5.4 三角函数的图象与性质 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数图象与性质，涵盖五点法作图、周期函数定义及公式、正余弦正切函数性质等核心内容。课堂导入通过回顾弧度制下角与实数的对应关系，结合诱导公式一引导学生思考三角函数图象绘制需求，搭建从已有函数知识到新知的学习支架。 资料亮点在于以单位圆为工具直观构建正弦曲线，培养几何直观；通过周期定义推导公式，发展推理能力；设计性质应用例题与练习，强化应用意识。助力学生深化理解，帮助教师高效教学，提升课堂效果。

必修第一册 高一 人教A版 5.4 三角函数的图象与性质 数学 教学设计-2026-2027学年 章节名称 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 借助函数图象理解正弦、余弦、正切函数的性质，能利用五点法画出正弦函数与余弦函数的简图，体会周期变化规律 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 理解周期函数及最小正周期的概念，掌握y=Asin(ωx+φ)的周期公式 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 掌握正切函数的图象特征及单调性、值域等性质 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 数学 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 高中 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 人教A版 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 必修第一册 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 高一 章节名称 5.4 三角函数的图象与性质 课标要求 2026-2027学年 课标要求 1. 借助单位圆和正弦线画出正弦函数在[0,2π]上的图象，理解利用诱导公式一将其左右平移得到正弦曲线的方法；掌握用五点法画y=sin x，x∈[0,2π]的简图。 2. 理解周期函数及最小正周期的定义，掌握正弦、余弦函数的最小正周期为2π，以及y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)（A≠0，ω>0）的周期公式T=。 3. 掌握正弦、余弦、正切函数的图象与性质（定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值），能利用性质解决求值、比较大小、求单调区间等问题。 重点 正弦、余弦、正切函数的图象及其性质（周期性、奇偶性、单调性、最值）；五点法画正弦函数与余弦函数的简图。 难点 周期函数与最小正周期概念的理解；利用周期性、奇偶性将局部图象与性质拓展到整个定义域；正切函数的渐近行为与分段单调性的理解。 学习目标 能利用单位圆中的正弦线描点画出正弦函数在[0,2π]上的图象，说出五点法中五个关键点的坐标并画出简图；理解周期函数的定义，能判断简单函数的周期并求出y=Asin(ωx+φ)（A≠0，ω>0）的周期；结合图象归纳正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与最值，并能运用这些性质解决求值、比较大小及求单调区间等问题。 评价设计 1. 课堂提问：让学生口述五点法中五个关键点的坐标，检验对正弦曲线作图原理的掌握情况。预设回答：五个关键点为(0,0)、(,1)、(π,0)、(,−1)、(2π,0)。 2. 练习反馈：通过求函数周期、比较三角函数值大小等练习题，评价学生对周期公式与单调性的应用能力。 3. 板演展示：请学生上台用五点法画出余弦函数简图，检验图象平移关系与五点法的综合运用。 教学过程 教学过程 新课导入 提出问题 设计意图： 通过回顾诱导公式与实数对应关系，引导学生自然产生画三角函数图象的需求，为探究正弦曲线的作法做铺垫。 作业：课本习题5.4第1、2、3题 教学过程 新授探究 正弦曲线与五点法 设计意图： 利用单位圆正弦线描点作图，直观展示正弦曲线的形成过程；提炼五点法，培养几何直观与作图能力。 作业：课本习题5.4第4、5题 教学过程 巩固练习 性质应用 设计意图： 通过求周期、比较大小等练习，巩固对周期公式与单调性的理解，检验学习目标的达成。 作业：课本习题5.4第6、7题 1. 新课导入。教师提问：在弧度制下，角的集合与实数集R之间有怎样的关系？预设学生回答：一一对应。教师追问：既然三角函数的自变量是实数，我们能否像研究幂函数、指数函数那样画出它的图象？由诱导公式一sin(x±2π)=sin x可知，只要画出[0,2π]上的图象即可平移得到整个图象。 2. 新授探究——正弦曲线与五点法。教师引导学生在单位圆中将[0,2π]十二等分，把各分角的正弦线平移到直角坐标系中描点，用光滑曲线连接得到y=sin x，x∈[0,2π]的图象。再由sin(x+2kπ)=sin x（k∈Z），将[0,2π]上的图象向左、向右平移（每次2π个单位长度），得y=sin x，x∈R的图象，即正弦曲线。教师指出：在精确度要求不高时，可只描五个关键点(0,0)、(,1)、(π,0)、(,−1)、(2π,0)，用光滑曲线连接即得简图，称为五点法。 3. 新授探究——余弦曲线与周期函数定义。教师指出由cos x=sin(x+)，把正弦曲线向左平移个单位长度即得余弦曲线。随后给出周期函数定义：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。若所有周期中存在最小的正数，则该最小正数叫做最小正周期。正弦、余弦函数的最小正周期均为2π。 4. 新授探究——y=Asin(ωx+φ)的周期。教师讲解：y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（A≠0，ω>0）的周期仅与自变量的系数有关，T=。 5. 新授探究——正弦、余弦函数的性质。教师引导学生结合图象归纳：定义域均为R，值域均为[−1,1]；sin x是奇函数，cos x是偶函数。正弦函数在每一个闭区间[−+2kπ,+2kπ]（k∈Z）上单调递增，在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ]（k∈Z）上单调递减。余弦函数在每一个闭区间[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]（k∈Z）上单调递增。正弦函数当且仅当x=+2kπ时取最大值1，当且仅当x=−+2kπ时取最小值−1；余弦函数当且仅当x=2kπ时取最大值1，当且仅当x=π+2kπ时取最小值−1。 6. 新授探究——正切函数的图象与性质。教师指出：由tan(x+π)=tan x知正切函数是周期函数，周期为π；由tan(−x)=−tan x知正切函数是奇函数。在单位圆中，线段AT的长度等于相应角x的正切值（正切线），x趋向时AT趋向无穷大，图象向右上方无限逼近直线x=。将y=tan x，x∈(−,)的图象向左、右平移（每次π个单位）得正切曲线，它由被直线x=+kπ（k∈Z）隔开的无穷多支形状相同的曲线组成。正切函数在每一个区间(−+kπ,+kπ)（k∈Z）上都单调递增，值域为R。 7. 典型例题。例1：用五点法画函数y=1+sin x，x∈[0,2π]的简图。解：五个关键点为(0,1)、(,2)、(π,1)、(,0)、(2π,1)，在坐标系中描出这五个点并用光滑曲线连接即可。答案：图象为将y=sin x向上平移1个单位后[0,2π]上的一段曲线。 例2：求函数y=2sin(x−)的周期。解：该函数形如y=Asin(ωx+φ)，其中ω=，由周期公式T=得T==6π。答案：T=6π。 例3：比较sin()与sin()的大小。解：sin x在[−,0]上单调递增，又−≤−<−≤0，所以sin(−)<sin(−)。答案：sin(−)>sin(−)。 8. 巩固练习。练习1：求函数y=cos(2x+)的周期。解：ω=2，T==π。答案：T=π。 练习2：比较cos()与cos()的大小。解：cos()=cos(2π−)=cos()，cos()=cos(2π−)=cos()。余弦函数在[0,π]上单调递减，0<<<π，故cos()<cos()，即cos()<cos()。答案：cos()<cos()。 练习3：求函数y=tan(2x−)的定义域。解：令2x−≠+kπ（k∈Z），解得x≠+（k∈Z）。答案：定义域为。 9. 课堂小结。教师引导学生回顾本课核心知识：正弦曲线用单位圆描点法或五点法画出，余弦曲线由正弦曲线左移得到；周期函数定义及最小正周期概念；y=Asin(ωx+φ)的周期T=；正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与最值。 10. 课后作业。课本习题5.4第1、2、3、4、5、6、7题。 板书设计 一、正弦曲线与五点法：单位圆描点→平移得正弦曲线；五点(0,0)、(,1)、(π,0)、(,−1)、(2π,0) 二、周期函数定义与周期公式：f(x+T)=f(x)⇒f(x)为周期函数；y=Asin(ωx+φ)周期T=（A≠0，ω>0） 三、三角函数性质表：定义域、值域、奇偶性、单调性、最值；正切曲线在(−+kπ,+kπ)（k∈Z）上递增，值域R 学科网（北京）股份有限公司 $