5.4 三角函数的图象和性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学三角函数的图象和性质核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及周期性，通过11个题型从基础图象到性质应用逐步递进，构建完整知识支架。 该资料以题型为单元，每个题型配套解题知识与典例、变式，如求值域的换元法培养数学思维，多样题型训练提升数学语言表达，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

5.4 三角函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 正弦函数的图象 题型2 正弦函数的定义域和值域 题型3 余弦函数的定义域和值域 题型4 三角函数的周期性 题型5 正弦函数的单调性 题型6 正弦函数的奇偶性和对称性 题型7 余弦函数的单调性 题型8 余弦函数的对称性 题型9 正切函数的定义域和值域 题型10 正切函数的单调性和周期性 题型11 正切函数的奇偶性与对称性 考 点 演 练 题型1 正弦函数的图象 解｜题｜知｜识 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z） 最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 【典例1】已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜π），则“函数f（x）的图象的一条对称轴为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】若，，c＝sin3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【变式2】在[0，2π]内函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式3】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 题型2 正弦函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 【典例1】函数y的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{y|y＝2sinx}，则A∪B＝（　　） A．[﹣2，3） B．（﹣3，2] C．（﹣6，2] D．[﹣2，6） 【变式2】若“∃x∈（0，π），sin2x﹣ksinx＜0”为假命题，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2） 【变式3】函数的值域是　 　 ． 题型3 余弦函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 【典例1】y＝cos（x）在[0，]上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算：． 【变式2】已知函数． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）求函数f（x）在上的值域； （3）求f（x）＜﹣1在[﹣π，π]的解集． 题型4 三角函数的周期性 解｜题｜知｜识 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【典例1】已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜π），则“函数f（x）的图象的一条对称轴为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1】若，，c＝sin3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【变式2】在[0，2π]内函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式3】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 题型5 正弦函数的单调性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 【典例1】若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C．（0，1] D．[1，+∞） 【变式1】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴，且f（x）在上不单调，则ω的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式3】sin1，cos1，tan1，1的大小关系是（　　） A．tan1＞1＞cos1＞sin1 B．tan1＞1＞sin1＞cos1 C．1＞tan1＞sin1＞cos1 D．1＞sin1＞cos1＞tan1 题型6 正弦函数的奇偶性和对称性 解｜题｜知｜识 正弦函数的对称性 正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z． 【典例1】（多选）25．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．点为曲线y＝f（x）的一个对称中心 C．直线为曲线y＝f（x）的一条对称轴 D．