专题11 认识一次函数（正比例函数）（重难点讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学一次函数（正比例函数）核心知识点，系统梳理定义（含解析式、x次数1、k≠0等关键点）、从属关系（正比例函数是b=0的一次函数）、k/b含义及取值要求，构建从概念理解到实际问题列解析式的学习支架。 资料通过结构化知识梳理（如高频易错点）和典型题型（判断、求参数、实际问题）设计，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中辅助教师系统授课，课后分层训练助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题11 认识一次函数（正比例函数） 1. 掌握一次函数、正比例函数的标准解析式，分清二者从属关系； 2. 能根据关系式判断是否为一次函数、正比例函数； 3. 理解一次函数中 k、b 的含义，掌握参数取值要求； 4. 能根据实际问题列出一次函数、正比例函数解析式； 5. 会利用定义求含参字母的值，解决月考高频定义类题型。 一、一次函数定义 若两个变量 x、y 的关系式可以写成：,，则称 y 是 x 的一次函数。 关键点： 1. 自变量 x 的次数必须是 1次 2. k 不能等于0 3. b 可以是任意常数（正数、负数、0都可以） 二、正比例函数定义 在一次函数中，当 b=0 时,时称 y 是 x 的正比例函数。 三、两者从属关系（必考判断题） 1. 正比例函数一定是一次函数 2. 一次函数不一定是正比例函数（只有 b=0 才是正比例函数） 四、一次函数、正比例函数结构要求 必须同时满足三条： 1. 是整式（分母不含x、根号不含x） 2. x 最高次数为 1 3. 一次项系数 k 五、常见不是一次函数的类型 1. y=（反比例、分式） 2. y=x²+1（二次、次数2） 3. y=（根式函数） 4. y=5（常数函数，无一次项） 六、参数含义 k：比例系数，决定增减性（本节只认定义，不研究图像） b：常数项，决定是否过原点 七、高频易错点 1. 判断一次函数 必须保证k 2. 正比例函数必须同时满足：一次函数, b=0 3. x 次数必须严格为1，多一次、少一次都不行 4. 含参题型：求出字母后务必回代检验 k≠0 题型01 判断是否为一次函数、正比例函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（    ） ①，②，③，④，⑤ A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，未知数的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； ③当k=0时，不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤未知数的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； 故选C． 【变式】下列函数：①；②；③；④.其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据用x表示成y的函数后，若符合y=kx（k≠0）的形式，是正比例函数解答即可． 【详解】解：①y=2x是正比例函数；②是正比例函数；③是一次函数；④二次函数． 故选B 题型02 根据一次函数定义求字母参数 【典例】已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义得出m2-8=1且m+3≠0，再求出m即可． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴m2-8=1且m+3≠0， 解得：m=3， 故选：D． 【变式】若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可得|m-2|=1且m-3≠0，由此求解即可得答案. 【详解】∵y=(m-3) +3是一次函数， ∴|m-2|=1，m-3≠0. ∴m=1． 题型03 根据正比例函数定义求参数（月考必考） 【典例】已知函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【答案】B 【详解】解：函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴m2﹣3=1，m+1＜0， 解得：m=±2，而2+1>0 则m的值是﹣2． 故选：B． 【变式】若函数是正比例函数，则________. 【答案】-3 【分析】根据正比例函数的定义求解． 【详解】根据正比例函数的定义， 可得：且，， ∴ ∴-3． 题型04 根据实际问题列一次函数解析式 【典例】太原市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为___． 【答案】y＝1.6x+3.2 【分析】根据题意找出等量关系即可列出函数关系式． 【详解】解：y＝8+1.6（x﹣3）＝1.6x+3.2， 故答案为y＝1.6x+3.2 【变式】张老师去银行存钱，大屏幕上显示一年期存款年利率为3.25%，如果张老师存入本金x元后，一年到期时的本息和为y元，那么y与x之间的函数关系是________. 【答案】 【分析】由于利息=本金×利率×时间，本息和为利息与本金的和，列式求解即可. 【详解】设本金为x元 ∵1年本息和=本金×（1+利率）， ∴一年后的本息和y=x×（1+3.25%）， 即y与x之间的函数关系是 【巩固训练】 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（    ）      A．4 B．10 C．19 D．21 【答案】A 【分析】根据程序框图，将代入求出的值，将代入即可求出的值． 【详解】当时，，解得：， 当时，． 故选：A． 2．正比例函数的图象经过点A（ -1，2  ）、B（a,-1）,则a的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】本题可设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于k、a的方程组，通过解方程组来求a的值． 