4.1函数 同步讲解 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦函数核心知识，系统梳理常量与变量的定义及判断方法，函数概念的三要素（两变量、变化关系、唯一对应），函数关系式的构建，自变量取值范围的确定规则，函数值的计算，函数图象的意义及应用，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如加油机金额与数量关系）和数学模型（圆周长公式），通过辨析题、图表分析题培养学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维推理变量关系，用数学语言表达函数规律。课中辅助教师突破抽象概念教学，课后助力学生通过分层练习巩固知识，查漏补缺。

北师大版（2024）八年级上册4.1函数 【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025春•尉氏县期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（　　） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2.（2025春•衡阳期中）对于圆的周长公式C=2πr,下列说法正确的是（　　） A．π，r是变量，C，2是常量 B．r是变量，C，π是常量 C．C是变量，π，r是常量 D．C，r是变量，2，π是常量 3.（2023春•沈丘县期中）某公交车每月的支出为2000元，每月利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，因变量是 ______． 4.（2023春•河口区期末）自变量x与因变量y的关系如图，当x每增加1时，y增加______． 【知识点2】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1.（2025秋•金水区校级期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2.（2025春•泉州期中）如图，分别给出了变量y与x之间的相应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 3.向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径从2cm变成5cm时，面积从4πcm2变成______cm2．这一变化过程中，______是自变量，面积是自变量的函数． 4.三角形的底边长为a,底边上的高为3，则这个三角形的面积A=______，其中 ______和 ______是变量，我们称 ______是 ______的函数；其中自变量是 ______，因变量是 ______． 【知识点3】函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数． 1.（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y=5x+6 B．y=12x+30 C．y=8x+12 D．y=30x+60 2.（2025秋•兴庆区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是60km/h,则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的关系式为 ______． 【知识点4】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1.（2025春•石家庄校级期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x＞0 C．x≥1 D．x＜0 2.（2024秋•通河县期末）在函数中，自变量x的取值范围是______． 3.（2025春•让胡路区校级月考）函数表达式中的自变量x的取值范围是______． 【知识点5】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1.（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． t/min 0 6 12 18 y/m 200 80 40 160 根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间t是（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 2.（2024春•威远县校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 3.（2025春•徐汇区校级期中）已知，那么f（-1）= ______． 【知识点6】函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 1.（2025春•新华区校级期末）在一定的温度、湿度及通风的环境下，某孵化实验室孵化小鸡的数量关于时间的趋势图如图所示，预计当t=16时，孵化量为（　　） A．26只 B．30只 C．40只 D．50只 2.（2025•鄂尔多斯一模）5月12日，抚州市某中学进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3.（2023春•涪城区期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多 ______元． 北师大版（2024）八年级上册4.1函数 (参考答案) 【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025春•尉氏县期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的某一时刻数据显示牌，则其中的变量是（　　） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】D 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D． 2.（2025春•衡阳期中）对于圆的周长公式C=2πr,下列说法正确的是（　　） A．π，r是变量，C，2是常量 B．r是变量，C，π是常量 C．C是变量，π，r是常量 D．C，r是变量，2，π是常量 【答案】D 【分析】利用变量和常量的定义进行判断． 【解答】解：对于圆的周长公式C=2πr,C和r为变量，2和π为常量． 故选：D． 3.（2023春•沈丘县期中）某公交车每月的支出为2000元，每月利润随着乘车人数的变化而变化，在这个变化中，因变量是 ______． 【答案】每月利润． 【分析】根据函数的定义即可确定因变量． 【解答】解：根据函数的定义可知， 利润随着乘车人数的变化而变化， 则利润是因变量， 故答案为：每月利润． 4.（2023春•河口区期末）自变量x与因变量y的关系如图，当x每增加1时，y增加______． 【答案】2． 【分析】根据题意计算出x+1时y的值，然后求差即可． 【解答】解：当x增加1变为x+1， 则y变为y1=2（x+1）+10=2x+2+10=2x+12， ∴y1-y=2x+12-（2x+10）=2x+12-2x-10=2， 故答案为：2． 【知识点2】函数的概念 函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量． 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 1.（2025秋•金水区校级期中）下列曲线中，表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义解答即可． 【解答】解：A、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； B、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； C、不能表示y是x的函数，故此选项不合题意； D、能表示y是x的函数，故此选项符合题意； 故选：D． 2.（2025春•泉州期中）如图，分别给出了变量y与x之间的相应关系，y不是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在某个变化过程中，有两个变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，这就是函数，利用函数的唯一性，有唯一的一个值来跟自变量对应． 【解答】解：给一个x值，有唯一的y值来跟x对应才行． 选项A．C．D中给定一个x值，y都是唯一，所以y是x的函数， 选项B中，给定一个x值，y不唯一，所以y不是x的函数， 故选：B． 3.向平静的水面投入一枚石子，在水面会激起一圈圈圆形涟漪，当圆形涟漪的半径从2cm变成5cm时，面积从4πcm2变成______cm2．这一变化过程中，______是自变量，面积是自变量的函数． 【答案】25；半径． 【分析】先列出在这一变化过程中两圆的面积公式即可求解． 【解答】解：当r=2时，圆的面积为4π， 当r=5时，圆的面积为25π， 这一变化过程中半径是自变量， 故答案为：25；半径． 4.三角形的底边长为a,底边上的高为3，则这个三角形的面积A=______，其中 ______和 ______是变量，我们称 ______是 ______的函数；其中自变量是 ______，因变量是 ______． 【答案】a，A，a，a，A． 【分析】根据三角形的面积公式及变量、函数、自变量和因变量的定义作答即可． 【解答】解：根据三角形面积公式，得A=×3a=a,其中A和a是变量，我们称A是a的函数；其中自变量是a,因变量是A． 故答案为：a,A，a,a,A． 【知识点3】函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 注意： ①函数解析式是等式． ②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y=x+9时表示y是x的函数，若写成x=-y+9就表示x是y的函数． 1.（2024春•商河县期中）为打造“比、学、赶、帮、超”良好的班风和浓厚的学风，数学白老师为8班孩子购买了5包卡通橡皮和x包表扬信，卡通橡皮每包12元，表扬信每包30元，共花费y元，则关系式为（　　） A．y=5x+6 B．y=12x+30 C．y=8x+12 D．y=30x+60 【答案】D 【分析】根据题意正确列式即可． 【解答】解：由题意可知，y=30x+5×12=30x+60， 故选：D． 2.（2025秋•兴庆区校级期中）汽车由A地驶往相距120km的B地，它的平均速度是60km/h,则汽车距B地路程s（km）与行驶时间t（h）的关系式为 ______． 【答案】s=120-60t 【分析】根据汽车距B地路程s（km）是总路程与路程的差，求解即可． 【解答】解：由题意知，s=120-60t, 故答案为：s=120-60t. 【知识点4】函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y=2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y=x+2x-1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 1.（2025春•石家庄校级期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x＞0 C．x≥1 D．x＜0 【答案】C 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 【解答】解：∵有意义， ∴x-1≥0， 解得：x≥1， ∴函数的自变量x的取值范围是x≥1， 故选：C． 2.（2024秋•通河县期末）在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】x≠2 【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的取值范围． 【解答】解：∵x-2≠0， ∴自变量x的取值范围是x≠2． 故答案为：x≠2． 3.（2025春•让胡路区校级月考）函数表达式中的自变量x的取值范围是______． 【答案】x≠-2． 【分析】求函数自变量的取值范围就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不能为0，依此进行计算即可得到答案． 【解答】解：根据题意可得：x+2≠0， 解得：x≠-2． 故答案为：x≠-2． 【知识点5】函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 1.（2023秋•皇姑区校级期中）一条观光船沿直线向码头游览前进，到达码头后立即原路返回，全程保持匀速行驶．下表记录了4个时间点对应的观光船与码头的距离，其中t表示时间，y表示观光船与码头的距离． t/min 0 6 12 18 y/m 200 80 40 160 根据表格中数据推断，观光船到达码头的时间t是（　　） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】由表格数据列得函数关系式，然后令y=0时，求得对应的t的值即可． 【解答】解：由表格数据可得，观光船形式6min时，行驶路程为200-80=120（m）， 则其速度为120÷6=20（m/min）， 那么y关于t的函数关系式为：y=200-20t, 令y=0，即200-20t=0， 解得：t=10， 即观光船到达码头的时间t是10， 故选：B． 2.（2024春•威远县校级期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．若输入x的值为2时，则输出y的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 【答案】C 【分析】根据数值转换机当输入的数为4时，求出b的值，再输入2进行计算即可． 【解答】解：当输入x的值为4时，输出的y的值为5，即2×4+b=5， 所以b=-3，∴当x≤3时，y=-3x+3， 当x=2时，y=-3×2+3=-3， 故选：C． 3.（2025春•徐汇区校级期中）已知，那么f（-1）= ______． 【答案】． 【分析】根据题意即可得出答案． 【解答】解：原式=． 故答案为：． 【知识点6】函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．． 1.（2025春•新华区校级期末）在一定的温度、湿度及通风的环境下，某孵化实验室孵化小鸡的数量关于时间的趋势图如图所示，预计当t=16时，孵化量为（　　） A．26只 B．30只 C．40只 D．50只 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据可知每过2个小时，孵化量增加约5只，然后即可判估算当t=16时的孵化量． 【解答】解：由函数图象可知， 每过2个小时，孵化量增加约5只， ∴当t=16时，孵化量约为40只， 故选：C． 2.（2025•鄂尔多斯一模）5月12日，抚州市某中学进行了全校师生防灾减灾大演练，警报拉响后同学们匀速跑步到操场，在操场指定位置清点人数后，再沿原路匀速步行回教室，同学们离开教学楼的距离y与时间x的关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在每段中，离教学楼的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到操场，在这个阶段，离教学楼的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在操场停留了一段时间，这一阶段离教学楼的距离不随时间的变化而改变．故D错误； 第三阶段：沿原路匀速步行回教学楼，这一阶段，离教学楼的距离随时间的增大而减小，故A错误； 并且这段的速度小于第一阶段的速度，则C正确． 故选：C． 3.（2023春•涪城区期末）2022年4月7日，许昌市首批新能源出租车上路，新车空间更大，舒适度更高，受到大众欢迎．新车的收费方式也做了调整，新车的打车费用y（单位：元）与行驶里程x（单位：千米）的函数关系如图所示．老款出租的收费方式为：不超过2千米收费5元，超过2千米部分收费1.5元/千米，同时，每次再加收1元的燃料附加费．小明爸爸从家到公司打车上班的行驶里程为22千米，则他上班乘坐新车的打车费用比老款车多 ______元． 【答案】3． 【分析】根据两种单车的收费标准进行计算即可． 【解答】解：新车的费用为：7+20×=39（元）， 老款车的费用为：5+1.5×20+1=36（元）， 39-36=3（元）． 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $