1.1.2 集合的基本关系教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等概念及维恩图表示。通过班级与社团名单情境导入，引导学生从元素与集合关系过渡到集合与集合关系，搭建前课知识到本课内容的学习支架。 此资料遵循认知规律，以实例观察、概念辨析（如∈与⊆符号区别）、即时练习（如子集个数计算）培养数学眼光、思维与语言，帮助学生理解严谨符号与直观图形，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率与学生逻辑推理能力。

人教B版 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 1.1.2 集合的基本关系 高一 数学 教材分析： 本节课选自人教B版高中数学必修第一册第一章1.1.2节，主要内容是集合之间的基本关系。学生在前一节课已经学习了集合的概念与表示方法，理解了元素与集合的属于关系。本节课将视角从“元素与集合”提升到“集合与集合”，探讨子集、真子集、集合相等的概念，以及集合关系的符号表示与图形表示（维恩图）。这部分内容是集合论的基础，也是后续学习集合运算、函数定义域及不等式解集的重要工具。通过本节课的学习，学生将进一步体会数学符号语言的严谨性与直观图形的辅助作用。 教学重难点： 重点：理解子集、真子集的概念，掌握符号“⊆”、“⊊”的用法；理解集合相等的含义；会用维恩图表示集合间的关系。 难点：区分元素与集合的关系（∈）与集合与集合的关系（⊆）；理解空集是任何集合的子集这一规定；探究并掌握子集个数的计算规律。 教学过程： 本节课遵循“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认知规律，通过实例引入，引导学生观察、归纳集合间的包含关系，逐步形成子集、真子集的概念，并应用概念解决相关问题。 一、引言 【情境创设】教师展示班级名单与学校社团名单。设A={高一(1)班全体学生}，B={本校数学社团全体学生}，C={高一(1)班参加数学社团的学生}。 【问题引导】教师提问：观察这三个集合，集合C与集合A、集合B之间有什么关系？学生容易回答：集合C里的每个人都在集合A里，也在集合B里。教师进一步追问：如果用元素与集合的关系来描述，这说明了什么？引导学生意识到：集合C的任意一个元素都属于集合A，也属于集合B。 【引入课题】教师指出，这种“一个集合的元素都在另一个集合中”的关系，在数学上称为包含关系。本节课我们将深入研究集合之间的这种基本关系。 二、研究探讨 1. 子集的概念 【实例观察】教师板书两个集合：A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}。 【学生活动】学生观察发现，集合A中的每一个元素1, 2, 3都是集合B中的元素。教师引导学生尝试用数学语言描述这一现象。 【概念形成】教师给出教材原文定义：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 【思考探究1】教师提问：对于任意集合A，它是否是它自己的子集？ 【预设回答】学生根据定义判断：因为集合A的任意一个元素当然属于集合A本身，所以A⊆A。 【思考探究2】教师引入空集∅，提问：空集与集合A有什么关系？ 【概念规定】教师强调：因为空集不包含任何元素，所以我们规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A。 【符号辨析】教师提问：如果A不是B的子集，如何表示？引导学生写出A⊈B。例如A={1, 2}，B={3, 4}，则A⊈B。 三、概念形成 2. 真子集与维恩图 【概念引入】教师回顾前例：A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4, 5}。指出A⊆B，但B中还有元素4, 5不属于A。这种关系比一般子集更“紧密”一些。 【定义呈现】一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⊊B（或B⊋A）。 【图形表示】教师讲解：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图。教师在黑板上画出两个圆，小圆在大圆内部，分别标注A和B，表示A⊆B。 【即时练习】判断下列关系： (1) {a, b} ⊊ {a, b, c}； (2) ∅ ⊊ {1, 2}； (3) {1, 2} ⊊ {1, 2}。 【答案】(1) 正确，{a,b}是子集且c不属于{a,b}；(2) 正确，∅是子集且{1,2}非空；(3) 错误，集合不能是自身的真子集。 四、概念深化 3. 集合相等 【问题思考】如果A⊆B且B⊆A，这两个集合有什么关系？ 【结论】由集合相等以及子集的定义可知：如果A⊆B且B⊆A，则A=B；如果A=B，则A⊆B且B⊆A。 4. 包含关系的传递性 【探究】已知A⊆B且B⊆C，那么A与C有什么关系？ 【证明思路】任取x∈A，由A⊆B知x∈B，又由B⊆C知x∈C。所以A⊆C。同理，若A⊊B且B⊊C，则A⊊C。 5. 易错点辨析：∈与⊆ 教师强调：∈用于表示元素与集合的关系，⊆用于表示集合与集合的关系。例如：0 ∈ {0}，{0} ⊆ {0}，不能写成0 ⊆ {0}或{0} ∈ {0}。 五、应用举例 例1：写出集合A={1, 2}的所有子集，并指出哪些是真子集。 【解析】依据子集定义，依次寻找： ①不含元素的子集：∅； ②含1个元素的子集：{1}，{2}； ③含2个元素的子集：{1, 2}。 综上，子集共有4个：∅，{1}，{2}，{1, 2}。其中真子集有3个：∅，{1}，{2}。 【规律发现】元素个数为2的集合，子集个数为=4，真子集个数为-1=3。 例2：设A=，B={x | x-3=0}，判断A与B的关系。 【解析】解方程-8x+15=0，得x=3或x=5，所以A={3, 5}。 解方程x-3=0，得x=3，所以B={3}。 因为B中的元素3属于A，且A中元素5不属于B，所以B是A的真子集，即B⊊A。 例3：已知A={x | -1 < x < 2}，B={x | 0 < x < 3}，试用数轴表示A与B的关系，并写出结论。 【解析】由数轴可知，区间A被包含在区间B内，且A的右端点2在B内，左端点-1不在B内，所以A⊊B。 课堂练习： 1. 判断下列命题的真假：(1) ∅ ⊆ {0}；(2) {a} ⊊ {a, b}；(3) ∅ ∈ {0}。 2. 已知集合A={x | x=2k, k∈N}，B={x | x=4k, k∈N}，则A与B的关系是______。 【答案】1. (1)真；(2)真；(3)假（∅是集合，应用⊆）。2. B⊊A（因为4的倍数一定是2的倍数，反之不成立）。 六、归纳总结 师生共同回顾本节课知识点： 1. 集合间的三种基本关系：子集（⊆）、真子集（⊊）、相等（=）。 2. 重要规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合是它自身的子集。 3. 符号区别：∈表示元素与集合的关系，⊆表示集合与集合的关系。 4. 子集个数：含n个元素的集合有个子集，-1个真子集。 七、课后作业 1. 教材 练习第1, 2题。 2. 已知集合M满足 {1, 2} ⊆ M ⊆ {1, 2, 3, 4}，请写出所有符合条件的集合M。 3. 已知A={x | ax=1}，若A⊆B，其中B={1}，求实数a的值。 【参考答案】 2. M可以是：{1, 2}，{1, 2, 3}，{1, 2, 4}，{1, 2, 3, 4}。 3. 若A⊆B={1}，则A可能为∅或{1}。 ①当A=∅时，方程ax=1无解，故a=0； ②当A={1}时，将x=1代入得a·1=1，解得a=1。 综上，实数a的值为0或1。 学科网（北京）股份有限公司 $