4.2.1 指数函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦指数函数概念，通过景区游客人次（指数增长）和碳14含量（指数衰减）的真实情境导入，先分析线性增长（一次函数），再借助代数运算（作差、作商）和Excel图象探究非线性规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于真实情境驱动，通过“数”（增长率计算）与“形”（Excel作图）结合探究，发展数据分析和逻辑推理，对比幂函数抽象概念培养数学抽象，例2解决旅游收入问题体现应用意识，助力学生核心素养提升，为教师提供可操作的探究式教学范例。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 4.2.1指数函数的概念 教学目标 1.参与探寻景区游客人次和生物死亡后碳14含量数据变化中的规律，能发现指数增长和指数衰减变化规律的本质，推导出情境问题的函数解析式，掌握从“代数运算”、“图象特征”两方面进行数据分析的一般研究思路，发展数据分析和逻辑推理的数学核心素养； 2.观察分析解析式共性，能抽象概括出指数函数的概念，理解其中底数的范围，发展数学抽象的数学核心素养； 3.能运用指数函数的概念解决简单的数学问题和生活问题，感受指数模型的特点，体会数学的应用价值，发展提升社会责任感； 4.加深对现象到本质、特殊到一般、数形结合的思想方法的理解，感悟变化中的不变性与规律性的辩证统一观以及普遍联系观。 教学重难点 教学重点： 1. 从实际问题中抽象概括出指数函数的概念； 2. 对指数函数概念的理解。 教学难点： 从“代数运算”、“图象特征”两方面进行数据分析探寻数据变化规律的本质。 教学过程 活动一：探寻“景区游客人次”数据变化规律 提出问题： “随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，B地则取消了景区门票。现有A、B两地景区2001年至2015年的游客人次（万次）以及逐年增加量（万次）。观察数据，你能发现A、B两地景区每年的游客人次存在怎样的变化规律吗？” 通过观察数据，很容易发现两地景区每年的游客人次均呈现上涨的趋势，随着时间的增长而逐年增加。 追问1：每年游客人次随时间的增长而增加，说明景区每年的游客人次与时间之间存在着函数关系。你能用解析式表达A、B两地景区每年的游客人次与时间之间的这种关系吗？ 探究1：A地景区每年游客增长有什么明显特征？吻合什么模型？可用什么函数表示？ 对于A地景区，很容易发现游客人次的年增加量近似于常数10万次。另外借助excel作图发现采取措施后15年内A景区游客人次近似于直线上升，吻合线性增长模型。所以可用一次函数表示年后A地景区游客的人次（万次）。 追问2：反思探究1，从哪些路径分析了数据的变化规律？ 从数值变化角度看了年增加量，进行了减法运算，约为常数；从观察图象特征角度看了增长趋势，是线性增长。暨从“数”与“形”两个路径分析了数据。 探究2：用探究1的路径和方法分析B地景区每年游客人次的变化规律。 对于B地景区，每年游客人次的年增加量不是常数，明显越来越大；借助excel作图发现采取措施后15年内B地景区每年游客人次是非线性增长。 追问3：现在我们来尝试表达这种非线性增长模型。什么已知的函数图象可以在一象限内单调递增，且/因变量的增长是越来越快、越来越陡的呢？ 指数大于1的幂函数图象可以在一象限内有增长地越来越快的变化趋势，比如二次函数。 追问4（难）：可以用幂函数模型来表达B地每年的游客人次吗？或者说B地每年游客人次吻合幂函数类型的数值变化特征吗？ （师生共同）：次幂函数模型具有次作差为常数的数字特征，但是B地景区游客人次的数据不满足这一特征。 追问5：我们还可以有什么手段研究数据的变化规律呢？ 从数字运算的角度，除了“增加量”对数据作减法运算，还有除法的处理手段。从生活经验的角度，除了增加量，还常有增长率这一概念，它需要对数据作除法运算。 追问6：发现了什么数据变化规律？尝试表达B地景区每年的游客人次变化规律。 结果表明：每增加一年，B地景区每年的游客人次是上一年游客人次的约1.11倍，年增长率约为一个常数0.11.结合这个规律，我们可以描述2001年后B地景区游客人次变化规律为： 1年后（2002年），游客人次约是2001年的倍； 2年后（2003年），游客人次约是2001年的倍； 3年后（2004年），游客人次约是2001年的倍； ······ 由特殊到一般可知：年后，游客人次约是2001年的倍. 如果设经过年后的每年游客人次为2001年的倍，则； 如果设经过年后的每年游客人次为万次，则； 我们也称增长率为常数的变化方式为指数增长。增长率. 活动二：探寻“生物死亡后碳14含量”数据变化规律 提出问题：“当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量（设为1个单位）会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？” 法一，设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，那么： 死亡1年后，生物体内碳14含量为； 死亡2年后，生物体内碳14含量为； 死亡3年后，生物体内碳14含量为； ······ 死亡5730年后，生物体内碳14含量为，则； 设生物死亡年后，体内碳14含量为，则. 法二，也可按照如下逻辑进行推理：5730年是一个半衰期，那么死亡年里有个半衰期，则可得到生物死亡年后，体内碳14含量为. 像这种衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。衰减率. 活动三：抽象概括指数函数的概念 提出问题：“比较‘B地景区每年游客人次增长’与‘生物死亡后体内碳14衰减’所反映的数据变化规律有什么共同特征？” 追问7：从数据变化规律看？ 变化率是常数。 追问8：从解析式看？ 与，这不属于我们学过的任何一种函数模型，我们发现了一种新形式的函数！如果用代替底数，结构形式均为的指数幂结构，同时指数幂的系数为1，自变量在指数位置。 追问9：为定义这一个新发现的函数的概念，需要界定两个变量：底数与自变量的范围。底数的范围是多少？ 情境一的指数增长模型中，底数，增长率，所以底数；情境二的指数衰减模型中，底数，衰减率，所以底数；当底数时，是常函数，没有研究必要；当底数时，如取，没有意义，不会是指数变化。所以底数. 追问10：的底数的情况下，自变量的取值范围是多少？ 自变量不仅可像实例里取任意非负数，指数取负数也有意义，所以定义域可延伸至。 综上，可抽象概括为：，指数是自变量，定义域为.并定义其为指数函数。 同时，形如的函数称为指数型函数，是刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型。指数增长型的底数，指数衰减型的底数，为增长率或衰减率。 追问11：指数函数与幂函数概念的联系与区别？ 联系：均为指数幂结构，指数幂的系数均为1. 区别：指数函数的自变量在指数位置，幂函数的自变量在底数位置。 活动四：运用指数函数概念解决问题 例1 已知指数函数，且，求，，的值. 分析：要求函数值，需要先求出函数解析式，即先求出的值. 解：，，. ， ， . 反思：指数函数只有一个参数，由一个点坐标可求出指数函数的解析式. 例2 在A、B两地景区游客人次变化的情境中，若平均每位游客出游一次均可给当地带来1000元的门票之外的收入，A地景区门票价格为150元/人. （1） 比较2001年至2015年这15年间A、B两地每年的旅游收入变化情况（可借助Excel）； 参考数值：） （2） 基于（1）问的分析，请给A、B两地文旅部门提一些建议. 分析：根据每年游客人次表示出A、B两地每年的旅游收入，然后通过代数运算或观察图像比较两地的旅游收入的变化情况. 解：（1）设2001年为起始年，自2001年起第年后A地景区每年的游客人次为（万次），B地景区每年的游客人次为（万次）.游客给A、B两地带来的收入分别为和. ，. 用excel进行两地旅游收入的作差比较，并结合参考数据可知：2011年3月某时刻A、B两地旅游收入差不多；在这之前，A地每年旅游收入更多；在这之后，B地每年旅游收入更多. 为更直观感知两地收入变化情况，且进一步得知变化趋势，使用excel作图如下： 可以发现，A地每年旅游收入呈线性增长，B地每年旅游收入呈指数增长。在2011年3月某时刻以前，虽然A地每年旅游收入更多，但是B地每年的旅游收入增长速度大于A地。在这之后，B地每年旅游收入不仅更多，且增长速度越来越快。 （2）开放问题，言之有物即可。 在回答时，可以多基于数据和图象，多对比、可从对立的两个面辩证回答。 如我们发现A地2001年游客人次600万次，远高于B地278万次，但是A地提高了景区门票，自己的旅游优势越发不明显，甚至落后于B地。要改变现状，需要采取一些吸引流量的措施，比如加大宣传力度、增设特色活动、调节门票价格等。这告诉我们目光要放长远，不要只图眼前利益。 B地正好相反，取消门票吸引了越来越多的游客前往，但是也要时刻寻找和发现问题，未雨绸缪，比如避免人太多造成的安全事故、游客体验变差等等问题，可考虑创设新景点分流、加强安保等等措施。这告诉我们福祸相依、挑战与机遇并存，要随时做好准备。 反思：可从“数”和“形”两方面分析问题，各有特点。生活问题转化为数学问题，数学问题反馈生活问题，学以致用，辩证分析思考。 小结：1.指数增长与指数衰减的变化规律本质； 2.指数函数概念（与幂函数区别），指数型函数； 3.可从“代数运算”与“图象特征”两方面分析数据； 4.体会变化中的不变性与规律性、数学的应用价值等。 学科网（北京）股份有限公司 $