【详解】设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），则 ， 解得． 故选C. 3．一次函数的图象经过原点，则k的值为　   　 A．2 B． C．2或 D．3 【答案】A 【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值． 【详解】把（0，0）代入y=（k+2）x+k2-4得k2-4=0，解得k=±2， 而k+2≠0， 所以k=2． 故选A． 4．在平面直角坐标系中，已知点在直线上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】将代入，变形即可得答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， 故选∶C． 5．如果点在直线上，那么点P到x轴的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把点代入直线求出k，即可点P到x轴的距离． 【详解】解：把点代入直线得： ， ∴点P到x轴的距离为． 故选：B ． 6．下列函数中，一次函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A.自变量x的次数为，不是一次函数，不符合题意； B.是一次函数，符合题意； C. 属于二次函数，不是一次函数，不符合题意； D.当时，（k、b是常数）是常函数，不符合题意，不符合题意． 故选B． 7．直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分别把，，代入中，求出对应的函数值即可判断求解，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点不在直线上； 当时，， ∴点和不在直线上； 当时，， ∴点在直线上； 故选：． 8．若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义可得|m-2|=1且m-3≠0，由此求解即可得答案. 【详解】∵y=(m-3) +3是一次函数， ∴|m-2|=1，m-3≠0. ∴m=1． 9．下列函数中，是一次函数的是（    ） ①，②，③，④，⑤ A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，未知数的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； ③当k=0时，不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ⑤未知数的次数不是1，不是一次函数，不符合题意； 故选C． 10．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（    ） A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 C．水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化 D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化 【答案】B 【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可． 【详解】解：A、正方形的面积S随着边长x的变化而变化的关系式，关系式为S＝x2，不是正比例函数，故错误； B、正方形的周长C随着边长x的变化而变化，关系式为C＝4x，是正比例函数，故正确； C、水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化，关系式为V＝10−0.5t，不是正比例函数，故错误； D、面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化的关系式为a＝，不是正比例函数，故错误． 故选：B． 【强化训练】 1．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式_____；这根蜡烛最多能燃烧的时间为_____分． 【答案】 60 【分析】根据表格可知蜡烛的长度是30厘米，2分钟燃烧1厘米，则t分钟燃烧的长度为0.5t厘米，根据题意可得等量关系：蜡烛剩余高度h＝原长度﹣燃烧的长度，根据等量关系再列出函数关系式；当h＝0时，求出t的值，就是这根蜡烛最多能燃烧的时间． 【详解】解：由题意得：h＝30﹣0.5t， 当h＝0时，30﹣0.5t＝0， 解得t＝60， 所以这根蜡烛最多能燃烧的时间为60分． 故答案为：y＝30﹣0.5t，60． 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键． 根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可． 【详解】解：是关于的一次函数， 且， 解得：， 一次函数解析式是， 故答案为：． 3．点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，一次函数上的点与其解析式的关系，根据题意，将点代入直线得到，恒等变形得到，整体代入代数式即可得到答案，熟练掌握整体代入求代数式值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：点在直线上， 将点代入直线得到， ， 故答案为：． 4．某水果批发市场香蕉的价格如下表. 购买香蕉数量x/kg 每千克价格/元 6 5 4 若王大妈去该市场购买香蕉，付了y元，则y与x之间的函数关系式是________. 【答案】 【分析】找到相应范围内的单价，等量关系为：购买香蕉总价钱=单价×数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵x大于40千克， ∴单价为4元， ∵数量为x千克， ∴y=4x． 故答案为y=4x． 5．如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x，的度数为y，则y与x之间的函数关系式为__. 【答案】 【分析】先根据角平分线定义得到∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，则利用三角形内角和得∠BPC=180°-（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=180°-∠A，所以∠BPC=90°+∠A，即y=90°+x． 【详解】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（∠ABC+∠ACB）， 而∠ABC+∠ACB=180°-∠A， ∴∠BPC=180°-（180°-∠A）=∠BPC=90°+∠A， 即y=90°+x． 6．写出下列各题中与之间的关系式，并判断：是否为的一次函数数？是否为正比例函数？ （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系； （2）圆的面积与它的半径之间的关系； （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，后这个水池内有水． 【答案】（1），是的一次函数，也是的正比例函数；（2），不是的正比例函数，也不是的一次函数；（3），是的一次函数，但不是的正比例函数 【分析】（1）由路程=速度×时间即可得出函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可； （2）由圆的面积公式可得出函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可； （3）这个水池每时增加水，xh增加水，可得函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可． 【详解】解：（1）由路程=速度×时间，得，是的一次函数，也是的正比例函数； （2）由圆的面积公式，得，不是的正比例函数，也不是的一次函数； （3）这个水池每时增加水，xh增加水，因而，是的一次函数，但不是的正比例函数． 7．已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式；   （2）当时，求的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点（2， －1）．求平移后直线的解析式． 【答案】（1）y=2x+3；（2）2；（3）y=2x-5 【分析】(1)根据题意设y与x的关系式为y-3=kx（k≠0）；然后利用待定系数法求一次函数解析式； (2)把代入一次函数解析式可求得； (3)因为函数图象平移，所以k不变，设平移后直线的解析式为y=2x+b，把点(2，-1)代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】解：(1)∵y-3与x成正比例， ∴设y-3=kx(k≠0)， 把x=2时，y=7代入，得7-3=2k，k=2； ∴y与x的函数关系式为：y=2x+3， 故答案为：y=2x+3； (2)当时代入，解得：， 故答案为：2； (3)∵函数图像平移， ∴k不变， 设平移后的函数解析式为：y=2x+b，代入点(2,-1)， ∴-1=2×2+b，解得b=-5， 故平移后的函数解析式为：y=2x-5， 故答案为：y=2x-5． 8．已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 【答案】（1）y＝10﹣x；（2）7． 【分析】（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式； （2）把x＝3代入（1）中解析式即可． 【详解】解：（1）依题意得2x+2y＝20， 即y＝10﹣x， ∴y关于x的函数解析式为y＝10﹣x． （2）把x＝3代入y＝10﹣x，得： y＝10﹣3＝7， ∴x＝3时，y的值为7． 9．已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由与成正比例可设，将，代入即可； （2）将点代入函数表达式可求得a的值. 【详解】解：（1）设，当时，代入得， 所以与之间的函数表达式. （2）将点代入得， 解得， 所以的值为0. 10．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s． （1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式，它是一次函数吗？ （2）求第3.5s时小球的速度． 【答案】（1）函数关系式为v=2t，v=2t是一次函数.（2）3.5s时小球的速度为7m/s. 【分析】对于（1），已知小球从静止开始运动，且速度每秒增加2m/s，据此即可得出小球的速度v与时间t之间的函数关系式； （2）将t=3.5代入计算即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得，v=2t，则速度v与时间t之间的函数关系式为v=2t，v=2t是一次函数. （2）将t=3.5代入v=2t中，计算得v=7（m/s），即3.5s时小球的速度为7m/s. 答：3.5s时小球的速度为7m/s. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 认识一次函数（正比例函数） 1. 掌握一次函数、正比例函数的标准解析式，分清二者从属关系； 2. 能根据关系式判断是否为一次函数、正比例函数； 3. 理解一次函数中 k、b 的含义，掌握参数取值要求； 4. 能根据实际问题列出一次函数、正比例函数解析式； 5. 会利用定义求含参字母的值，解决月考高频定义类题型。 一、一次函数定义 若两个变量 x、y 的关系式可以写成：,，则称 y 是 x 的一次函数。 关键点： 1. 自变量 x 的次数必须是 1次 2. k 不能等于0 3. b 可以是任意常数（正数、负数、0都可以） 二、正比例函数定义 在一次函数中，当 b=0 时,时称 y 是 x 的正比例函数。 三、两者从属关系（必考判断题） 1. 正比例函数一定是一次函数 2. 一次函数不一定是正比例函数（只有 b=0 才是正比例函数） 四、一次函数、正比例函数结构要求 必须同时满足三条： 1. 是整式（分母不含x、根号不含x） 2. x 最高次数为 1 3. 一次项系数 k 五、常见不是一次函数的类型 1. y=（反比例、分式） 2. y=x²+1（二次、次数2） 3. y=（根式函数） 4. y=5（常数函数，无一次项） 六、参数含义 k：比例系数，决定增减性（本节只认定义，不研究图像） b：常数项，决定是否过原点 七、高频易错点 1. 判断一次函数 必须保证k 2. 正比例函数必须同时满足：一次函数, b=0 3. x 次数必须严格为1，多一次、少一次都不行 4. 含参题型：求出字母后务必回代检验 k≠0 题型01 判断是否为一次函数、正比例函数 【典例】下列函数中，是一次函数的是（    ） ①，②，③，④，⑤ A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④⑤ 【变式】下列函数：①；②；③；④.其中正比例函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据一次函数定义求字母参数 【典例】已知函数是关于x的一次函数，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 题型03 根据正比例函数定义求参数（月考必考） 【典例】已知函数y=（m+1）是正比例函数，且图像在第二、四象限内，则m的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【变式】若函数是正比例函数，则________. 题型04 根据实际问题列一次函数解析式 【典例】太原市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x（x＞3）千米，付车费y元，则所付车费y元与出租车行驶的路程x千米之间的关系式为___． 【变式】张老师去银行存钱，大屏幕上显示一年期存款年利率为3.25%，如果张老师存入本金x元后，一年到期时的本息和为y元，那么y与x之间的函数关系是________. 【巩固训练】 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是6，则输出的值是1，若输入的值是2，则输出的值是（    ）      A．4 B．10 C．19 D．21 2．正比例函数的图象经过点A（ -1，2  ）、B（a,-1）,则a的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 3．一次函数的图象经过原点，则k的值为　   　 A．2 B． C．2或 D．3 4．在平面直角坐标系中，已知点在直线上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如果点在直线上，那么点P到x轴的距离为（    ） A． B．2 C． D． 6．下列函数中，一次函数是（    ） A． B． C． D． 7．直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 8．若函数y=(m-3) +3是一次函数，则m的值为（        ） A．3 B．1 C．2 D．3或1 9．下列函数中，是一次函数的是（    ） ①，②，③，④，⑤ A．①② B．①③④ C．①④ D．①②③④⑤ 10．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（    ） A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 B．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 C．水箱有水10L，以的流量往外放水，水箱中的剩水量随着放水时间的变化而变化 D．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化 【强化训练】 1．点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系如下表： t/分 0 2 4 6 8 10 h/厘米 30 29 28 27 26 25 写出蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分）之间的关系式_____；这根蜡烛最多能燃烧的时间为_____分． 2．已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________． 3．点在直线上，则代数式的值是______． 4．某水果批发市场香蕉的价格如下表. 购买香蕉数量x/kg 每千克价格/元 6 5 4 若王大妈去该市场购买香蕉，付了y元，则y与x之间的函数关系式是________. 5．如图，在中，与的平分线交于点P，设的度数为x，的度数为y，则y与x之间的函数关系式为__. 6．写出下列各题中与之间的关系式，并判断：是否为的一次函数数？是否为正比例函数？ （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系； （2）圆的面积与它的半径之间的关系； （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，后这个水池内有水． 7．已知与成正比例，且时，． （1）求与的函数关系式；   （2）当时，求的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点（2， －1）．求平移后直线的解析式． 8．已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x． （1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）； （2）当x＝3时，求y的值． 9．已知与成正比例，且当时，. （1）求与之间的函数表达式； （2）已知点在该函数的图像上，求的值. 10．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s． （1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式，它是一次函数吗？ （2）求第3.5s时小球的速度． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $