2026年山东省中考数学试卷

**基本信息** 立足山东地域特色与现实情境，通过健步走行程分析、非遗纪念品购买、矩盘测量城门楼高度等问题，考查抽象能力、模型意识与应用意识，体现数学与生活的深度融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比大小、图形对称性、科学记数法等基础知识点|设置“山东毗邻海域面积”地域题，强化数感与量感| |填空题|5/15|代数式运算、正多边形内角和、反比例函数交点规律|第14题以反比例函数与正比例函数交点为载体，考查逻辑推理| |解答题|8/75|方程应用、几何证明、统计分析、函数建模|“踢枪”抛物线问题结合传统文化，“矩盘测量”体现跨学科实践，发展创新意识与应用能力|

2026年山东省中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．（3分）·【易】下列实数中，比1大的数是（　　） A．﹣2 B．0 C．0.5 D． 2．（3分）·【较易】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）·【易】山东是海洋大省，毗邻海域面积约为16万平方公里．将160000用科学记数法表示为（　　） A．0.16×106 B．1.6×105 C．1.6×106 D．16×104 4．（3分）·【易】如图所示几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）·【易】下列运算正确的是（　　） A．m3﹣m2＝m B．（m2）3＝m6 C．m9÷m3＝m3 D．2m•3m＝6m 6．（3分）·【较易】如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，B．以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交a，c于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠MAN的内部交于点C；作射线AC交b于点D．若∠ABD＝54°，则∠ADB的度数是（　　） A．36° B．54° C．63° D．72° 7．（3分）·【易】计算的结果是（　　） A．x﹣1 B．x+1 C． D． 8．（3分）·【较易】甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成如图． 根据图中信息，下列结论正确的是（　　） A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙 9．（3分）·【中档】在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了5km健步走项目．两人8：00从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程y（km）与时间x（min）之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（　　） A．8：25 B．8：33 C．9：00 D．9：17 10．（3分）·【较易】如图，点P是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（　　） A．2a+b＝0 B． C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b总成立 D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）·【易】计算：5ab+6ab＝　 　 ． 12．（3分）·【易】如图，圆形扇面中间的图案是正多边形，该正多边形的内角和等于　 　 °． 13．（3分）·【易】若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　 　 ． 14．（3分）·【中档】如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝　 　 ． 15．（3分）·【中档】如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝5cm，点E是边AD的中点，点F在边CD上，连接EF．将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG，CG．若AG＝3cm，GE∥AB，则△CFG的面积为 　 　 cm2． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分）·【中档】（1）计算：22（﹣3）； （2）解不等式组：． 17．（8分）·【中档】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点． （1）求证：△EDF≌△ECF； （2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由． 18．（8分）·【中档】在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下： 请根据他们的对话解答下列问题： （1）求描金琉璃瓶和内画瓶的单价； （2）若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2倍，则分别购买多少个描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？ 19．（8分）·【较难】如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，，连接AC，AD，CD，过点A作AH⊥CD交DC的延长线于点H． （1）求证：AH是⊙O的切线； （2）若AH＝2，sin∠CAH，求⊙O的半径． 20．（10分）·【较易】某校计划在九年级开展“数学探究”项目式学习活动．为助力活动顺利开展，兴趣小组随机抽取了部分九年级学生进行如下调查． 【调查内容】 关于项目式学习活动的调查问卷 问题1．你最想参加以下哪一个主题的项目式学习活动？（单选） ①绘制校园平面地图②读书长廊地面没铺设计③测量校园内旗杆高度④制定旅游最优路线 ⑤体育运动与心率的关系探究 问题2．假如在探究过程中遇到了困难，你计划采用什么方式解决？（可多选） A．查阅文献B．上网查询C．同伴合作D．寻求指导E．专业咨询问题 问题3．你还想探究哪些领域的数学问题？ 【数据处理】 信息1 将问题1的调查数据进行收集、整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 信息2 将问题2的调查数据进行收集、整理，绘制了如下统计表． 解决困难的方式 A B C D E 选择人数 32 41 33 35 28 信息3 问题3调查结果显示，学生还想探究的数学问题主要涉及三个领域：科技、交通、经济． 【分析应用】根据调查信息，解答下列问题： （1）求参与调查的学生总数，并补全条形统计图； （2）若有500名学生参加项目式学习活动，估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数； （3）甲、乙两名学生计划从“科技”“交通”“经济”三个领域中随机选择一个领域进行探究，请用列表或画树状图的方法求两人恰好选择同一领域的概率． 【决策建议】 （4）假如你是兴趣小组成员，请向学校提供一条关于开展本次项目式学习活动的合理建议． 21．（10分）·【中档】我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动． 【模型制作】综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG为悬挂重物的铅垂线，AB为左矩，AD为右矩，标有均匀刻度的BC和DC组成矩尺盘，以点A为圆心，AB为半径的标有均匀刻度的弧组成角度盘． 【操作发现】使用矩盘测量时，需要将左矩AB或右矩AD与视线PF重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、矩尺盘的交点的刻度为读数． （1）如图2，左矩AB与视线PF重合，角度盘读数为31°（∠DAE＝31°），矩尺盘读数为6（DE＝6），可知仰角∠P＝∠DAE＝31°，tan∠P＝tan∠DAE0.6． 如图3，右矩AD与视线PF重合，角度盘读数为29°（∠DAE＝29°），矩尺盘读数为5.5（DE＝5.5），则仰角∠P＝　 　 ，tan∠P≈　 　 （结果精确到0.1）． （2）综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E到地面的距离（EB的长度）． 如图5，某同学站在城门楼一侧A处，用矩盘的左矩与视线ME重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB前进，穿过城门BD到达城门楼另一侧C处，在C处将矩盘右矩与视线NE重合，角度盘读数为45°．已知AC＝20m，该同学眼睛到地面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E到地面的距离（结果精确到0.1m）． 22．（12分）·【较难】“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的O点处，从距离地面m高的A点踢出花枪，A点与O点的水平距离OB是m，花枪飞行到与O点水平距离3m的C处达到最高，高度为3m． ①设花枪离地面的高度为y（m），到O点的水平距离为x（m）．请建立平面直角坐标系，并求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与O点水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为m，最小为m，求d的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t（t＞0），丙在距花枪落地点5m处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 23．（12分）·【难】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． 【观察与发现】 （1）如图1，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，点D与点C是对应点．点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，连接DE，DF．求证：DE＝DF． 【思考与探究】 （2）如图2，过点A作AH⊥AC交BC于点H．点E，F分别在边AB，AC上，CF＝2AE，连接EF，HE，HF．猜想线段EF与HE的数量关系，并说明理由． 【拓展与延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长FE至点G，使EG＝FE，连接GA，GH．若AB＝6，AG＝2，求线段AE的长度． 2026年山东省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D． A B． C B C A D C B 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求） 1．【答案】D． 【解析】解：A．﹣2＜1，故不符合题意； B．0＜1，故不符合题意； C．0.5＜1，故不符合题意； D．1，故符合题意； 故选：D． 2．【答案】A 【解析】解：A是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， B是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， C是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 3．【答案】B． 【解析】解：160000＝1.6×105． 故选：B． 4．【答案】C 【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是： 故选：C． 5．【答案】B 【解析】解：∵m3与m2不是同类项，不能合并，故A不正确； ∵（m2）3＝m2×3＝m6，故B正确； ∵m9÷m3＝m9﹣3＝m6≠m3，故C不正确； ∵2m•3m＝6m2≠6m，故D不正确． 故选：B． 6．【答案】C 【解析】解：∵a∥b， ∴∠MAB+∠ABD＝180°． ∵∠ABD＝54°， ∴∠MAB＝180°﹣54°＝126°． 由所给作图步骤可知，AC平分∠MAN， ∴∠MAD∠MAB＝63°， ∵a∥b， ∴∠ADB＝∠MAD＝63°． 故选：C． 7．【答案】A 【解析】解：原式x﹣1． 故选：A． 8．【答案】D 【解析】解：由图可知，甲的成绩为：181，180，179，184，186，186；乙的成绩为：177，179，181，183，188，188； 对于A，第3天甲的成绩179小于乙的成绩181，故A错误； 对于B，甲的成绩中186出现了2次，出现次数最多，众数是186，故B错误； 对于C，甲的成绩从小到大排列为179，180，181，184，186，186，中位数为； 乙的成绩从小到大排列为177，179，181，183，188，188，中位数为； ∵182.5＞182， ∴甲的中位数大于乙，故C错误； 对于D，甲成绩的波动范围（179～186）比乙成绩的波动范围（177～188）小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙， 故选：D． 9．【答案】C 【解析】解：由题意，当0＜x＜25时， 设小英的函数关系式为y＝kx，则25k＝2， ∴k． ∴此时yx． ∵小英在途中打卡点拍照停留了15min后仍按原速行进， ∴当x≥40时，y（x﹣15）． 设小杰的函数关系式为y＝mx， 又图象过（25，1.5）， ∴25m＝1.5，则m． ∴小杰的函数关系式为yx． 联立方程x（x﹣15）， ∴x＝60． ∴小英在60min后追上小杰，此时的时刻是9：00． 故选：C． 10．【答案】B 【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0． ∵顶点P的坐标为（2，3）， ∴对称轴为直线x＝2，即， ∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故A错误； 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， 令x＝0，得y＝4a+3，即抛物线与y轴的交点坐标为（0，4a+3）． 由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方且在y＝1的下方， ∴0＜4a+3＜1， 解得，故B正确； 根据图象得：当x＝2时，y＝ax2+bx+c取得最大值为：y＝4a+2b+c， 对任意实数t，at2+bt+c≤4a+2b+c， ∴at2+bt≤4a+2b，故C错误； ∵对称轴为x＝2， ∴|1﹣m﹣2|＝|m+1|，|1+m﹣2|＝|m﹣1|， 当m＝0时，两点到对称轴的距离相等，y1＝y2，故D错误． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11．【答案】11ab． 【解析】解：5ab+6ab＝（5+6）ab＝11ab． 故答案为：11ab． 12．【答案】720． 【解析】解：图中正多边形是正六边形，正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°， 故答案为：720． 13．【答案】2． 【解析】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 14．【答案】36． 【解析】解：由x得， x（舍负）， 所以点A1坐标为（）， 则， 同理可得，，…， 所以． 因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， 则， 所以． 因为k1＝1， 所以． 当n＝6时，k6＝36． 故答案为：36． 15．【答案】1.8． 