1.2集合间的基本关系（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等、空集等概念及符号表示，通过生活情境（如班级学生集合）和类比实数大小关系导入，衔接集合概念与表示的前期知识，为后续集合运算等内容搭建学习支架。 资料以问题链驱动概念建构，通过实例与Venn图直观呈现，引导学生归纳子集个数规律，培养数学抽象与逻辑推理素养。即时辨析“∈”与“⊆”差异，含参问题分类讨论空集，突出学科思维。助力学生发展直观想象，为教师提供清晰教学路径与分层练习，提升课堂效率。

1.2集合间的基本关系教学设计 课题 集合间的基本关系 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集。 2、在具体情境中，了解空集的含义，并会判断给定集合间的关系，并会用符号和图表示。 3、通过集合间关系探究，经历从具体到抽象归纳过程，体会类比思想，发展逻辑推理与数学抽象、直观想象核心素养。 教材 分析 本节课是人教版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》的第节内容，是在学生已经学习了集合的概念与表示方法的基础上，进一步研究集合之间的关系。集合间的基本关系是集合论的基础内容之一，类比实数的大小关系，引入集合间的包含关系、相等关系、真子集和空集等概念，为后续学习集合的运算、函数的定义域与值域等知识奠定基础。本节课蕴含着类比思想和数形结合思想，对培养学生的逻辑推理和数学抽象素养具有重要作用。 学情 分析 学生在上一节已学习了集合的概念、元素的三大特性及集合的表示方法，对集合有了初步的系统认识。初中阶段学生已具备"子集"与"全集"的直觉经验，但尚未形成严格的数学定义。学生在理解子集与真子集的区别、空集的特殊地位以及"属于"关系与"包含"关系的差异时可能存在困难，需要通过具体实例和图直观辅助理解。 教学 重点 子集、真子集、集合相等、空集的概念及符号表示；图表示集合间的关系。 教学 难点 子集与真子集的区别；属于关系（）与包含关系（）的区分；空集的性质及有关结论。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 情境1：如果把"高一（1）班全体学生"和"高一年级全体学生"视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？ 教师引导：高一（1）班全体学生都属于高一年级全体学生，即集合中的每一个元素都是集合的元素。 【类比引入 提出课题】 教师追问：实数之间有大小关系，如, ，集合之间是否也有类似关系呢？ 教师揭示课题：今天我们类比实数的大小关系，研究集合间的基本关系。 设计意图：通过生活情境和类比实数关系，自然引出集合间关系的课题，激发学生的探究欲望，为子集概念的建构做好铺垫。 1、独立思考情境问题，举手回答两个集合中元素的关系——高一(1)班学生都是高一年级学生； 2、跟随教师类比实数大小关系，思考集合之间是否也有类似关系； 3、明确本节课的学习目标，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：集合间的基本关系 【活动一：直观感知——子集概念的引入】 教师展示以下实例（PPT逐步呈现）： (1)； (2)为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合， 为这个班全体学生组成的集合； (3)是两条边相等的三角形 是等腰三角形. 教师追问：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ 师生共同归纳： ⭐子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”). ⭐ 符号语言：对任意的，总有，则. ⭐图：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 【即时辨析】 判断下列说法是否正确： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 教师强调：（4）错误，0是元素，不是集合，应写为；（5）正确。注意区分""与"" 1、观察三组实例，小组讨论集合A与集合B的元素关系，推选代表发言； 2、跟随教师板书，记录子集的定义、符号表示和Venn图画法； 3、在草稿纸上画出A⊆B的Venn图，体会直观表示方法； 4、独立完成即时辨析题，同桌互改，重点标注（4）的错误原因——元素与集合的关系用∈，集合与集合的关系用⊆。 新知 探究 【活动二：探究——真子集与集合相等】 教师提出思考问题（PPT呈现）： 思考1：已知，，是的子集，但中是否存在不属于的元素？ 思考2：已知，，集合与集合是什么关系？ 师生共同归纳： ⭐真子集：如果集合但存在元素且，就称集合是集合的真子集，记作：（或）。 ⭐集合相等：一般的，如果集合中的任何一个元素都是集合的元素，同时集合的任意一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 ⭐符号语言：若且，则 【活动三：探究——空集与子集的性质】 教师追问：方程的实数根组成一个集合，这个集合中有几个元素？ 师生共同归纳： ⭐空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为， ⭐并规定：空集是任何集合的子集，即；空集是任何非空集合的真子集，即。 教师追问：包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释。 ，，三者之间有什么关系？ 引导学生回答：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；而属于关系刻画的是元素与集合间的关系.为空集；含元素0；为数字元素，三者意义各不相同。 【活动四：子集个数规律探究】 集合 元素个数 所有子集 子集个数 0 1 1 2 2 4 3 8 教师引导学生填写表格（PPT呈现）： ①你能直接说出集合的子集的个数吗? ②如果一个集合的元素个数为,你能用表示该集合子集、真子集的个数吗? 规律总结：设集合中有个元素，则： (1)集合的子集个数为：个； (2)集合的真子集个数为：个； (3)集合的非空真子集个数为：个. 设计意图：以问题链驱动概念建构，真子集和集合相等通过具体实例自然引出；空集概念通过方程无解的情境引入，学生更易接受；子集个数规律通过表格归纳发现，培养归纳推理能力。 1、独立思考两道思考题，小组讨论后总结真子集和集合相等的定义； 2、跟随教师板书，记录真子集、集合相等、空集的定义和符号； 3、在笔记本上画出真子集和集合相等的图示意； 4、完成子集个数表格填空，自主发现2ⁿ规律，小组交流验证； 5、口述"包含"与"属于"的区别，通过举例加深理解。 课堂练习 · 典例精讲 例1：写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合的所有子集为， 真子集有， 例2：判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1)是8的约数}； (2)是长方形}，是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1)因为不是的约数，所以集合不是集合的子集. (2)因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合是集合的子集. 教师在讲例题的同时，补充以下注意事项： ⭐空集是任何非空集合的真子集，即，则。注意书写子集的时候不要漏掉空集。 · 课堂练习 【题型1：子集个数】 1、设集合，则集合的子集有 、个 、个 、个 、个 【答案】 2、集合的真子集个数是( ). 【答案】 3、已知为非零实数，则集合非空子集个数是______ 【答案】 4、设已知集合满足，则所有满足条件的集合个数是( ) 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 5、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 6、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 【题型2：判断集合关系】 1、指出下列各组集合之间的关系： (1) (2)是等边三角形是等腰三角形 (3). 【答案】 2、已知集合，，，用适当的符号填空： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______. 【答案】 教师补充以下注意事项： ⭐判断集合间关系的常用方法： (1)列举观察法:当集合中的元素较少时,可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系； (2)元素特征法:先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征,再利用元素的特征判断得出集合之间的关系； (3)数形结合法:利用数轴或图,其中不等式解集之间的关系适合用数轴法. 【题型3：判断集合关系】 1、已知集合，，若，求实数的取值范围. 解：∵，，若， ∴分两种情况： ①当时，则即 ②当时，则即 解得： 综上可得，实数的取值范围是： 教师补充以下注意事项： ⭐由集合间的关系求参数的取值范围问题的解决策略： 1.求解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，积累直观想象的经验，同时还要注意验证集合的端点值，做到准确无误，一般含“”用实心圆点表示，不含“”用空心圆圈表示； 2.涉及“”或“，且 ”的问题，一定要分和两种情况进行讨论，其中的情况易被忽略，应引起足够。 2、已知集合，，若，求实数的取值范围. 解：据题意得： 所以， 解得， 无解，即的解集为. 1、例1阶段：先独立写出子集，再对照教师板书订正，检查是否遗漏或重复； 2、例2阶段：独立判断关系，小组核对答案。 1、独立完成子集个数选择题； 2、独立完成集合相等求参数题，注意检验互异性； 3、独立完成含参子集问题，务必讨论空集情况，小组交流参数取值； 4、错题整理：将子集概念、空集讨论、互异性检验的错题整理到错题本。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、子集（） ·定义：中任意元素都是的元素 ·性质：（自反性）；且（传递性） 二、真子集（） ·定义：且存在, 三、集合相等： 定义：且 四、空集（） ·定义：不含任何元素的集合 ·性质：（任意集合）；（非空集合） 五、子集个数规律 ·元集合：子集个，真子集个，非空真子集个 六、包含关系（⊆）与属于关系（∈）的区别 ·⊆是集合与集合之间的关系；∈是元素与集合之间的关系 教师强调：学习集合间的基本关系，关键是理解"包含"的数学本质——意味着是的"一部分"，类比实数中"小于等于"的关系。特别注意空集的特殊性和含参问题中空集的讨论。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点，分模块复述； 2、独立绘制简易思维导图，梳理子集、真子集、集合相等、空集等概念及关系； 3、主动举手分享本节课易错点（空集讨论、∈与⊆的区分、子集个数公式）； 4、完成自我评价：能否独立写出含3个元素集合的所有子集。 作业 布置 1、P8 书后练习第1、2、3题； 2、P9 习题1.2 第1、2、3、5题； 3、拓展：已知集合，，若，求实数的取值集合。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意分类讨论。 板书 设计 第一章 1.2 集合间的基本关系 一、子集 定义： 任意 记法：（或） 二、真子集 定义：且 三、集合相等：且 四、空集（）：（任意集合）；） 五、子集个数 元集合：子集2ⁿ个，真子集2ⁿ-1个，非空真子集2ⁿ-2个 六、与的区别 ：元素与集合 ：集合与集合 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $