3.1.2 函数的单调性（第一课时）教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性（含增函数、减函数、单调区间）及最值核心知识点，以艾宾浩斯记忆曲线为情境导入，结合正比例函数、反比例函数图象引导观察变化规律，搭建从直观现象到抽象概念的学习支架。 以“数学眼光、思维、语言”为特色，通过记忆曲线情境让学生抽象函数关系（数学眼光），用定义证明单调性培养逻辑推理（数学思维），例题与概念精确表述强化数学语言。助力学生提升抽象与推理能力，为教师提供情境导入、概念辨析、例题示范的完整流程，提升教学效率。

3.1.2 函数的单调性（第一课时） 【课程基本信息】 年级 高一 课题 函数的单调性 课时 2课时 授课教师 【教学目标】 1.理解函数的单调性与单调区间. 2.理解函数单调性的判断. 3.掌握函数的最大（小）值. 【教学重点】 函数单调性的判断. 【教学难点】 掌握函数的最大（小）值 【教学过程】 我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律. 如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，则不难看出，下图中，y是x的函数，记这个函数为y=f(x). 教师提问：这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？ 情境与问题中的函数y=f(x)反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小. 教师提问：根据下面这个图象，你可以得到什么信息？ 如图，从正比例函数y=2x的图象可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即y随着x的增大而增大； 从反比例函数y=的图象可以看出，在(-∞，0)和(0，+∞)内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小. 设计意图：通过上面的图象的变化，更好地理解函数单调性的概念. 增函数的概念：一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y=f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图(1)所示； 减函数的概念：(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y=f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图(2)所示. 单调区间的概念：两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间). 例如：1.y=2x在R上是增函数； 2.y=在(-∞，0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数. 设计意图：通过学习过函数的单调性，更好地理解函数的单调性. 想一想：能否说y=在定义域内是减函数？为什么？ 不能；不符合减函数的定义． 尝试与发现：如图所示的函数y=f(x)，在[-6，-4]上是增函数，在[-4，-2]上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在[1，3]上是减函数，在[3，6]上是增函数. 思考一下：由尝试与发现得到什么结论？ 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性.但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们要探讨怎样从函数的解析式来证明函数的单调性.这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法. 教师提问：通过单调性的概念，尝试给出最值的概念. 最值的概念：一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点； 如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点. 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 求函数最值的方法：如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值. 【课堂例题】 例1：求证：函数f(x)=-2x在R上是减函数． 例2：判断函数f(x)=3x+5，x∈[-1，6]的单调性，并求这个函数的最值． 【课堂巩固】 1.“”是“函数在区间上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是( ) A. B. C. D.， 3.已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 【小结作业】 102页的课后习题 【板书设计】 3.1.2 函数的单调性（第一课时） 1.增函数的概念 2.减函数的概念 3.单调区间的概念 4.最值的概念 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 答案 【课堂例题】 例1：解：任取x1，x2∈R且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0，从而f(x1)>f(x2).因此，函数f(x)=-2x在R上是减函数. 例2：解：方法一：任取x1，x2∈[-1，6]且x1<x2，则x1-x2<0，那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)= 3(x1-x2)<0，所以这个函数是增函数．因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6)，从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23． 方法二：因为-1≤x≤6，所以-3≤3x≤18，2≤3x+5≤23，即f(-1)≤f(x)≤f(6)，从而这个函数的最小值为f(-1)=2，最大值为f(6)=23． 【课堂巩固】 1.A 2.D 3.D 学科网（北京）股份有限公司 $