形式.某种意义上，函数概念的学习是一种语言学习，因此不需要学生自创一套新的“话语方式”，采用“示范一模仿一熟练一运用”的方式是最有效的学习方式. 3.函数的定义文字多、符号多、逻辑用语多，包含很多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、对应法则、表示法等），还用了“称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x),x∈A.”这种高度抽象的表达方式，是学生遇到的又一个困难.为此，一方面要让学生经历函数概念的建构过程，把握概念的本质，另一方面，需要在整个单元中帮助学生理解f的含义，让学生认识到f(x)是一个整体.比如在函数的表示方法中，体会f可以有多种多样表达形式（解析式、图象、表格或其他形式），但是其本质都是一样的-即“∀x∈A，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应”.又如，通过判断两个函数是否相等体会对应关系强调的是对应的结果，而不管对应法则的具体形式，例如f(x)=x+1(x∈R)与，这两个函数的对应关系的表达形式不同，但对于任意一个实数x，都有f(x)=g(x)，所以f(x)和g(x)是同一个函数. 单元教学目标 1.在初中用变量间的依赖关系刻画函数概念的基础上，能用集合语言和对应关系描述函数的能说出定义域、对应关系、值域的含义和作用，能用区间表示变量的范围，能求简单函数的定义域，两个函数是否相等. 2.能举例说明抽象符号f的含义，能根据具体问题的特点选择恰当的方法表示函数的对应通过实例说明函数图象的作用，体会转化与化归、数形结合等数学思想方法. 3.能通过实例说明分段函数的特点，能用分段函数表示实际问题中的具体函数． 单元教学重点 难点 1.教学重点：函数的概念，根据具体问题选择恰当的函数表示法，分段函数. 2.教学难点：从具体情境中归纳出函数的三要素，抽象函数概念；对应关系f:：A→B的理解；选择恰当的表示法描述实际问题中的函数关系；分段函数. 单元课时分配 本单元分4课时： 第1课时，函数的概念（第一课时）； 第2课时，函数的概念（第二课时）：函数的定义域和函数值； 第3课时，函数的表示法（第一课时）； 第4课时，函数的表示法（第二课时）：分段函数的简单应用. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能用“变量说”判断具体实例中的函数关系，能用“对应关系说”的语言描述具体实例. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能归纳具体实例的共性进而抽象出函数概念，明确定义域、对应法则、值域是函数的三要素，发展数学抽象、逻辑推理的素养. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引入符号表示对应法则的必要性，能说出符号y=(x) x∈A的含义. 课时学习重难点 教学重点：函数的概念，函数的三要素． 教学难点：函数的概念，对应法则的含义，符号y=(x),x∈A. 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 在我们的客观世界中存在着各式各样的运动变化现象，例如，长征七号A遥二运载火箭发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的游泳池在放水的过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高铁营业里程逐年增加，已经突破3.5万千米......所有这些都表现为变量间的对应关系，我们可以通过函数模型来刻画，并且通过研究函数模型就能把握相应的运动变化规律. 2、 复习回顾：(回顾初中学习知识，回答思考的答案) 思考：初中学习函数的定义是什么？ 答：在初中、我们已经学习了函数的定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数. 预习评估：（学生能回答问题的答案). 问题：（1）你能用已学的函数知识判断 y=x 与 是否为相同的函数吗？ （2）正方形的周长与边长的对应关系为 =4，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，所以是的函数.请问这个函数与正比例函数 y=4x 是同一个函数吗？ 答：（1）不是； （2）不是。 三、目标一： 学生能用“变量说”判断具体实例中的函数关系，能用“对应关系说”的语言描述具体实例. 任务一：阅读课本60~61页回答问题1、2与思考1、2，能用“变量说”判断具体实例中的函数关系 问题1 某“复兴号”高速列车加速到 350km/h 后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程 S(单位:km)与运行时间 t(单位:h)的关系可以表示为 S=350t. 思考1： （1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系是一个函数吗？请说明理由. （2）有同学想：“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km．”这位同学的想法正确吗？请说明理由. （3）如何更加精准地表述S与t的函数关系？ 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少 1天，至多不超过 6天.如果公司确定的工资标准是每人每天 350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位:元)是他工作天数的函数吗? 思考2： （1）你认为应该怎样确定一个工人每周的工资？ （2）一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？请说明理由． （3）你能仿照问题（1）中对S和t的对应关系的精准刻画，给出这个问题中 与 的精准表示吗？ （思考1）答：(1)是，t和S是两个变量，对于t的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与其对应，所以S是t的函数. (2)不正确，不能判断列车以 350km/h运行半小时后的情况，所以说法不正确，其原因是没有关注到 t的变化范围. (3)列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是 S=350t. ① 其中，t的变化范围是数集 A1={t|0≤t≤0.5}，S的变化范围是数集 B1={S|0≤S≤175}.对于数集 A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集 B1中都有唯一确定的路程 S和它对应. （思考2）答：（1）= 350， 教师需要引导学生还可以用不同的表示方法.例如列表格的形式，如下表： （2）是，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是 = 350 ② 其中， 的变化范围是数集A2={1.2,3,4.5,6}， 的变化范围是数集B2={350,700,1 050,1 400,1750,2100}.对于数集A2中的任一个工作天数 ，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资 与它对应. 追问1：问题1和问题2中的函数的对应关系一样，它们是同一个函数吗？为什么？ 答：不是，因为自变量的范围不同。 评估一：学生能回答问题3、4与思考3、4，追问2 （小组讨论）问题3 图3.1-1是北京市 2016年 11月 23日的空气质量指数(Air Quality Index，简称 AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数(AQI)的值 I ?你认为这里的 I 是 t 的函数吗? 图3.1-1 思考3： （1）你能根据图象找到 t=8h 时空气质量指数（AQI）的I值吗？ （2）你能根据图象找到这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的I值吗？ （3）你认为这里的I 是 t 的函数吗？如果是，你能仿照前面的方式表示 I 与 t 的函数关系吗？ 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r=×100％）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高. 思考4：（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？请说明理由． （2）如果是，你能仿照前面的表示方法描述这个函数吗？ （3）根据实际情况和恩格尔系数定义，你认为r的取值范围是什么？ （思考3）答：（1）能，方法：过 t=8 作x轴的垂线，交空气质量指数曲线于一点，并过该点作直线与y轴垂直，得到相应纵坐标，即为 I 的值： （2） 同（1）用作垂线的办法，任意一个t值都有对应的I值. （3） 从图3.1-1中的曲线可知，t 的变化范围是数集A3={t|0≤t≤24}，AQI的值 I 都在数集B3={I|10<I<150}中.对于数集A3中的任一时刻t，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集B3中都有唯一确定的AQI的值I与之对应.因此，这里的I是t的函数. （思考4）答：（1）是，r和y是两个变量，对于y的每一个确定的值，r 都有唯一确定的值与其对应，所以r是y的函数. （2） y的取值范围是数集 A4={2006,2007,2008,2009,2010, 2011,2012,2013，2014,2015};根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 B4={r|0<r≤1}.对于数集 A4中的任意一个年份y，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集 B4中都有唯一确定的恩格尔系数 r与之对应，所以，r是y的函数. （3） 根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集 B4={r|0<r≤1}. 四、目标二： 能归纳具体实例的共性进而抽象出函数概念，明确定义域、对应法则、值域是函数的三要素，发展数学抽象、逻辑推理的素养. 任务二：学生能回答思考，得出函数的定义 思考：在上述问题1~4中的函数有哪些共同特征？你能根据这些特征得出函数概念的本质特征吗？ 答：（1） （2）归纳出四个问题的共同特点： ① 都包含两个非空数集，用A,B来表示； ② 都有一个对应关系； ③ 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数 y 和它对应. 1.函数的定义： 一般地，设A,B是两个非空数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=(x)，x∈A 其中，x叫做自变量、x的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{(x)|x∈A}叫做函数的值域.且有{(x)|x∈A}⊆B. 2.函数概念的三要素：定义域，对应关系，值域。 追问2 （1）归纳以上四个问题，函数的对应关系有哪些常见形式？ （2）请问对于时间变量t,AQI的值I范围分别是怎样的？可以得出一般结论，值域与集合B之间是什么关系？ 答： （1）解析式、图象、表格； （2）通过图3.1-2得出时间变量t的范围为，对于I的值，通过图象可以得出最小值I1=0和最大值=150，或者直接得出结果，而 所对应的每个值都是唯一确定的，若这些I的取值范围为，那么.值域是集合B的子集。 评估二： 练习. 请用新的函数定义重新刻画初中所学的一次函数、二次函数与反比例函数，刻画时需要注意什么？ 答： 注意：找到定义域、对应关系、值域这三个要素. 五、目标三：知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引入符号 表示对应法则的必要性，能说出符号y=(x) x∈A的含义. 任务三：知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引入符号 表示对应法则的必要性 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和变化规律。例如，正比例函数 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述. 解：把 看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是 B={y| y≤25}.对应关系把 R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数. 如果对 的取值范围作出限制，例如∈{|0<≤10}，那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20，设一边长为，面积为 ，那么 . 其中， 的取值范围是A={ |0<≤10}，的取值范围是B={ |0<≤25}.对应关系 把每一个长方形的边长 ，对应到唯一确定的面积. 评估三：能说出符号y=(x) x∈A的含义. 带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）为何不直接让集合 B={()|∈A}? （2）请问 等于与x的乘积吗？()与()有什么联系和区别呢？ 答： （1）值域规定为数集B的子集主要原因是在大多数情形下，无论哪种形式的对应法则，要获得精准的值域都是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的. （2）()表示当自变量 x=时函数 ()的取值，是一个确定的函数值；而()其实是变量y，所以()是 ()的一个特殊值，是值域中的一个具体元素. 通过生活中实际问题引入，学生体会数学与生活相联系。 学生思考，教师指出要回答上述问题，就需要进一步学习函数的概念. 请学生自己思考并回答，提醒学生不看教科书． 教师点评答案，引导学生用已学的变量关系，以及变量的范围，教师要在学生思考和讨论的基础上给出精确表述的示范.. 学生自主阅读题目后，在学案上完成解答. 学生自主做答追问1，教师展示答题情况，并引导学生得出结果：判断两个函数是否为同一个函数、不能只是对应关系相同，还要判断自变量的范围是否一样（也可以引导学生用图象来区分这两个不同的函数） 学生先自主思考，再小组讨论，提出自己的答案，比如（1）分为“是”与“不是”辩论，最后进行小组成果展示. 在学生思考后，展示学生关于一次函数、二次函数的作答情况，教师肯定的同时加以点评示范. 通过上述的归纳，表示对应关系的形式除了解析式、图象、表格之外，还有其他表示方法，为了表示方便，我们引进符号 统一表示对应关系. 学生通过图象进行思考，教师可以借助信息技术帮助学生思考 在学生思考后，展示学生关于一次函数、二次函数的作答情况，教师肯定的同时加以点评示范，强调按新的定义方式时，需要注意找到定义域、对应关系、值域这三个要素 在学生思考的基础上，请学生分组讨论再请代表回答，教师可以穿插点评，加强引导. 请学生思考并判断，并让学生回答，教师肯定答案并补充. 带领学生复习初中“变量说”的函数概念，以问题引起认知冲突，激发学生的求知欲，体现进一步研究函数的必要性. 思考1中，（1）是让学生回顾初中学习的函数概念，用“是否满足定义”来回答，培养学生用定义判断对错的思维习惯；问题（2）激发学生在认知上的冲突，发现不考虑变量范围的不严谨，问题（3）让学生关注到变量t和S的范围，并尝试用更加精准规范的语言表示函数的概念. 思考2中，问题（1）是让学生从变量间的关系的角度判断w与d是否为函数；问题（2）是为了引导学生尝试不同的方法表示函数，为学习抽象的对应关系f做准备；问题（3）让学生模仿问题（1）的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概括能力.再通过迫问，使学生思考确定函数的概念需要的基本条件，进一步关注自变量的范围和因变量的范围. 让学生通过归纳四个典型实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合语言与对应关系语言描述函数概念的定义.在这个过程中，需要突破“如何在四个典型实例的基础上让学生归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点，突破“在学生已学‘变量说’定义的函数概念的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本要素，用集合语言与对应关系语言建立函数的概念”这一教学重点. 用函数定义重新认识已经学习过的函数，熟悉函数定义的新语言，并与原来的表达方式进行比较，通过辨析加强函数定义的理解，聚焦函数的三要素这个整体. 学生在完成例1的过程中，进一步理解y=(x)可以用来刻画现实世界中同类事物的变化规律，体会应用的广泛性，“回到实际去”，加深对函数概念、函数三要素的理解. 让学生通过归纳四个典型实例中函数的共同特征，体会数学抽象过程，概括出用集合语言与对应关系语言描述函数概念的定义.在这个过程中，需要突破“如何在四个典型实例的基础上让学生归纳、概括、抽象出函数概念，并以此培养学生的数学抽象素养”这一难点，突破“在学生已学‘变量说’定义的函数概念的基础上，通过实例归纳概括出函数的基本要素，用集合语言与对应关系语言建立函数的概念”这一教学重点. 课堂小结 1.函数的定义 2.函数的三要素 学生作业 1.基础性作业：教科书第63~64页练习第1、2、3题； 答案： １.定义域为Ａ＝{ｔ｜0≤t≤26}, 值域为Ｂ＝{ｈ｜0≤h≤845}, 从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应. ２.(１)由题图可知函数的定义域为{ｔ｜8≤ｔ≤08},值域为 {ｙ｜2≤ｙ≤12}. (２)当ｔ＝12时,ｙ≈９ ℃ . ３.是.定义域为{１,２,３,４,５}, 值域为{２,３,４,５}. 对应关系略. 2.提升性作业：教科书第72~73页习题3.1第3、8、11题； 答案： 3. (1)如图①,定义域为Ｒ,值域为Ｒ. (２)如图②,定义域为{ｘ｜ｘ≠０},值域为{ｙ｜ｙ≠０}. (3) 如图③,定义域为Ｒ,值域为Ｒ. (４)如图④,定义域为Ｒ,值域为{ｙ｜ｙ≥－２}. 8.(１)由题意得, 由此可得任意两个量的函数关系式. 例如： = (>0), = 2 (>0), =2 11.定义域是自变量的取值范围,值域是函数值的集合. (１)由题图可知,定义域为[－５,０]∪[２,６),值域为 [０,＋∞ ). (２)当 ｒ∈[0,2)∪(5,＋∞)时,只有唯一的ｐ值与之对应. 3.拓展性作业:教科书第72~73页习题3.1第14题. 答案：示例 1（物理情境） 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为，运动时间为秒，运动的位移为米。由匀加速位移公式可得： 示例 2（几何情境） 直角三角形一条直角边长为，另一条直角边长是这条直角边长的倍（），设三角形面积为，则 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $