1.1.2 集合的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及空集性质。通过实数集、有理数集等包含关系实例，结合集合A={1,2}与B={1,2,3}的元素关系分析，从元素与集合关系自然过渡到集合间关系，搭建知识支架。 此资料以核心素养为导向，通过实例抽象概念培养数学抽象能力，用维恩图和数轴直观表示集合关系发展直观想象，设计符号辨析题和参数范围变式题提升逻辑推理。帮助学生区分∈与⊆，助力教师高效教学，夯实集合知识基础。

人教B版 高一 教学设计-2026-2027学年 1.1.2 集合的基本关系 必修第一册 数学 课型 课题 集合的基本关系 课型 新授课 授课年级 高一 学科 数学 版本 人教B版 册次 必修第一册 课时 1课时 授课教师 授课时间 教学内容分析 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第一章1.1.2节，主要内容是集合之间的基本关系。集合的基本关系建立在元素与集合关系的基础上，是后续学习集合运算及逻辑关系的基石。教材通过实例引入子集、真子集和集合相等的概念，并规定了空集是任何集合的子集。本节课的学习有助于学生理解数学中的包含与相等逻辑，培养直观想象与逻辑推理的核心素养。 学习目标确定 1. 理解子集与真子集的概念，掌握它们之间的联系与区别，能正确使用符号⊆、⊊表示集合间的包含关系。 2. 理解集合相等的含义，能利用子集的定义证明或判定两个集合相等。 3. 掌握空集是任何集合子集的规定，并能运用这一性质解决相关问题。 4. 能正确画出维恩图表示集合间的包含关系，体会数形结合的数学思想。 学习重点难点 重点：子集、真子集的概念及符号表示；集合相等的定义及判定。 难点：元素与集合关系符号（∈）与集合与集合关系符号（⊆）的区别；空集是任何集合的子集的理解与应用；子集个数的探究。 【教学重点】 教学重点在于引导学生从“元素属于集合”的关系过渡到“集合包含于集合”的关系，准确理解子集和真子集的定义。通过具体实例辨析∈与⊆的使用场景，并熟练运用符号语言描述集合关系。同时，要强调空集的特殊地位，确保学生能正确处理涉及空集的问题。 学习活动设计 1. 情境导入 观察实数集R，有理数集Q，整数集Z。我们知道，每一个有理数都是实数，每一个整数都是有理数。在集合中，这种“部分与整体”的关系如何用数学语言描述呢？ 设A={1, 2}，B={1, 2, 3}。集合A中的元素与集合B有什么关系？ 预设回答：集合A中的元素1、2都是集合B中的元素。 教师总结：像这样，集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B。 2. 探究新知：子集的概念 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 思考：根据定义，集合A是它自己的子集吗？ 预设回答：是，因为A的任意元素显然都在A中。 规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。 例1：写出集合A={a, b}的所有子集。 解析：子集包括：∅，{a}，{b}，{a, b}。 答案：A的子集为∅，{a}，{b}，{a, b}。 3. 探究新知：真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。 思考：在例1中，哪些是A的真子集？ 预设回答：∅，{a}，{b}是真子集，{a, b}不是真子集。 练习：判断下列关系是否正确： (1) ∅⊊{1, 2}； (2) {1}⊊{1, 2}； (3) {1, 2}⊊{1, 2}。 答案：(1) 正确；(2) 正确；(3) 错误，是子集但不是真子集。 4. 探究新知：集合相等 如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。 例2：设A={x | x²-1=0}，B={-1, 1}，判断A与B的关系。 解析：解方程x²-1=0得x=1或x=-1，所以A={-1, 1}。因为A⊆B且B⊆A，所以A=B。 答案：A=B。 5. 维恩图表示 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。 例如，A⊊B可以表示为： 6. 巩固练习 例3：已知集合A={x | -1 < x < 2}，B={x | 0 < x < 3}，判断A与B的关系。 解析：在数轴上表示集合A和B，A的范围是从-1到2，B的范围是从0到3。A中的元素并不都在B中（例如x=-0.5），但B中的元素也并不都在A中（例如x=2.5）。因此A不是B的子集，B也不是A的子集。 但若考虑A₁={x | 0 < x < 2}，则A₁⊊B。 变式：已知A={x | x > 2}，B={x | x > a}，若A⊆B，求实数a的取值范围。 解析：要使集合A（大于2的数）包含于集合B（大于a的数），数轴上A的区间必须在B的区间内或重合。即a ≤ 2。 答案：a的取值范围是{a | a ≤ 2}。 7. 课堂小结 (1) 集合间的三种基本关系：子集（A⊆B）、真子集（A⊊B）、相等（A=B）。 (2) 符号的区别：∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系。 (3) 重要性质：∅是任何集合的子集；任何集合是它自身的子集。 8. 课后作业 教材 练习第1、2、3题。 补充题：已知集合M={x | ax+1=0}，若M⊆A，其中A={1, 2}，求实数a的值。 答案：当M=∅时，a=0；当M≠∅时，x=∈{1, 2}，解得a=-1或a=-。综上，a的值为0，-1或-。 板书设计 1.1.2 集合的基本关系 1. 子集：A⊆B（任意x∈A ⇒ x∈B） 规定：∅⊆A，A⊆A 2. 真子集：A⊊B（A⊆B且B中至少有元素不属于A） 3. 集合相等：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B 4. 维恩图（示意） 教学反思与改进 本节课通过实例引入，学生基本能掌握子集和真子集的概念。但在练习中发现，部分学生容易混淆∈与⊆的用法，特别是在处理集合元素为集合的情况时（如{1}∈{{1}, 2}与{1}⊆{{1}, 2}的区别）。在后续教学中，应加强对此类易错点的辨析训练。此外，关于空集是任何集合子集的规定，部分学生理解较为生硬，可以通过逻辑命题“若x∈∅，则x∈A”的真值性来辅助解释，加深理解。 学科网（北京）股份有限公司 $