3.1.2 函数的单调性 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性的定义、证明及应用，通过气温变化折线图和函数图象观察，引导学生从直观上升下降趋势过渡到抽象数学符号定义，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数图象知识。 以核心素养为导向，通过情境创设发展数学抽象，定义法证明（如例1证明二次函数单调性）培养逻辑推理，平均变化率与最值问题（如例2求二次函数区间最值）提升运算求解与应用意识，为教师提供清晰流程与实例，帮助学生深化理解，提升课堂效率。

人教B版 数学 高一 教学设计-2026-2027学年 3.1.2 函数的单调性 必修第一册 一、教学目标 （1）通过观察具体函数图象的上升与下降趋势，能用数学符号语言精确表述函数单调性的定义，体会从直观到抽象的认知过程，发展数学抽象素养。 （2）能根据定义法证明函数单调性，掌握任取、作差、变形、定号、下结论的完整步骤，提升逻辑推理能力。 （3）理解平均变化率的概念，能运用平均变化率的符号判定一次函数与二次函数的单调性，掌握一次、二次函数单调性的结论。 （4）能利用函数单调性求二次函数在给定区间上的最值，体会单调性与最值之间的内在联系，增强数学建模与运算求解能力。 二、教学重难点 教学重点：单调性的定义与定义法证明（作差法），平均变化率概念及其符号判定，一次函数与二次函数的单调性结论。 教学难点：单调性定义中任意性的深层理解，单调区间不能随意并写（如反比例函数），用平均变化率的符号判定单调性。 三、教学准备 教师准备多媒体课件，包含函数图象的动态展示素材、学生导学案中预设的例题与练习题，以及直尺等绘图工具。学生复习函数定义域与图象作法的基础知识，预习教材中单调性定义相关内容。 四、教学流程设计 【环节一：创设情境，探究发现】 教师活动：教师展示某地某日气温变化折线图，引导学生观察气温随时间变化的升降趋势，提出问题：能否用数学语言描述气温随时间增大而升高或降低的规律？教师随后给出函数y=x与y=的图象，组织学生分组讨论这两个函数在不同区间上图象的变化特征。 学生活动：学生观察图象后发现，y=x的图象从左到右始终上升，y=的图象在第二象限和第四象限分别下降。学生尝试用自然语言描述：函数值随自变量增大而增大或减小。教师追问：仅凭图象观察能否确信结论对所有点都成立？学生意识到需要严格的代数定义来保证结论的普遍性。 教师归纳定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且区间I⊆D：（1）如果对任意，∈I，当<时，都有f()<f()，则称y=f(x)在区间I上是增函数（也称在区间I上单调递增）；（2）如果对任意，∈I，当<时，都有f()>f()，则称y=f(x)在区间I上是减函数（也称在区间I上单调递减）。两种情况下，都称函数在区间I上具有单调性（区间I称为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）。 教师强调：定义中的任意性是核心，不能用两个特殊点代替全部验证。以反比例函数y=为例，它在(−∞，0)和(0，+∞)上分别单调递减，但不能说在定义域内是减函数，单调区间不能随意用并集连接。 思考题：若函数f(x)满足f(1)<f(2)，能否断定f(x)在定义域上单调递增？ 答案：不能。f(1)<f(2)仅说明两个特殊点的函数值有大小关系，不满足定义中对任意<的要求，无法断定整体单调性。 【环节二：例题精讲，方法提炼】 例1：用定义法证明函数f(x)=x²+1在(0，+∞)上单调递增。 证明：任取，∈(0，+∞)且<，则f()−f()=(²+1)−(²+1)=²−²=(−)(+)。因为0<<，所以−<0，+>0，从而f()−f()<0，即f()<f()。因此f(x)=x²+1在(0，+∞)上单调递增。 教师归纳定义法证明步骤：任取<→作差f()−f()→因式分解变形→判断符号→得出结论。 例2：求函数f(x)=x²−2x+3在区间[0，4]上的最大值与最小值。 解：f(x)=x²−2x+3=(x−1)²+2，对称轴为x=1。因为二次项系数a=1>0，抛物线开口向上，f(x)在(−∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增。区间[0，4]中，对称轴x=1位于区间内部，所以最小值在x=1处取得，f(1)=2。最大值在区间端点比较：f(0)=3，f(4)=16−8+3=11，故最大值为f(4)=11。因此f(x)在[0，4]上最小值为2，最大值为11。 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f()，则称f(x)的最大值为f()，而称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f()，则称f(x)的最小值为f()，而称为f(x)的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 【环节三：变式思考，解决问题】 变式1：判断函数f(x)=−2x+1在R上的单调性，并用平均变化率说明。 解：当≠时，称=/为函数y=f(x)在区间上的平均变化率。对f(x)=−2x+1，任取<，平均变化率=/=/=/=−2<0。函数递减的充要条件是图象上任意两点连线的斜率都小于0，因此f(x)=−2x+1在R上单调递减。一次函数y=kx+b（k≠0）的单调性取决于k的符号：k>0在R上递增，k<0在R上递减。 变式2：已知函数f(x)=，判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并求最值。 解：f(x)=x²−1。任取<且，∈(0，+∞)，f()−f()=(²−1)−(²−1)=²−²=(−)(+)。因为<，所以−<0，又>0，>0，所以+>0，故f()−f()<0，即f()<f()，f(x)在(0，+∞)上单调递增。函数在(0，+∞)上无最大值，当x趋近于0时f(x)趋近于−1，但x=0不在定义域内，因此f(x)无最小值。 课堂练习： （1）判断函数f(x)=x²−4x+5在区间[1，4]上的单调性，并求最值。 答案：f(x)=(x−2)²+1，a=1>0，对称轴x=2。f(x)在(−∞，2]上递减，在[2，+∞)上递增。区间[1，4]中，x=2在内部，最小值f(2)=1。端点比较：f(1)=1−4+5=2，f(4)=16−16+5=5，最大值为f(4)=5。 （2）用定义法证明f(x)=在(0，+∞)上单调递减。 答案：任取<且，∈(0，+∞)，f()−f()=−=/。因为<，所以−>0，又>0，>0，所以·>0，故f()−f()>0，即f()>f()，f(x)在(0，+∞)上单调递减。 【环节四：延伸拓展与小结】 例3：已知函数f(x)={a}/{x}（a≠0），讨论其在(0，+∞)上的单调性。 解：任取<且，∈(0，+∞)，f()−f()=−=/。因为<，所以−>0，·>0。当a>0时，f()−f()>0，即f()>f()，f(x)单调递减；当a<0时，f()−f()<0，即f()<f()，f(x)单调递增。 课堂小结：教师引导学生回顾本节课核心内容。单调性定义的关键在于任意性，证明单调性用定义法（任取→作差→变形→定号→结论）。一次函数y=kx+b单调性由k符号决定，k>0递增，k<0递减。二次函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0）当a>0时在(−∞，−]上递减、在[−，+∞)上递增，有最小值f(−)={4ac−b²}/{4a}；a<0时相反，有最大值。平均变化率=/的符号判定单调性：递增充要条件为任意两点连线斜率大于0，递减则小于0。 课后作业： （1）用定义法证明f(x)=x³在(0，+∞)上单调递增。 答案：任取<且，∈(0，+∞)，f()−f()=−=(−)(++)。因为<，−<0，又>0，>0，所以++>0，故f()−f()<0，即f()<f()，f(x)在(0，+∞)上单调递增。 （2）求函数f(x)=x²−4x+1在区间[0，5]上的最大值与最小值。 答案：f(x)=(x−2)²−3，a=1>0，对称轴x=2。x=2在[0，5]内部，最小值f(2)=−3。端点比较：f(0)=1，f(5)=25−20+1=6，最大值为f(5)=6。 学科网（北京）股份有限公司 $