函数f（x）在区间上单调递减 【变式1】下面关于叙述中正确的是（　　） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是奇函数 【变式2】已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点对称，则φ的值为　 ． 【变式3】已知函数（其中0＜ω＜3），直线是函数f（x）图象的一条对称轴． （1）求f（x）的解析式； （2）求不等式f（x）≥1的解集； （3）函数，求g（x）在区间上的值域． 题型7 余弦函数的单调性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 【典例1】函数的单调递增区间是（　　） A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 【变式1】已知函数，则（　　） A．为f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于直线对称 C．为f（x）的一个零点 D．f（x）在区间单调递增 【变式2】设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ是常数）．若f（x）在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的周期为π B．f（x）的单调递减区间为 C．f（x）的对称轴为 D．f（x）的图象可由g（x）＝sinωx的图象向左平移个单位得到 【变式3】已知，则锐角A的取值范围是　 　 ． 题型8 余弦函数的对称性 解｜题｜知｜识 余弦函数的对称性 余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴． 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于点对称 C．为奇函数 D．f（x）在区间上的最大值为3 【变式1】设函数f（x）＝cos（2x），则（　　） A．f（x）的一个周期为﹣π B．y＝f（x）的图象关于直线x对称 C．f（x）的一个零点为x D．f（x）在单调递减 题型9 正切函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 正切函数的值域 正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R． 【典例1】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式1】给出下列结论，其中不正确的结论是（　　） A．函数的最大值为 B．函数的定义域为，一个周期为π C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝logax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称 D．已知函数y＝2cos（ωx+φ）为R上的奇函数且最小正周期为π，则 【变式2】函数的定义域为　　 ． 题型10 正切函数的单调性和周期性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 正切函数的周期性 正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx． 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域为 B．f（x）的最小正周期为8 C．f（1）＞f（﹣2） D．f（x）的图象关于点对称 【变式2】给出下列四个结论，其中正确的是（　　） A．若α，β为第一象限角，且α＜β，则tanα＜tanβ B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为π 题型11 正切函数的奇偶性与对称性 解｜题｜知｜识 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解． 2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．快到2026年元旦假期了，2026°是第三象限角 B．若α是第二象限角，则在第二象限 C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D．设函数（ω＞0）的图象的一个对称中心为，则f（x）的周期可能是 【变式1】关于函数，下列说法中正确的有（　　） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 过 关 验 收 1．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点对称 C．是f（x）图象的一条对称轴 D．f（x）在上单调 2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，时函数图像位于最低点，则　　 ． 3．已知函数的最小正周期为π． （1）求的值； （2）求函数f（x）单调递增区间； （3）求f（x）在区间上的最值以及相应x的取值． 4．已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣m，x∈[0，]有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1+2x2+x3＝（　　） A． B． C．2π D． 5．已知函数，若f（x）在区间[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是 　 　 ． 6．已知函数的最小正周期为． （1）求实数ω的值； （2）若函数f（x）在[m，n]（m，n∈R，m＜n）上恰有8个零点，求n﹣m的最小值； （3）设函数，证明：h（x）有且只有一个零点x0 7．已知函数f（x）＝cos（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点，且对任意，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，则ω的取值范围是　 　 ． 8．已知函数． （1）若关于x的方程f（x）+m+1＝0在时有实数根，求实数m的取值范围； （2）若函数y＝f（x）+a（a∈R）在上有3个零点x1，x2，x3，（其中x1＜x2＜x3），求f（x1+2x2+x3）的值． 9．已知函数，其中ω＞0． （1）若f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时f（x）的值域； （2）若函数f（x）在开区间内恰有3个零点，求ω的取值范围． 10．已知函数部分图像如图所示． （1）求ω和φ值； （2）求函数f（x）在[﹣π，π]上的单调递增区间； （3）设，已知函数g（x）＝2φ2（x）﹣3φ（x）+2a﹣1在上存在零点，求实数a最小值和最大值． 11．已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则ω的所有可能取值之和是（　　） A．6 B． C． D．16 12．已知函数． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）当时，求f（x）的最大值和最小值． 13．下列结论正确的是（　　） A．函数的最小正周期是2π B．函数y＝sin2x+x3是奇函数 C．函数在区间单调递减 D．若直线y＝t与函数y＝tan2x相交于两点P（x1，t），（x2，t），则|PQ|的最小值为 14．（1）已知tanα＝3，求5sin2α+3sinαcosα﹣2的值； （2）求函数的单调递增区间． 15．已知点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．下列命题中正确的是（　　） A．点（，0）是函数的一个对称中心 B．函数f（x）＝lg（x2+ax+a）的值域为R，则a≥4或a≤0 C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 D．tan1.5＞sin1.5＞cos1.5 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 三角函数的图象和性质 内 容 导 航 题型1 正弦函数的图象 题型2 正弦函数的定义域和值域 题型3 余弦函数的定义域和值域 题型4 三角函数的周期性 题型5 正弦函数的单调性 题型6 正弦函数的奇偶性和对称性 题型7 余弦函数的单调性 题型8 余弦函数的对称性 题型9 正切函数的定义域和值域 题型10 正切函数的单调性和周期性 题型11 正切函数的奇偶性与对称性 考 点 演 练 题型1 正弦函数的图象 解｜题｜知｜识 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z） 最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 【典例1】已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜π），则“函数f（x）的图象的一条对称轴为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解答】解：因为函数f（x）图象的一条对称轴为x，所以2φkπ，k∈Z； 解得φkπ，k∈Z； 又因为|φ|＜π，所以φ或， 因此“函数f（x）的图象的一条对称轴为x”是“φ”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】若，，c＝sin3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【答案】A 【解答】解：由logπ1＝0，0＜c＝sin3＜1，1＝30，即a＜c＜b． 故选：A． 【变式2】在[0，2π]内函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，，解得， 所以，即函数定义域为． 故选：C． 【变式3】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确， 当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx， 则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误， 当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx， 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π， 由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误， 当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确， 故正确的是①④， 故选：C． 题型2 正弦函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 【典例1】函数y的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵2sinx﹣1≥0，∴，∴（k∈Z）， 故选：B． 【变式1】已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{y|y＝2sinx}，则A∪B＝（　　） A．[﹣2，3） B．（﹣3，2] C．（﹣6，2] D．[﹣2，6） 【答案】D 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|（x﹣6）（x+1）}＝{x|﹣1＜x＜6}， 集合B＝{y|y＝2sinx}＝{y|﹣2≤y≤2}， 根据并集的定义，则A∪B＝[﹣2，6）． 故选：D． 【变式2】若“∃x∈（0，π），sin2x﹣ksinx＜0”为假命题，则k的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，2） 【答案】A 【解答】解：∵“∃x∈（0，π），sin2x﹣ksinx＜0”为假命题， ∴对任意x∈（0，π），sin2x﹣ksinx≥0，即k2cosx． ∵对任意x∈（0，π），cosx∈（﹣1，1），2cosx∈（﹣2，2）， ∴k≤﹣2， 故选：A． 【变式3】函数的值域是　 　 ． 【答案】{y|y≥0或y≤﹣2}． 【解答】解：由可得sinx， 根据正弦函数性质可知，||≤1且， 所以|y﹣1|≤|2y+1|且2y﹣2≠2y+1， 解得y≥0或y≤﹣2． 故答案为：{y|y≥0或y≤﹣2}． 题型3 余弦函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 【典例1】y＝cos（x）在[0，]上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴， ∴ 即， 故选：C． 【变式1】计算：． 【答案】． 【解答】解： ． 【变式2】已知函数． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）求函数f（x）在上的值域； （3）求f（x）＜﹣1在[﹣π，π]的解集． 【答案】（1）； （2）[﹣2，1]； （3）． 【解答】解：（1）由余弦型函数的性质，令， 解得， 所以函数f（x）的单调递减区间为． （2）因为，所以， 可得，则， 即函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]． （3）由题设，即， 因为x∈[﹣π，π]，所以， 所以， 可得． 所以不等式解集为． 题型4 三角函数的周期性 解｜题｜知｜识 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【典例1】已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜π），则“函数f（x）的图象的一条对称轴为”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解答】解：因为函数f（x）图象的一条对称轴为x，所以2φkπ，k∈Z； 解得φkπ，k∈Z； 又因为|φ|＜π，所以φ或， 因此“函数f（x）的图象的一条对称轴为x”是“φ”的必要不充分条件． 故选：B． 【变式1】若，，c＝sin3，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【答案】A 【解答】解：由logπ1＝0，0＜c＝sin3＜1，1＝30，即a＜c＜b． 故选：A． 【变式2】在[0，2π]内函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意得，，解得， 所以，即函数定义域为． 故选：C． 【变式3】关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论： ①f（x）是偶函数 ②f（x）在区间（，π）单调递增 ③f（x）在[﹣π，π]有4个零点 ④f（x）的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确， 当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx， 则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误， 当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx， 由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π， 由f（x）是偶函数，得在[﹣π，0）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误， 当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确， 故正确的是①④， 故选：C． 题型5 正弦函数的单调性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 【典例1】若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A．（0，1） B． C．（0，1] D．[1，+∞） 【答案】C 【解答】解：由于函数在区间上单调递增，而ωx∈[，]， 故有ω＞0，且，求得0＜ω≤1， 则ω的取值范围是（0，1]． 故选：C． 【变式1】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴，且f（x）在上不单调，则ω的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：因为为f（x）的零点，为f（x）图象的对称轴， 所以，即， 所以ω＝2（2k+1）＝4k+2（k∈Z）． 因为，所以f（x）在上不单调， 当ω＝2时，由为f（x）的零点可得，， 因为，所以． 因为在上不单调，所以ω的最小值为2． 故选：B． 【变式2】函数在上存在零点，且在上单调，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当时，， ∵f（x）在上存在零点， 所以， ∴ω＞2， 又f（x）在上单调， 所以，即2＜ω≤3， 此时， 由2＜ω≤3可得， 解得， 综上，． 故选：B． 【变式3】sin1，cos1，tan1，1的大小关系是（　　） A．tan1＞1＞cos1＞sin1 B．tan1＞1＞sin1＞cos1 C．1＞tan1＞sin1＞cos1 D．1＞sin1＞cos1＞tan1 【答案】B 【解答】解：因为，所以1弧度为第一象限角， 在第一象限，y＝tanx单调递增，所以tan1＞tan45°＝1； 在第一象限，y＝cosx单调递减，所以， 在第一象限，y＝sinx单调递增，所以； 综上所述，有tan1＞1＞sin1＞cos1． 故选：B． 题型6 正弦函数的奇偶性和对称性 解｜题｜知｜识 正弦函数的对称性 正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z． 【典例1】（多选）25．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．点为曲线y＝f（x）的一个对称中心 C．直线为曲线y＝f（x）的一条对称轴 D．函数f（x）在区间上单调递减 【答案】AC 【解答】解：对于A，由图象可得，f（x）min＝﹣2，f（x）max＝2，所以A＝2， 因为阴影部分的面积为4π，可得4T＝4π，所以T＝π，选项A正确； 对于B，由T＝π，可得ω＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ）， 将点（0，1）代入，可得f（x）＝2sinφ＝1，即， 因为，所以，所以， 令，可得， 取k＝0，可得，对称中心为； 取k＝1，可得，对称中心为， 所以点不是曲线y＝f（x）的对称中心，选项B错误； 对于C，由，可得， 取k＝1，可得，所以直线为曲线y＝f（x）的一条对称轴，选项C正确； 对于D，由，可得， 当k＝1时，可得，函数f（x）在区间内单调递增， 因为，所以函数f（x）在区间上单调递增，选项D错误． 故选：AC． 【变式1】下面关于叙述中正确的是（　　） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．函数是奇函数 【答案】ACD 【解答】解：∵， ∴f（）＝2sin0＝0， ∴f（x）的图象关于点对称，A正确，B错误； 当x∈[0，]时，2x∈[，]⊆[，]， ∴f（x）在区间上单调递增，C正确； 又2sin[2（x）]＝2sin2x为奇函数，D正确． 故选：ACD． 【变式2】已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点对称，则φ的值为　 ． 【答案】． 【解答】解：因为函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又0＜φ＜π，所以． 故答案为：． 【变式3】已知函数（其中0＜ω＜3），直线是函数f（x）图象的一条对称轴． （1）求f（x）的解析式； （2）求不等式f（x）≥1的解集； （3）函数，求g（x）在区间上的值域． 【答案】（1）； （2）[kπ，kπ]，k∈Z； （3）． 【解答】解：（1）根据， 可知f（x）图象的对称轴满足， 代入，可得， 结合0＜ω＜3，取k＝0，可得ω＝2，所以； （2）不等式f（x）≥1，即，化简得， 结合正弦函数的性质，可得， 解得； （3）注意到， 可得， 设，则 ＝2sin（2x）+cos（4x）＝2sint+1﹣2sin2t＝﹣2sin2t+2sint+1， 当时，，可得sint∈[0，1]， 结合二次函数的性质，可知sint时，g（x）max， 当sint＝0或1时，g（x）min＝1，可得g（x）的值域为． 题型7 余弦函数的单调性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 【典例1】函数的单调递增区间是（　　） A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 【答案】C 【解答】解：设t＝2x，可得y＝cost的递增区间满足t∈[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z， 由，k∈Z，可得，k∈Z， 解得，所以的递增区间是，k∈Z． 故选：C． 【变式1】已知函数，则（　　） A．为f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于直线对称 C．为f（x）的一个零点 D．f（x）在区间单调递增 【答案】BD 【解答】解：函数， Tπ，所以不是f（x）的一个周期，A错误； 令，解得， 则f（x）的图象关于直线对称，B正确； 因为，所以不是f（x）的一个零点，C错误； 当时，，因为y＝cosx在[﹣π，0]上单调递增， 所以f（x）在区间单调递增，D正确． 故选：BD． 【变式2】设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω，φ是常数）．若f（x）在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的周期为π B．f（x）的单调递减区间为 C．f（x）的对称轴为 D．f（x）的图象可由g（x）＝sinωx的图象向左平移个单位得到 【答案】AB 【解答】解：依题意函数f（x）的单调性， 所以：． 由于，故，所以f（x）关于点对称， 同理，所以f（x）关于直线对称． 所以，ω＝4（k2﹣k1）﹣2，所以ω＝2． ． ． 所以f（x）的最小正周期为，A选项正确． ， 所以f（x）的单调递减区间为，B选项正确． ， 所以f（x）的对称轴为，C选项错误． sin2x向左平移个单位得到f（x），D选项错误． 故选：AB． 【变式3】已知，则锐角A的取值范围是　 　 ． 【答案】（20°，30°）． 【解答】解：由题意A是锐角， 又因为， 由余弦函数的单调性可得20°＜A＜30°， 即锐角A的取值范围是（20°，30°）． 故答案为：（20°，30°）． 题型8 余弦函数的对称性 解｜题｜知｜识 余弦函数的对称性 余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴． 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．是f（x）的一个周期 B．f（x）的图象关于点对称 C．为奇函数 D．f（x）在区间上的最大值为3 【答案】BD 【解答】解：对于A：函数f（x）的最小正周期为，故A错误； 对于B：因为，所以f（x）的图象关于点对称，故B正确； 对于C：由于g（x），故g（﹣x）≠﹣g（x）不是奇函数，故C错误； 对于D：当时，， 所以当，即时，f（x）取得最大值3，故D正确． 故选：BD． 【变式1】设函数f（x）＝cos（2x），则（　　） A．f（x）的一个周期为﹣π B．y＝f（x）的图象关于直线x对称 C．f（x）的一个零点为x D．f（x）在单调递减 【答案】ABC 【解答】解：则，故f（x）的一个周期为﹣π，故A正确； 因为，故y＝f（x）的图象关于直线对称，故B正确； ，故f（x）的一个零点为，故C正确． 当时，，函数先增后减，故D错误． 故选：ABC． 题型9 正切函数的定义域和值域 解｜题｜知｜识 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． 正切函数的值域 正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R． 【典例1】函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为函数y＝tan（2x），令2xkπ，k∈Z， 解得x，k∈Z， 所以函数y＝tan（2x）的定义域为． 故选：A． 【变式1】给出下列结论，其中不正确的结论是（　　） A．函数的最大值为 B．函数的定义域为，一个周期为π C．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax（a＞0且a≠1）与y＝logax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称 D．已知函数y＝2cos（ωx+φ）为R上的奇函数且最小正周期为π，则 【答案】AD 【解答】解：对于A选项，由于﹣x2+1≤1，所以，所以A选项错误． 对于B选项，由解得， 所以定义域为，最小正周期为， 所以其中一个周期为π，所以B选项正确． 对于C选项，同底的指数函数和对数函数的图象关于直线y＝x对称，所以C选项正确． 对于D选项，依题意，所以D选项错误． 故选：AD． 【变式2】函数的定义域为　　 ． 【答案】 【解答】解：要使函数有意义，需 ， 解得 故答案为． 题型10 正切函数的单调性和周期性 解｜题｜知｜识 三角函数的单调性的规律方法 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． 正切函数的周期性 正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx． 【典例1】已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．f（x）的定义域为 B．f（x）的最小正周期为8 C．f（1）＞f（﹣2） D．f（x）的图象关于点对称 【答案】D 【解答】解：函数， A，令，解得，故A错误； B，最小正周期，故B错误； C，，因为， 所以f（1）＜0；， 因此f（1）＜f（﹣2），故C错误； D，令，解得，此时f（x）＝﹣1， 所以函数图象关于点对称，当k＝0时，对称中心为，故D正确． 故选：D． 【变式2】给出下列四个结论，其中正确的是（　　） A．若α，β为第一象限角，且α＜β，则tanα＜tanβ B．函数的定义域为 C．函数在上的最大值为 D．函数的最小正周期为π 【答案】B 【解答】解：对于A，令α＝60°，β＝390°，满足α＜β，但tanα＞tanβ，故A错误； 对于B，函数， 令，解得x， 故函数y的定义域为{x|x}，故B正确； 对于C，当x时，函数y＝tan，故C错误； 对于D，函数的最小正周期为，故D错误． 故选：B． 题型11 正切函数的奇偶性与对称性 解｜题｜知｜识 三角函数的奇偶性、周期性和对称性 1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解． 2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．快到2026年元旦假期了，2026°是第三象限角 B．若α是第二象限角，则在第二象限 C．已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D．设函数（ω＞0）的图象的一个对称中心为，则f（x）的周期可能是 【答案】ACD 【解答】解：A：2026°＝5×360°+226°位于第三象限，故A正确； 对于B：若α是第二象限角，则是第三象限角，π+α是第四象限角， ，在第三象限，故B错误； 对于C：设扇形半径为r，圆心角为θ，则且2r+rθ＝10， 解得或θ＝8，又扇形圆心角小于2π，所以，故C正确； 对于D：令得ω＝3k+2（k为整数）， 周期，当k＝1时，，故D正确． 故选：ACD． 【变式1】关于函数，下列说法中正确的有（　　） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π 【答案】BCD 【解答】解：A中，的定义域满足xkπ，k∈Z，即xkπ，k∈Z， 所以定义域为{x|kπ，k∈Z）不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； B，函数的单调递增区间满足：， 得 ）为该函数的单调递增区间， 令k＝0，得，故B正确； C，函数的对称中心的横坐标满足：，得， 令k＝1，得，故 为其图象的一个对称中心，故C正确； D．函数 的最小正周期为Tπ，故D正确． 故选：BCD． 过 关 验 收 1．已知函数，则（　　） A．f（x）的最小正周期为π B．f（x）的图象关于点对称 C．是f（x）图象的一条对称轴 D．f（x）在上单调 【答案】AB 【解答】解：因为， 所以f（x）的最小正周期为π，所以A选项正确； 又f（）＝0，所以f（x）的图象关于点对称，所以B选项正确； 又f（）＝5±5，所以x不是f（x）图象的一条对称轴，所以C选项错误； 若x∈，则2x∈（，）， 所以f（x）在上不单调，所以D选项错误． 故选：AB． 2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）的最小正周期为π，时函数图像位于最低点，则　　 ． 【答案】1． 【解答】解：由题意，ω＝±2，则f（x）＝sin（±2x+φ）， 当ω＜0时，根据时函数图像位于最低点， 可得， 故， 当ω＞0时，根据时，函数图象位于最低点，可得， 所以， 综上，． 故答案为：1． 3．已知函数的最小正周期为π． （1）求的值； （2）求函数f（x）单调递增区间； （3）求f（x）在区间上的最值以及相应x的取值． 【答案】（1）； （2）； （3）f（x）的最大值为3，此时；最小值为，此时． 【解答】解：（1）由题意，可得， 可得ω＝2， 所以， 可得； （2）令，解得， 所以f（x）的单调递增区间为； （3），则， 当，即时，； 当，即时，； 所以f（x）的最大值为3，此时；最小值为，此时． 4．已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣m，x∈[0，]有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1+2x2+x3＝（　　） A． B． C．2π D． 【答案】B 【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x）﹣m，x∈[0，]有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3， 令z＝2x，将函数f（x）＝2sin（2x）﹣m的零点问题，转化为函数y＝sinz，z∈[，]的图象与直线y的交点横坐标问题进行研究．如图所示， 由y＝sinz的图象对称性可知，z1+z2＝π，z2+z3＝3π，所以，z1+2z2+z3＝4π， 又∵z1+2z2+z3＝2x14x22x32（x1+2x2+x3）4π， ∴x1+2x2+x3． 故选：B． 5．已知函数，若f（x）在区间[0，π]上恰有3个零点，则ω的取值范围是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：令f（x）＝0，得，故（）． 当x∈[0，π]时，． 要使f（x）在[0，π]上恰有3个零点，需该区间包含0，π，2π且不包含3π，即：， 解得，所以ω的取值范围是． 故答案为：． 6．已知函数的最小正周期为． （1）求实数ω的值； （2）若函数f（x）在[m，n]（m，n∈R，m＜n）上恰有8个零点，求n﹣m的最小值； （3）设函数，证明：h（x）有且只有一个零点x0 【答案】（1）4； （2）； （3）证明：． ①当x∈（0，2]时，函数h（x）单调递增，因为， 所以，根据零点存在定理，使得h（x0）＝0． 故h（x）在（0，2]上有且只有一个零点x0； ②当x∈（2，e]时，因为y＝lnx单调递增，单调递减， ，所以h（x）＞0． 故h（x）在（2，e]上不存在零点； ③当x∈（e，+∞）时，因为y＝lnx单调递增， lnx＞lne＝1，因为，所以h（x）＞0． 故h（x）在（e，+∞）上不存在零点； 综上，h（x）有且只有一个零点x0． 【解答】解：（1）因为函数的最小正周期为， 所以，解得ω＝4． （2）由（1）可得，函数． 令f（x）＝0，解得或． 要使n﹣m最小，则m，n均为f（x）的零点． 若，则大于m的7个f（x）的零点为：． 则此时； 若，则大于m的7个f（x）的零点为：． 则此时． 因为，所以n﹣m的最小值为． （3）证明：． ①当x∈（0，2]时，函数h（x）单调递增，因为， 所以，根据零点存在定理，使得h（x0）＝0． 故h（x）在（0，2]上有且只有一个零点x0； ②当x∈（2，e]时，因为y＝lnx单调递增，单调递减， ，所以h（x）＞0． 故h（x）在（2，e]上不存在零点； ③当x∈（e，+∞）时，因为y＝lnx单调递增， lnx＞lne＝1，因为，所以h（x）＞0． 故h（x）在（e，+∞）上不存在零点； 综上，h（x）有且只有一个零点x0． 7．已知函数f（x）＝cos（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点，且对任意，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，则ω的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，，0＜φ＜π，则，则， 由都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，又ω＞0， 所以f（x）在上单调递增，此时， 所以，可得， 当k＝﹣1有，当k＝0有， 当k＝1有，当k≥2有， 又ω＞0，所以ω∈． 故答案为：． 8．已知函数． （1）若关于x的方程f（x）+m+1＝0在时有实数根，求实数m的取值范围； （2）若函数y＝f（x）+a（a∈R）在上有3个零点x1，x2，x3，（其中x1＜x2＜x3），求f（x1+2x2+x3）的值． 【答案】（1）； （2）﹣2． 【解答】解：（1）将方程f（x）+m+1＝0变形为，即， 因为，即当时，，则， 因为， 故，所以． （2）因为y＝f（x）+a在上有3个零点， 则在上有3个根， 令，由，可得， 问题转化为在上有3 个根． 可得t1+t2＝0，t2+t3＝2π，则t1+2t2+t3＝2π， 故， 即， 所以． 9．已知函数，其中ω＞0． （1）若f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时f（x）的值域； （2）若函数f（x）在开区间内恰有3个零点，求ω的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由题意得f（x）的最小正周期为T＝2π， 结合π，解得ω＝2，所以， 当时，，可得， 所以，即f（x）在[0，]上的值域为； （2）当时，， 若f（x）在开区间内恰有3个零点，则，解得． 即实数ω的取值范围是． 10．已知函数部分图像如图所示． （1）求ω和φ值； （2）求函数f（x）在[﹣π，π]上的单调递增区间； （3）设，已知函数g（x）＝2φ2（x）﹣3φ（x）+2a﹣1在上存在零点，求实数a最小值和最大值． 【答案】（1）ω＝2，； （2）单调递增区间为，，； （3）最小值为，最大值为． 【解答】解：（1）由图像可知：，所以T＝π，则ω＝2， 又，k∈Z，得， 又，所以． （2）． 令，k∈Z，解得：，k∈Z． 令k＝﹣1，得， 因﹣π≤x≤π，则， 令k＝0，得， 令k＝1，得， 因﹣π≤x≤π，则， 所以f（x）在[﹣π，π]上的单调递增区间为，，． （3）， 则． 由函数g（x）在上存在零点， 则，在上有解， 令，由，则，即t∈[0，1]， 则， 所以，即， 故a最小值为，最大值为． 11．已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则ω的所有可能取值之和是（　　） A．6 B． C． D．16 【答案】D 【解答】解：已知函数6sin（）恰有两个对称中心在区间上， 且， 则其最小正周期， 又可得， 即，解得3≤ω＜9，又， 则当是函数f（x）图象对称轴时，，解得， 此时k＝1或k＝2，或； 当与为周期长的区间两个端点时，，解得ω＝6，符合题意， 所以ω的所有可能取值之和是． 故选：D． 12．已知函数． （1）求函数f（x）的单调递减区间； （2）当时，求f（x）的最大值和最小值． 【答案】（1）（k∈Z）； （2）最大值为2，最小值为． 【解答】解：（1）由题意，函数， 令，k∈Z， 可得，k∈Z， 所以函数f（x）的单调递减区间为（k∈Z）； （2）由已知， 可得， 可得， 可得， 可得， 所以当，即时，函数f（x）取最大值，最大值为2， 当，即时，函数f（x）取最小值，最小值为 13．下列结论正确的是（　　） A．函数的最小正周期是2π B．函数y＝sin2x+x3是奇函数 C．函数在区间单调递减 D．若直线y＝t与函数y＝tan2x相交于两点P（x1，t），（x2，t），则|PQ|的最小值为 【答案】BCD 【解答】解：函数的最小正周期，A错误； 令y＝f（x）＝sin2x+x3，其定义域为R， 又f（﹣x）＝﹣sin2x﹣x3＝﹣（sin2x+x）＝﹣f（x）， 故函数y＝sin2x+x3是奇函数，B正确； 由，得2x∈（，π）⊆（0，π）， 故函数在区间上单调递减，C正确； 由直线y＝t与函数y＝tan2x相交于两点P（x1，t），Q（x2，t）， 得，则|PQ|的最小值为，D正确． 故选：BCD． 14．（1）已知tanα＝3，求5sin2α+3sinαcosα﹣2的值； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为5sin2α+3sinαcosα， 所以5sin2α+3sinαcosα﹣22； （2）对于函数， 由，解得， 所以函数f（x）的单调递增区间为． 15．已知点（a，0）（a＞0）是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：令，解得， 函数的对称中心为， 因为点（a，0）是函数的对称中心，且a＞0，所以， 当k＝0时，a取得最小值，其最小值为， 所以实数a的最小值为． 故选：A． 16．下列命题中正确的是（　　） A．点（，0）是函数的一个对称中心 B．函数f（x）＝lg（x2+ax+a）的值域为R，则a≥4或a≤0 C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形面积为 D．tan1.5＞sin1.5＞cos1.5 【答案】ABD 【解答】解：对于A，令，得，k∈Z， 当k＝1时，，所以点是函数f（x）的图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为函数f（x）＝lg（x2+ax+a）的值域为R，所以Δ＝a2﹣4a≥0，解得a≤0或a≥4，故B正确； 对于C，圆心角为的扇形的弧长为π，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以tan1.5＞sin1.5＞cos1.5，故D正确． 故选：ABD． 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