【解析】解：过点G作GH⊥AD于点H，连接GD，如图所示： ∴∠GHA＝∠GHE＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4cm， ∴AB∥CD，CD＝AB＝4cm， ∵点E是AD的中点，且AD＝5cm， ∴AE＝DE＝2.5cm， 设AH＝acm，则EH＝AE﹣AH＝（2.5﹣a）cm， 由折叠性质得：GE＝DE＝2.5cm，∠1＝∠2，∠EGF＝∠D， 在△GHA和△GHE中，∠GHA＝∠GHE＝90°，AG＝3cm， 由勾股定理得：GH2＝AG2﹣AH2＝GE2﹣EH2， ∴32﹣a2＝2.52﹣（2.5﹣a）2， 解得：a， ∴AH＝a（cm）， ∴GH（cm） ∵GE∥AB，AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠1＝∠D， ∴∠1＝∠EGF． ∴AD∥GF， ∵GE∥AB，AB∥CD， ∴GE∥CD， ∴∠1＝∠D， ∴∠1＝∠EGF． ∴AD∥GF， 在四边形EDFD中，GE∥CD，AD∥GF， ∴四边形EDFD是平行四边形， ∴DF＝GE＝2.5cm ，∴CF＝CD﹣DF＝1.5cm， ∵平行四边形EDFD的面积为：DE•GH3（cm2）， ∴S△GDF3＝1.5（cm2）， ∴GE∥CD， ∴△CFG的边CF上的高与△GDF的边DF上的高相同， ∴， ∴S△CFGS△GDF1.8． 故答案为：1.8． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．【答案】（1）3； （2）2＜x＜3． 【解析】解：（1）原式＝4﹣4+3＝3； （2）， 解不等式①得：x＞2， 解不等式②得：x＜3， 不等式组的解集是2＜x＜3． 17．【答案】（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴ED＝EC＝AE，EF∥AB， ∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA， ∴∠FED＝∠CEF， ∵EF＝EF， ∴△EDF≌△ECF（SAS）； （2）四边形AEFG是平行四边形， 理由如下： ∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴EF∥AB，EFAB， ∵AGAB， ∴EF＝AG， ∴四边形AEFG是平行四边形． 【解析】证明：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴ED＝EC＝AE，EF∥AB， ∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA， ∴∠FED＝∠CEF， ∵EF＝EF， ∴△EDF≌△ECF（SAS）； （2）四边形AEFG是平行四边形， 理由如下： ∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点， ∴EF∥AB，EFAB， ∵AG， ∴EF＝AG， ∴四边形AEFG是平行四边形． 18．【答案】（1）描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元； （2）购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元． 【解析】解：（1）设描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为x元，y元． 由题意， 解得． 答：描金琉璃瓶和内画瓶的单价分别为40元，30元； （2）设购买描金琉璃瓶x个，购买内画瓶（20﹣x）个．总费用为W元． 则有W＝40x+30（20﹣x）＝10x+600， 由题意x≥2（20﹣x）， 解得x， ∵10＞0， ∴当x＝14时，W最小，最小值＝740． 故当购买14个描金琉璃瓶，6个内画瓶，费用最小，最少费用为740元． 19．【答案】（1）∵， ∴∠ADC＝∠BAD， ∴AB∥CD， ∵AH⊥CD， ∴AB⊥CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AH是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为． 【解析】（1）证明：∵， ∴∠ADC＝∠BAD， ∴AB∥CD， ∵AH⊥CD， ∴AB⊥CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AH是⊙O的切线； （2）解：连接BD， ∵AH⊥CD， ∴∠H＝90°， ∴sin∠CAH， ∴设CHk，AC＝5k， ∴AH2k＝2， ∴k， ∴CH＝1，AC， ∵， ∴BD＝AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠H＝90°， ∵∠ACH＝∠B， ∴△ACH∽△ABD， ∴， ∴， ∴AB＝5， ∴⊙O的半径为． 20．【答案】（1）50，； （2）410名； （3）； （4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）． 【解析】解：（1）参与调查的学生总数为5÷10%＝50（名）， 选择主题⑤的人数为50×12%＝6（名）， 则选择主题③的人数为50﹣（5+13+14+6）＝12（名）， 补全条形统计图如下： （2）500410（名）， 答：估计采用“上网查询”的方式解决困难的学生人数约有410名； （3）将“科技”“交通”“经济”三个领域分别记作A、B、C， 列表表示如下： A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由列表可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一领域的有3种结果， 所以两人恰好选择同一领域的概率为； （4）建议学校为项目式学习提供专门的网络资源和指导老师，定期组织各领域的实践活动，并开展小组合作培训，帮助学生更好地完成探究任务（答案不唯一，合理均可）． 21．【答案】（1）61°；1.8； （2）8.3m． 【解析】解：（1）根据题意可得：AG⊥PQ，∠AQP＝90°， ∵∠DAE＝29°， ∴∠P＝90°﹣∠DAE＝61°， ∵在正方形ABCD中∠ADC＝90°， ∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝61°， ∴∠P＝∠AED， ∴， 故答案为：61°；1.8； （2）根据题意得：BF＝CN＝1.6m，MN＝AC＝20m，∠EFM＝∠EFN＝90°，∠NGH＝45°，GH⊥MN，KL＝5，JK＝10， ∴∠ENF＝90°﹣45°＝45°， ∴Rt△EFN中，， 即， ∴EF＝FN， 设EF＝FN＝xm，则 MF＝（20﹣x）m， ∵∠MJL+∠EMF＝∠MJL+∠KJL＝90°， ∴∠EMF＝∠KJL， ∴tan∠EMF＝tan∠KJL0.5， ∴Rt△EMF 中，， 即， 解得：x≈6.67， ∴EB＝EF+FB＝6.67+1.6＝8.27≈8.3（m）， 答：城门楼的顶端E到地面的距离约为8.3m． 22．【答案】（1）①y关于x的函数表达式为y；②d的取值范围为； （2）丙的平均速度至少为 m/s． 【解析】解：（1）①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的坐标系，如图， 则A（，），C（3，3）， ∵点C为最高点， ∴抛物线的顶点坐标为（3，3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3， ∴a3， ∴a， ∴y（x﹣3）2+3， ∴y关于x的函数表达式为y； ②∵花枪下落过程中， ∴x≥3， 当ym时，， ∴x或x（不合题意，舍去）， 当ym时，， ∴x或x（不合题意，舍去）， ∴枪下落过程中，能接到的高度最大为m，最小为m，d的取值范围为． （2）∵花枪飞行高度h（m）与时间t（s）之间的关系式是h＝﹣5t2+7t（t＞0）， ∴花枪落地时h＝0， ∴﹣5t2+7t0， ∴t或t（不合题意，舍去）， ∴乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要秒， 设丙的平均速度为vm/s， ∵乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪， ∴v≥5， ∴v， ∴丙的平均速度至少为 m/s． 23．【答案】（1）连接CD，如图所示： 根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AD，∠ACD＝60°， ∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°， ∴∠EAD＝∠ACD， ∵AE＝CF， ∴△AED≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF； （2），理由如下： ∵AH⊥AC， ∴∠HAF＝90°， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠BAH＝∠C， ∵CF＝2AE， ∴， ∴， ∴△AEH∽△CFH， ∴，∠AHE＝∠CHF， ∴∠AHE+∠AHF＝∠AHF+∠CHF，即∠EHF＝∠AHC， ∵， ∴， ∴△EFH∽△ACH， ∴∠EFH＝∠C＝30°，∠HEF＝∠HAC＝90°， ∴∠EHF＝90°﹣30°＝60°， ∴， ∴； （3）AE＝1或2． 【解析】（1）证明：连接CD，如图所示： 根据旋转可得：∠CAD＝60°，AC＝AD， ∴△ACD为等边三角形， ∴CD＝AD，∠ACD＝60°， ∵∠EAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣60°＝60°， ∴∠EAD＝∠ACD， ∵AE＝CF， ∴△AED≌△CFD（SAS）， ∴DE＝DF； （2）解：，理由如下： ∵AH⊥AC， ∴∠HAF＝90°， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAF＝30°， ∴， ∵AB＝AC， ∴， ∴∠BAH＝∠C， ∵CF＝2AE， ∴， ∴， ∴△AEH∽△CFH， ∴，∠AHE＝∠CHF， ∴∠AHE+∠AHF＝∠AHF+∠CHF，即∠EHF＝∠AHC， ∵， ∴， ∴△EFH∽△ACH， ∴∠EFH＝∠C＝30°，∠HEF＝∠HAC＝90°， ∴∠EHF＝90°﹣30°＝60°， ∴， ∴； （3）解：延长CA，并取点N，使AN＝AF，过点G作GM⊥AN于点M，如图所示： 则∠GMA＝90°， ∵EG＝EF， ∴AE为△FGN 的中位线， ∴，AE∥GN， ∴∠GNA＝∠BAC＝120°， ∴∠GNM＝180°﹣120°＝60°， ∵AB＝6， ∴AC＝AB＝6， 设AE＝x，则 GN＝2AE＝2x，CF＝2AE＝2x，AN＝AF＝6﹣2x， ∵，， ∴，， ∴AM＝AN+MN＝6﹣2x+x＝6﹣x， 在Rt△AGM中，根据勾股定理得：AM2+GM2＝AG2， 即， 解得：x1＝2，x2＝1， ∴AE＝1或2． 第1页（共1页） 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