第3章 3.1.3 第1课时 函数的奇偶性（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦函数奇偶性的定义、判断方法及图象对称性应用，从生活对称现象引入，通过观察y=x²、y=x等函数图象特征，结合函数值表格抽象出奇偶函数定义，再以例题讲解定义域对称验证、f(-x)与f(x)关系判断等步骤，延伸至奇偶函数运算性质及图象补全、求值应用。 以生活对称现象培养数学眼光，通过问题链引导数学思维，例题中分段函数奇偶性判断强化逻辑推理与符号表达（数学语言）。数形结合与分层练习助力课中教学，课后小结和练习题帮助学生巩固，查漏补缺。

3.1.3　函数的奇偶性 第1课时　函数的奇偶性 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题. 导语 在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影…… 而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美. 一、函数奇偶性的判断 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)=2-|x| … -1 0 1 2 1 0 -1 … 提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. 问题3　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称. 知识梳理　函数奇偶性的概念及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数 关于原点对称 有关结论 当n是正整数时 函数f(x)=x2n是偶函数 函数g(x)=x2n-1是奇函数 注意点： (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)判断函数的奇偶性应先判断定义域是否关于原点对称. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. (4)若f(x)为偶函数，则有f(|x|)=f(x). (5)既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. 例1　(课本例1)判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f(x)=x+x3+x5； (2)f(x)=x2+1； (3)f(x)=x+1； (4)f(x)=x2，x∈[-1，3]. 解　(1)因为函数的定义域为R， 所以x∈R时，-x∈R.又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)， 所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数. (2)因为函数的定义域为R， 所以x∈R时，-x∈R. 又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)， 所以函数f(x)=x2+1是偶函数. (3)因为函数的定义域为R， 所以x∈R时，-x∈R. 又因为f(-1)=0，f(1)=2， 所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)， 因此函数f(x)=x+1既不是奇函数也不是偶函数(也可说成f(x)是非奇非偶函数). (4)因为函数的定义域为[-1，3]，而3∈[-1，3]，但-3∉[-1，3]，所以函数f(x)=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函数. 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x-； (2)f(x)=+ ； (3)f(x)=； (4)f(x)= 解　(1)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(-x)=-x+=-f(x)， ∴f(x)为奇函数. (2)∵函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0， 又∵f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)方法一　作出函数f(x)的图象如图所示，∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴函数f(x)为奇函数. 方法二　当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0， ∴f(-x)=(-x)2-1=x2-1， ∴f(-x)=-f(x)； 当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0， f(-x)=1-(-x)2=1-x2， ∴f(-x)=-f(x)； 当x=0时，f(0)=0. 综上，对∀x∈R，总有f(-x)=-f(x)， ∴函数f(x)为奇函数. 延伸探究1　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　设F(x)=f(x)+g(x)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴F(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)， ∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)， ∴F(x)为偶函数. 同理可得，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)均为偶函数. 延伸探究2　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　由延伸探究1易知f(x)±g(x)为奇函数. 设G(x)=(g(x)≠0)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴G(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)， ∴G(-x)====G(x)， ∴G(x)为偶函数， 即(g(x)≠0)为偶函数， 同理，f(x)·g(x)为偶函数. 延伸探究3　若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　设H(x)=f(x)·g(x)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴H(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， ∴H(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-H(x)， ∴H(x)为奇函数，即f(x)·g(x)为奇函数， 同理(g(x)≠0)为奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 注意：对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数，积、商(分母不为零)为偶函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 二、奇、偶函数图象的特征及应用 例2　已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<2，且x≠0}. 延伸探究4　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知，函数y=f(x)的单调递增区间为(-1，1). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}. 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 三、利用函数奇偶性求值 例3　(1)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　　.  答案　-1 解析　因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 即=- 显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1.经检验，符合题意. (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　.  答案　7 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，又f(x)=g(x)+2， ∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2=-3， ∴g(3)=5. 又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7. 延伸探究5　若将例3(2)中“f(-3)=-3”改为“f(m)=7”，其他条件不变，则f(-m)=　　　　.  答案　-3 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，f(x)=g(x)+2， ∵f(m)=7，∴f(m)=g(m)+2=7，∴g(m)=5， ∵g(x)是奇函数， ∴f(-m)=g(-m)+2=-g(m)+2=-5+2=-3. 延伸探究6　本例(2)中的f(x)，对于任意x∈R，f(x)+f(-x)是否为定值？ 解　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx， 则g(x)是奇函数，∴g(x)+g(-x)=0， 由f(x)=g(x)+2，得f(-x)=g(-x)+2， ∴f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+4=4， ∴f(x)+f(-x)的值为定值4. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇函数、偶函数的定义域关于原点对称. 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 答案　B 解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除A；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除C，D；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数. 2.函数f(x)=x3的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线y=x对称 D.关于原点对称 答案　D 解析　f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 3.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 答案　A 解析　由f(x)是奇函数，则f(4)=-f(-4)=5，又f(0)=0，故f(4)+f(0)=5. 4.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=. 又函数f(x)=x2+bx+b+1为二次函数，结合偶函数图象的特点，得b=0. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.下列函数是偶函数的是(　　) A.y=x B.y=- C.y= D.y=x2 答案　D 解析　对于A，y=x是奇函数，故A错误； 对于B，y=-的定义域为∪且-=-可得y=-是奇函数，故B错误； 对于C，y=的定义域为定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，y=x2的定义域为R，且=x2，所以y=x2是偶函数. 2.函数f(x)=的图象一定关于(　　) A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.直线x=1对称 答案　C 解析　因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，且f(-x)==-=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称. 3.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a的值为(　　) A.4 B.-4 C.-1 D.1 答案　A 解析　f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a，f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-4)x-4a，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)，则a-4=0，即a=4. 4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)， 又x∈(-a，a)关于原点对称， ∴F(x)是偶函数. 5.已知f(x)=x5+ax3+bx-2，若f(-3)=10，则f(3)等于(　　) A.-8 B.18 C.10 D.-14 答案　D 解析　由f(x)=x5+ax3+bx-2，得f(x)+2=x5+ax3+bx. 令G(x)=x5+ax3+bx=f(x)+2， ∵G(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-G(x)， ∴G(x)是奇函数.∴G(-3)=-G(3)， 即f(-3)+2=-f(3)-2， 又f(-3)=10，∴f(3)=-f(-3)-4=-10-4=-14. 6.(多选)定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则下列关于f(x)在[0，+∞)上的结论正确的是(　　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.最大值为 D.最小值为- 答案　ABC 解析　因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0.f(x)在(-∞，0)上的图象与在(0，+∞)上的图象关于原点对称，画出f(x)在R上的图象如图.易得A，B，C正确. 7.(5分)偶函数f(x)在区间[0，+∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　　　　　.  答案　[-1，0]，[1，+∞) 解析　偶函数的图象关于y轴对称，补全图象(图略)后可知函数f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[1，+∞). 8.(5分)已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)=则f(f(-2))的值为　　　　.  答案　1 解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(-2)=f(2)=2-2=0，f(0)=0+1=1. ∴f(f(-2))=f(0)=1. 9.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=；(2分) (2)f(x)=；(2分) (3)f(x)=(3分) (4)f(x)=.(3分) 解　(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=是非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称. f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， 当x>0时，-x<0， 则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)， 所以f(x)是偶函数. (4)易知，x的取值必须满足 解得-≤x<0或0<x≤所以f(x)的定义域为[-0)∪(0关于原点对称. 于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数. 10.(11分)已知函数f(x)=x2-4|x|+3. (1)证明：函数f(x)是偶函数；(4分) (2)作出函数f(x)的图象；(4分) (3)请根据图象指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明)(3分) (1)证明　f(x)的定义域为R，且f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3=f(x)，故函数f(x)是偶函数. (2)解　函数f(x)的图象如图. (3)解　函数f(x)的单调递增区间为(-2，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-2)，(0，2). 11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 答案　A 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0， 又因为f(2)+f(0)=1，所以f(2)=4-=1，解得a=6，所以f(x)=2x-(x>0)， 所以f(-3)=-f(3)=-=-4. 12.(多选)若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　) A.|f(x)|一定是偶函数 B.f(x)f(-x)一定是偶函数 C.f(x)f(-x)≥0 D.f(-x)+|f(x)|=0 答案　AB 解析　∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x). 对于A，∵|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确； 对于B，令g(x)=f(x)f(-x)，则g(-x)=f(-x)f(x)=g(x)，∴f(x)f(-x)是偶函数，故B正确； 对于C，f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0，故C错误； 对于D，不妨设f(x)=x，f(x)为奇函数，当x=-1时，f(-x)+|f(x)|=f(1)+|f(1)|=1+1=2≠0，故D错误. 13.(5分)已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是　　　　　　　　　　.  答案　{x|-2<x<-1或0<x<1或2<x<3} 解析　由题意知，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数.根据奇函数、偶函数图象的对称性画出y=f(x)，y=g(x)在[-3，0]上的图象如图所示. 由图可知，f(x)>0⇔0<x<2或-2<x<0，f(x)<0⇔-3≤x<-2或2<x≤3，g(x)>0⇔1<x<3或-1<x<0，g(x)<0⇔-3<x<-1或0<x<1.<0⇔或可求得其解集是{x|-2<x<-1或0<x<1或2<x<3}. 14.(5分)已知函数f(x)=是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，则a+b+c=　　　　.  答案　5 解析　因为函数f(x)=是奇函数， 所以f(-x)=-f(x)， 故=- 即= 所以-bx+c=-bx-c，即c=-c，解得c=0. 所以f(x)=. 而f(1)===3， 所以a+1=3b.① 又f(2)===5， 所以4a+1=10b.② 由①②解得 故a+b+c=++0=5. 15.定义两种运算：①a⊕b=②a⊗b=则函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　A 解析　结合题中新定义的运算有 f(x)==. 若使函数有意义，则求解不等式可得函数的定义域为[-2，0)∪(0，2]， 则函数的解析式为f(x)== 据此有f(-x)==-=-f(x)，可得函数f(x)是奇函数. 16.(12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y). (1)判断y=f(x)的奇偶性并证明；(4分) (2)若f(1)=1，求f(-2)；(2分) (3)若∀x>0，f(x)+x3>0，判断并证明y=f(x)+x3的单调性.(6分) 解　(1)y=f(x)是奇函数.证明如下： 因为f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)， 令x=y=0，得f(0)=0， 令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0， 所以f(-x)=-f(x)， 又y=f(x)的定义域关于原点对称， 所以y=f(x)是奇函数. (2)令x=y=1，得f(2)=f(1)+f(1)-6=-4， 由(1)知y=f(x)是奇函数，所以f(-2)=-f(2)=4. (3)y=f(x)+x3在R上单调递增. 证明如下： 任取x1，x2∈R，且x1>x2，令h(x)=f(x)+x3， 则h(x1)-h(x2) =f(x1)+-f(x2)- =f(x1-x2+x2)-f(x2)+(x1-x2)(+x1x2+) =f(x1-x2)-3(x1-x2)x2x1+(x1-x2)(+x1x2+) =f(x1-x2)+(x1-x2)(-2x1x2+) =f(x1-x2)+(x1-x2)3， 又因为∀x>0，f(x)+x3>0，而x1-x2>0， 所以f(x1-x2)+(x1-x2)3>0， 所以h(x1)-h(x2)>0，即h(x1)>h(x2)， 所以y=f(x)+x3在R上单调递增. 学科网（北京）股份有限公司 $